Сравнение чисел. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Какое из чисел больше:   или  ? Ответ очевиден. А теперь:   или  ? Уже не так очевидно, правда? А так:   или  ?

Часто нужно знать, какое из числовых выражений больше. Например, чтобы при решении неравенства расставить точки на оси в правильном порядке.

Сейчас научу тебя сравнивать такие числа.

Если надо сравнить числа   и  , между ними ставим знак   (происходит от латинского слова Versus или сокращенно vs. – против): . Этот знак заменяет неизвестный нам знак неравенства ( ). Далее будем выполнять тождественные преобразования до тех пор, пока не станет ясно, какой именно знак нужно поставить между числами.

Суть сравнения чисел состоит в следующем: мы относимся к знаку   так, будто это какой-то знак неравенства. И с выражением   мы можем делать все то же, что делаем обычно с неравенствами:

  • прибавить любое число к обеим частям (и вычесть, конечно, тоже можем)
  • «перенести все в одну сторону», то есть вычесть из обеих частей одно из сравниваемых выражений. На месте вычитаемого выражения останется   :  .
  • домножать или делить на одно и то же число. Если это число отрицательное, знак неравенства меняется на противоположный:  .
  • возводить обе части в одну и ту же степень. Если эта степень – четная, необходимо убедиться, что обе части имеют одинаковый знак; если обе части положительны, при возведении в степень знак не меняется, а если отрицательны, тогда меняется на противоположный.
  • извлечь корень одинаковой степени из обеих частей. Если извлекаем корень четной степени, необходимо предварительно убедиться, что оба выражения неотрицательны.
  • любые другие равносильные преобразования.

Важно: преобразования желательно делать такими, чтобы знак неравенства не менялся! То есть в ходе преобразований нежелательно домножать на отрицательное число, и нельзя возводить в квадрат, если одна из частей отрицательна.

Разберем несколько типичных ситуаций.

1. Возведение в степень.

Пример.

Что больше:   или  ?

Решение.

Поскольку обе части неравенства положительны, можем возвести в квадрат, чтобы избавиться от корня:

 .

Пример.

Что больше:   или  ?

Решение.

Здесь тоже можем возвести в квадрат, но это нам поможет избавиться только от квадратного корня. Здесь надо возводить в такую степень, чтобы оба корня исчезли. Значит, показатель этой степени должен делиться и на   (степень первого корня), и на  . Таким числом является  , значит, возводим в   -ю степень:

 .

2. Умножение на сопряженное.

Сопряженным называется множитель, дополняющий выражение до формулы разности квадратов:   – сопряженное для   и наоборот, т.к.  .

Пример.

Что больше:   или  ?

Решение.

Домножим и разделим каждую разность на сопряженную сумму:

 

 

 

Очевидно, что знаменатель в правой части больше знаменателя в левой. Поэтому правая дробь меньше левой:

 .

3. Вычитание

Вспомним, что  .

Пример.

Что больше:   или  ?

Решение.

Конечно, мы могли бы возвести все в квадрат, перегруппировать, и снова возвести в квадрат. Но можно поступить хитрее:

 

 

Пример.

Сравните числа   и  .

Решение.

Вспоминаем формулы тригонометрии:

 

 

Проверим, в каких четвертях на тригонометрической окружности лежат точки   и  .

 

 

4. Деление.

Здесь тоже используем простое правило: .

При   или  , то есть  .

При   знак меняется:  .

Пример.

Выполни сравнение:  .

Решение.

 .

5. Сравните числа с третьим числом

Если   и  , то   (закон транзитивности).

Пример.

Сравните  .

Решение.

Сравним числа не друг с другом, а с числом  .

Очевидно, что  .

С другой стороны,  .

Итак,  .

Пример.

Что больше:   или  ?

Решение.

Оба числа больше  , но меньше  . Подберем такое число, чтобы оно было больше одного, но меньше другого. Например,  . Проверим:

 

 

Тогда  .

6. Что делать с логарифмами?

Ничего особенного. Как избавляться от логарифмов, подробно описано в теме «Логарифмические неравенства». Основные правила такие:

\[{\log _a}x \vee b{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee {a^b}\;{\rm{при}}\;a > 1}\\{x \wedge {a^b}\;{\rm{при}}\;0 < a < 1}\end{array}} \right.\] или   \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a > 1}\\{x \wedge y\;{\rm{при}}\;0 < a < 1}\end{array}} \right.\]

Также можем добавить правило про логарифмы с разными основаниями и одинаковым аргументом:

 

Объяснить его можно так: чем больше основание, тем в меньшую степень его придется возвести, чтобы получить один и тот же  . Если же основание меньше  , то все наоборот, так как соответствующая функция монотонно убывающая.

Пример.

Сравните числа:   и  .

Решение.

Согласно вышеописанным правилам:

 

А теперь формула для продвинутых.

Правило сравнения логарифмов можно записать и короче:

 

Пример.

Что больше:   или  ?

Решение.

 

Пример.

Сравните, какое из чисел больше:  .

Решение.

 

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть