Замена переменных. Средний уровень.

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Пройди программу подготовки к ОГЭ Пройди программу подготовки к ЕГЭ

Замена переменных – это введение нового неизвестного, относительно которого уравнение или неравенство имеет более простой вид.

Перечислю основные типы замен.

Степенная замена  .

Например, с помощью замены   биквадратное уравнение   приводится к квадратному:  .

В неравенствах все аналогично. Например, в неравенстве   сделаем замену  , и получим квадратное неравенство:  .

Пример (реши самостоятельно):

 

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение (повтори «Рациональные уравнения»), но решать его обычным методом (приведение к общему знаменателю) неудобно, так как мы получим уравнение   степени, поэтому применяется замена переменных. Все станет намного проще после замены:  . Тогда  :

 

Теперь делаем обратную замену:

 

Ответ:  ;  .

Замена многочлена   или  .

Здесь   − многочлен степени  , т.е. выражение вида

 

(например, выражение   – многочлен степени  , то есть  ).

Чаще всего используется замена квадратного трехчлена:   или  .

Пример:

Решите уравнение  .

Решение:

И опять используется замена переменных  . Тогда уравнение примет вид:

 .

Корни этого квадратного уравнения:   и  . Имеем два случая. Сделаем обратную замену для каждого из них:

 ;

 .

Значит, это уравнение корней не имеет.

 

Корни этого уравнения:   и  .

Ответ.  .

Дробно-рациональная замена  .

  и   − многочлены степеней   и   соответственно.

Например, при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида

 ,

обычно используется замена  .

Сейчас покажу, как это работает.

Легко проверить, что   не является корнем этого уравнения: ведь если подставить   в уравнение, получим  , что противоречит условию.

Разделим уравнение на  :

 .

Перегруппируем:

 .

Теперь делаем замену:  .

Прелесть ее в том, что при возведении в квадрат в удвоенном произведении слагаемых сокращается x:

 

Отсюда следует, что  .

Вернемся к нашему уравнению:

 

Теперь достаточно решить квадратное уравнение и сделать обратную замену.

Пример:

Решите уравнение:  .

Решение:

При   равенство не выполняется, поэтому  . Разделим уравнение на  :

 

 

 

Замена:  .

Тогда  .

Уравнение примет вид:

 .

Его корни:  

Произведем обратную замену:

 

Решим полученные уравнения:

1)  .

 

 

2)  .

 

 

Ответ:  ;  .

Еще пример:

Решите неравенство  .

Решение:

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что   не входит в решение этого неравенства. Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на  :

 .

Теперь очевидна замена переменной:  .

Тогда неравенство примет вид:

 

Используем метод интервалов для нахождения y:

замена переменных, интервал 1

 

 .

замена переменных, интервал 2

 

 

  при всех  , так как  

Значит, неравенство равносильно следующему:  .

 .

  при всех  , так как  

Значит, неравенство равносильно следующему:  

 

  при всех  , так как  .

Значит, неравенство равносильно следующему:  .

Итак, неравенство оказывается равносильно совокупности:

 

Ответ:  .

Замена переменных – один из важнейших методов решения уравнений и неравенств.

Напоследок дам тебе пару важных советов:

  1. Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.
  2. Уравнение (неравенство) относительно новой переменно необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

Успехов!

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Хотите открыть все скрытые тексты в учебнике? Приобретите подписку и тексты будут открыты до даты экзамена. Стоимость подписки 499 руб

Купить подписку