Равнобедренный треугольник. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018
Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

Равнобедренный треугольник

Эти две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основание равнобедренного треугольника.

Посмотри на рисунок:   и   – боковые стороны,   – основание равнобедренного треугольника.

Основание равнобедренного треугольника. Боковые стороны равнобедренного треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника:

  • Углы при основании равнобедренного треугольника равны (на рисунке:  ).
  • Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой.

Давай на одном рисунке поймём, почему так выходит. Проведем из точки   высоту  .

Свойства равнобедренного треугольника Что получилось? Треугольник   разделился на два прямоугольных треугольника   и  . И эти треугольники равны! У них равны гипотенузы и общий катет  .

Значит, у них равны все соответствующие элементы.

То есть:

Высота опущена на основание равнобедренного треугольника
  •   ( Вот – углы при основании равны)
  •   (  оказалась биссектрисой)
  •   (  оказалась медианой)

Всё! Одним махом (высотой  ) доказали сразу все утверждения.

И ты запомни: чтобы решить задачу про равнобедренный треугольник часто бывает очень полезно опустить высоту на основание равнобедренного треугольника и разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Признаки равнобедренного треугольника

Верны и обратные утверждения:

  • Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный.
  • Если в некотором треугольнике совпадают:
    а) высота и биссектриса или
    б) высота и медиана или
    в) медиана и биссектриса,
    проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.

Почти все из этих утверждений снова можно доказать «одним махом».

1. Итак, пусть в   оказались равны   и  .

Проведём высоту  . Тогда

Высота опущена на основание равнобедренного треугольника   – как прямоугольные по катету и острому углу.

Значит,  .

Высота опущена на основание равнобедренного треугольника (7) Доказали, что   – равнобедренный.

2. a) Теперь пусть в каком–то треугольнике совпадают высота и биссектриса.

Высота опущена на основание равнобедренного треугольника (8) Тогда снова   по катету и острому углу. Значит, опять  .

2. б) А если совпадают высота и медиана? Все почти так же, ничуть не сложнее!

  - по двум катетам  

2. в) А вот если нет высоты, которая опущена на основание равнобедренного треугольника, то нет и никаких изначально прямоугольных треугольников. Плохо!

Но выход есть – читай его в следующем уровне теории, поскольку тут доказательство посложнее, а пока просто запомни, что если медиана и биссектриса совпали, то треугольник тоже окажется равнобедренным, и высота всё-таки тоже совпадёт с этими биссектрисой и медианой.

Подытожим:

  1. Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, и высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
  2. Если в каком-то треугольнике найдутся два равных угла, или какие-то две из трех линий (биссектриса, медиана, высота) совпадут, то такой треугольник – равнобедренный.

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть