Вписанный четырехугольник. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике? Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность, а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна  .

Четырехугольник вписан в окружность

На нашем рисунке –  

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему. Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

Расшифровываем:

  1. «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна  .
  2. «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна  , то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Сначала 1.

Пусть четырехугольник   вписан в окружность. Отметим её центр   и проведём радиусы   и  . Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального? Если помнишь – сейчас применим, а если не очень – загляни в тему «Окружность. Вписанный угол».

Четырехугольник вписан в окружность. Вписанный угол.

Итак,

  - вписанный  

  - вписанный  

Но посмотри:  .

Значит,

 .

Получаем, что если   – вписанный, то

 .

Ну, и ясно, что   и   тоже в сумме составляет  . (нужно так же рассмотреть   и  ).

Теперь и «наоборот», то есть 2.

Пусть оказалось так, что у четырехугольника   сумма каких – то двух противоположных углов равна  . Скажем, пусть

 .

Четырехугольник. Сумма противоположных углов - равна.

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника   мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка   не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка   – снаружи. Тогда отрезок   пересекает окружность в какой-то точке  . Соединим   и  . Получился вписанный (!) четырехугольник  .

Не вписанный четырехугольник

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна  , то есть  , а по условию у нас  .

Получается, что должно бы быть так, что  .

Но это никак не может быть поскольку   – внешний угол для   и значит,  .

А внутри? Проделаем похожие действия. Пусть точка   внутри.

Вписанный четырехугольник 2

Тогда продолжение отрезка   пересекает окружность в точке  . Снова   – вписанный четырехугольник  , а по условию   должно выполняться  , но   - внешний угол для   и значит,  , то есть опять никак не может быть так, что  .

То есть точка   не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником.

Параллелограмм

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм   вписан в окружность. Тогда должно выполняться  .

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что  .

То есть

 

И то же самое, естественно, касательно углов   и  .

Вот и получился прямоугольник – все углы по  .

Впсанный прямоугольник

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт: центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Ну вот,

  - диаметр,

  - диаметр

а значит,   – центр. Вот и всё.

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Докажем?

Вписанная трапеция

Пусть трапеция   вписана в окружность. Тогда  .

Но  

То есть

   . И так же  .

Вписанная равнобедренная трапеция

Всё ли мы обсудили? Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно), а докажем только в последнем уровне теории.

Итак:

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону   из точек   и  , равны), то такой четырехугольник – вписанный.

Вписанный четырехугольник. Правило.

Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов   и  .

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

«  - вписанный» - и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак – запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачки.

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok