Задачи на движение. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Все задачи на движение решаются с помощью одной простой формулы:

 , или  

Теперь будем вспоминать, как ее применять. Рассмотрим примеры с решениями для каждого типа задач.

Задачи на движение. Примеры

Движение с течением

Одни из самых простых задач – задачи на движение по реке. Вся их суть в следующем:

  • если движемся по течению, к нашей скорости прибавляется скорость течения;
  • если движемся против течения, из нашей скорости вычитается скорость течения.

Пример:

Катер плыл из пункта A в пункт B   часов а обратно –   часа. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде   км/ч.

Решение:

Обозначим расстояние между пунктами, как AB, а скорость течения – как  .

Все данные из условия занесем в таблицу:

  Путь S Скорость v,
км/ч
Время t, часов
A –> B (против течения) AB 50–x 5
B –> A (по течению) AB 50+x 3

Для каждой строки этой таблицы нужно записать формулу:

 

На самом деле, можно не писать уравнения для каждой из строк таблицы. Мы ведь видим, что расстояние, пройденное катером туда и обратно одинаково. Значит, расстояние мы можем приравнять. Для этого используем сразу формулу для расстояния:

 .

Часто приходится использовать и формулу для времени:

 .

Пример:

Против течения лодка проплывает расстояние в   км на   час дольше, чем по течению. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна   км/ч.

Решение:

Попробуем сразу составить уравнение. Время против течения на   час больше, чем время по течению. Это записывается так:

 

Теперь вместо каждого времени подставим формулу:

 

Получили обычное рациональное уравнение, решим его:

 

Очевидно, что скорость не может быть отрицательным числом, значит, ответ:   км/ч.

Относительное движение

Если какие-то тела движутся друг относительно друга, часто бывает полезно посчитать их относительную скорость. Она равна:

  • сумме скоростей, если тела движутся навстречу друг другу;
  • разности скоростей, если тела движутся в одном направлении.

Пример:

Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями   км/ч и   км/ч. Через сколько минут они встретятся. Если расстояние между пунктами   км?

Решение:

I способ.

Относительная скорость автомобилей   км/ч. Это значит, что если мы сидим в первом автомобиле, то он нам кажется неподвижным, но второй автомобиль приближается к нам со скоростью   км/ч. Так как между автомобилями изначально расстояние   км, время, через которое второй автомобиль проедет мимо первого:

 .

II способ.

Время от начала движения до встречи у автомобилей, очевидно, одинаковое. Обозначим его  . Тогда первый автомобиль проехал путь  , а второй –  .

Задачи на относительное движение. Второй способ решения.

В сумме они проехали все   км. Значит,

 .

Другие задачи на движение

Пример:

Из пункта А в пункт В выехал автомобиль. Одновременно с ним выехал другой автомобиль, который ровно половину пути ехал со скоростью на   км/ч меньшей, чем первый, а вторую половину пути он проехал со скоростью   км/ч. В результате автомобили прибыли в пункт В одновременно. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше   км/ч.

Решение:

Слева от знака равно запишем время первого автомобиля, а справа – второго:

 .

Упростим выражение в правой части:

 .

Поделим каждое слагаемое на АВ:

 .

Получилось обычное рациональное уравнение. Решив его, получим два корня:

 

Из них только один больше  .

Ответ:   км/ч.

Если тебе непонятно, как получились эти корни, прочитай тему «Рациональные уравнения».

Еще пример:

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через   минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через   минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через   минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна   км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Здесь будем приравнивать расстояние.

Пусть скорость велосипедиста будет  , а мотоциклиста –  . До момента первой встречи велосипедист был в пути   минут, а мотоциклист –  . При этом они проехали равные расстояния:

 

Между встречами велосипедист проехал расстояние  , а мотоциклист –  . Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше, это видно из рисунка:

Решение задачи на движение по кругу

Надеюсь, ты понимаешь, что по спирали они на самом деле не ездили– спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.

Значит,

 

Полученные уравнения решаем в системе:

 

Ответ:  .

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok