Сравнение чисел. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Какое из чисел больше:   или  ? Ответ очевиден. А теперь:   или  ? Уже не так очевидно, правда? А так:   или  ?

Часто нужно знать, какое из числовых выражений больше. Например, чтобы при решении неравенства расставить точки на оси в правильном порядке.

Сейчас научу тебя сравнивать такие числа.

Если надо сравнить числа   и  , между ними ставим знак   (происходит от латинского слова Versus или сокращенно vs. – против): . Этот знак заменяет неизвестный нам знак неравенства ( ). Далее будем выполнять тождественные преобразования до тех пор, пока не станет ясно, какой именно знак нужно поставить между числами.

Суть сравнения чисел состоит в следующем: мы относимся к знаку   так, будто это какой-то знак неравенства. И с выражением   мы можем делать все то же, что делаем обычно с неравенствами:

  • прибавить любое число к обеим частям (и вычесть, конечно, тоже можем)
  • «перенести все в одну сторону», то есть вычесть из обеих частей одно из сравниваемых выражений. На месте вычитаемого выражения останется   :  .
  • домножать или делить на одно и то же число. Если это число отрицательное, знак неравенства меняется на противоположный:  .
  • возводить обе части в одну и ту же степень. Если эта степень – четная, необходимо убедиться, что обе части имеют одинаковый знак; если обе части положительны, при возведении в степень знак не меняется, а если отрицательны, тогда меняется на противоположный.
  • извлечь корень одинаковой степени из обеих частей. Если извлекаем корень четной степени, необходимо предварительно убедиться, что оба выражения неотрицательны.
  • любые другие равносильные преобразования.

Важно: преобразования желательно делать такими, чтобы знак неравенства не менялся! То есть в ходе преобразований нежелательно домножать на отрицательное число, и нельзя возводить в квадрат, если одна из частей отрицательна.

Разберем несколько типичных ситуаций.

1. Возведение в степень.

Пример.

Что больше:   или  ?

Решение.

Поскольку обе части неравенства положительны, можем возвести в квадрат, чтобы избавиться от корня:

 .

Пример.

Что больше:   или  ?

Решение.

Здесь тоже можем возвести в квадрат, но это нам поможет избавиться только от квадратного корня. Здесь надо возводить в такую степень, чтобы оба корня исчезли. Значит, показатель этой степени должен делиться и на   (степень первого корня), и на  . Таким числом является  , значит, возводим в   -ю степень:

 .

2. Умножение на сопряженное.

Сопряженным называется множитель, дополняющий выражение до формулы разности квадратов:   – сопряженное для   и наоборот, т.к.  .

Пример.

Что больше:   или  ?

Решение.

Домножим и разделим каждую разность на сопряженную сумму:

 

 

 

Очевидно, что знаменатель в правой части больше знаменателя в левой. Поэтому правая дробь меньше левой:

 .

3. Вычитание

Вспомним, что  .

Пример.

Что больше:   или  ?

Решение.

Конечно, мы могли бы возвести все в квадрат, перегруппировать, и снова возвести в квадрат. Но можно поступить хитрее:

 

Видно, что в левой части каждое слагаемое меньше каждого слагаемого, находящегося в правой части.

Соответственно, сумма всех слагаемых, находящихся в левой части, меньше суммы всех слагаемых, находящихся в правой части.

Но будь внимателен! У нас спрашивали что больше...

Правая часть больше. 

Пример.

Сравните числа   и  .

Решение.

Вспоминаем формулы тригонометрии:

 

 

Проверим, в каких четвертях на тригонометрической окружности лежат точки   и  .

 

 

4. Деление.

Здесь тоже используем простое правило: .

При   или  , то есть  .

При   знак меняется:  .

Пример.

Выполни сравнение:  .

Решение.

 .

5. Сравните числа с третьим числом

Если   и  , то   (закон транзитивности).

Пример.

Сравните  .

Решение.

Сравним числа не друг с другом, а с числом  .

Очевидно, что  .

С другой стороны,  .

Итак,  .

Пример.

Что больше:   или  ?

Решение.

Оба числа больше  , но меньше  . Подберем такое число, чтобы оно было больше одного, но меньше другого. Например,  . Проверим:

 

 

Тогда  .

6. Что делать с логарифмами?

Ничего особенного. Как избавляться от логарифмов, подробно описано в теме «Логарифмические неравенства». Основные правила такие:

\[{\log _a}x \vee b{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee {a^b}\;{\rm{при}}\;a > 1}\\{x \wedge {a^b}\;{\rm{при}}\;0 < a < 1}\end{array}} \right.\] или   \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a > 1}\\{x \wedge y\;{\rm{при}}\;0 < a < 1}\end{array}} \right.\]

Также можем добавить правило про логарифмы с разными основаниями и одинаковым аргументом:

 

Объяснить его можно так: чем больше основание, тем в меньшую степень его придется возвести, чтобы получить один и тот же  . Если же основание меньше  , то все наоборот, так как соответствующая функция монотонно убывающая.

Пример.

Сравните числа:   и  .

Решение.

Согласно вышеописанным правилам:

 

А теперь формула для продвинутых.

Правило сравнения логарифмов можно записать и короче:

 

Пример.

Что больше:   или  ?

Решение.

 

Пример.

Сравните, какое из чисел больше:  .

Решение.

 

Комментарии

Бекболот
05 мая 2018

3. вычитание первый пример неправильно сравнили: √5+√2<2√10 потому что 2√10=√10+√10

ответить

Александр (админ)
05 мая 2018

Спасибо, Бекболот! Сейчас исправим.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги сделать так, чтобы его не закрыли... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника.

Всего 199 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть