Координаты и векторы. Продвинутый уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

В этой статье мы обсудим с тобой еще один класс задач, которые можно решать при помощи метода координат: задачи на вычисление расстояния. А именно, мы с тобой рассмотрим следующие случаи:

  1. Вычисление расстояния от точки до плоскости
  2. Вычисление расстояния от прямой до плоскости
  3. Вычисление расстояния точки до прямой
  4. Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми.

Я упорядочил данные задания по мере увеличения их сложности. Наиболее просто оказывается найти расстояние от точки до плоскости, а самое сложное – найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Хотя, конечно, нет ничего невозможного! Давай не будем откладывать в долгий ящик и сразу приступим к рассмотрению первого класса задач:

Вычисление расстояния от точки до плоскости

Что нам потребуется для решения этой задачи?

1. Координаты точки  

2. Уравнение плоскости  

Итак, как только мы получим все необходимые данные, то применяем формулу:

 

Как мы строим уравнение плоскости тебе уже должно быть известно из предыдущих задач, которые я разбирал в прошлой части. Давай сразу приступим к задачам. Схема следующая: 1, 2 –я помогаю тебе решать, причем довольно подробно, 3, 4 – только ответ, решение ты проводишь сам и сравниваешь. Начали!

Задачи:

1. Дан куб  . Длина ребра куба равна  . Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны от­рез­ка   до плос­ко­сти  

2. Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да   Бо­ко­вое ребро   сто­ро­на ос­но­ва­ния равна  . Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки   до плос­ко­сти   где   — се­ре­ди­на ребра  .

3. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де   с ос­но­ва­ни­ем   бо­ко­вое ребро равно  , а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна  . Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны   до плос­ко­сти  .

4. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме   все рёбра равны  . Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки   до плос­ко­сти  .

Решения:

1. Рисуем кубик с единичными ребрами, строим отрезок и плоскость, середину отрезка   обозначим буквой  

Расстояние от середины отрезка до плоскости.

Вначале давай начнем с легкого: найдем координаты точки  . Так как   то   (вспомни координаты середины отрезка!)

Теперь составляем уравнение плоскости по трем точкам  

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end{array}} \right| = 0\]

 

 

Теперь я могу приступать к поиску расстояния:

 

Ответ:  

2. Вновь начинаем с чертежа, на котором отмечаем все данные!

Для пирамиды было бы полезно отдельно рисовать ее основание.

Расстояние от точки до плоскости

Даже тот факт, что я рисую как курица лапой, не помешает нам с легкостью решить эту задачу!

1.  .

Тогда  

Теперь легко найти координаты точки  

Так как координаты точки  , то  

2. Так как координаты точки     а   – середина отрезка  , то

 

Без проблем найдем и координаты еще двух точек на плоскости     Составляем уравнение плоскости и упростим его:

\[\left| {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&1&{\frac{3}{2}}\\y&0&{\frac{3}{2}}\\z&0&{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right|} \right| = 0\]

 

 

 

Так как точка   имеет координаты:  , то вычисляем расстояние:

 

Ответ (очень редкий!):  

Ну что, разобрался? Мне кажется, что здесь все так же технично, как и в тех примерах, что мы рассматривали с тобой в предыдущей части. Так что я уверен, что если ты овладел тем материалом, то тебе не составит труда решить оставшиеся две задачи. Я лишь приведу ответы:

  1. 3.  
  2. 4.  

Вычисление расстояния от прямой до плоскости

На самом деле, здесь нет ничего нового. Как могут располагаться прямая и плоскость друг относительно друга? У них есть всего   возможности: пересечься, или прямая параллельна плоскости. Как ты думаешь, чем равно расстояние от прямой до плоскости, с которой данная прямая пересекается? Мне кажется, что тут ясно, что такое расстояние равно нулю. Неинтересный случай.

расстояния от прямой до плоскости рис. 1

Второй случай хитрее: тут уже расстояние ненулевое. Однако, так как прямая параллельна плоскости, то каждая точка прямой равноудалена от этой плоскости:

расстояния от прямой до плоскости рис. 2

Таким образом:

Расстояние от плоскости до параллельной ей прямой = расстоянию от любой точки прямой до плоскости.

А это значит, что моя задача свелась к предыдущей: ищем координаты любой точки на прямой, ищем уравнение плоскости, вычисляем расстояние от точки до плоскости. На самом деле, такие задачи в ЕГЭ встречаются крайне редко. Мне удалось найти лишь одну задачу, и то данные в ней были такими, что метод координат к ней был не очень-то и применим!

Теперь перейдем к другому, гораздо более важному классу задач:

Вычисление расстояния точки до прямой

Что нам потребуется?

1. Координаты точки, от которой мы ищем расстояние:  

2. Координаты любой точки, лежащей на прямой  

3. Координаты направляющего вектора прямой  

Какую применяем формулу?

Ответ:

 

Что означает знаменатель данной дроби тебе и так должно быть ясно: это длина направляющего вектора прямой. Здесь очень хитрый числитель! Выражение   означает модуль (длина) векторного произведения векторов   и   Как вычислять векторное произведение, мы с тобой изучали в предыдущей части работы. Освежи свои знания, нам они сейчас очень пригодятся!

Таким образом, алгоритм решения задач будет следующий:

1. Ищем координаты точки, от которой мы ищем расстояние:  

2. Ищем координаты любой точки на прямой, до которой мы ищем расстояние:  

3. Строим вектор    

4. Строим направляющий вектор прямой  

5. Вычисляем векторное произведение  

6. Ищем длину полученного вектора:  

7. Вычисляем расстояние:
 

Работы у нас много, а примеры будут достаточно сложными! Так что теперь сосредоточь все внимание!

1. Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да   с вер­ши­ной  . Сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна  , вы­со­та равна  . Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны бо­ко­во­го ребра   до пря­мой  , где точки   и   — се­ре­ди­ны ребер   и   со­от­вет­ствен­но.

2. Длины ребер   и   пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да   равны со­от­вет­ствен­но   и   Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны   до пря­мой  

3. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме   все ребра ко­то­рой равны   най­ди­те рас­сто­я­ние от точки   до пря­мой  

Решения:

1. Делаем аккуратный чертеж, на котором отмечаем все данные:

Расстояние от середины отрезка до прямой

Работы у нас с тобой уйма! Я вначале бы хотел описать словами, что мы будем искать и в каком порядке:

1. Координаты точек   и  

2. Координаты точки  

3. Координаты точек   и  

4. Координаты векторов   и  

5. Их векторное произведение

6. Длину вектора  

7. Длину векторного произведения

8. Расстояние от   до  

Ну что же, работы нам предстоит немало! Принимаемся за нее, засучив рукава!

1. Чтобы найти координаты высоты пирамиды, нам нужно знать координаты точки   Её аппликата равна нулю, а ордината равна   Абсцисса ее равна длине отрезка     Так как   – высота равностороннего треугольника  , то она делится в отношении  , считая от вершины, отсюда  . Окончательно, получили координаты:

 

Тогда  .

Координаты точки  

2.   – середина отрезка  

 

3.  – середина отрезка  

 

  – середина отрезка  

 

4.Координаты 

Координаты вектора  

 

5. Вычисляем векторное произведение:

Векторное произведение (матрица)

 

6. Длина вектора  : проще всего заменить, что отрезок   – средняя линия треугольника  , а значит, он равен половине основания  . Так что  .

7. Считаем длину векторного произведения:

 

8. Наконец, находим расстояние:

 

Уф, ну все! Честно тебе скажу: решение этой задачи традиционными методами (через построения), было бы намного быстрее. Зато здесь я все свел к готовому алгоритму! Я так думаю, что алгоритм решения тебе ясен? Поэтому попрошу тебя решить оставшиеся две задачи самостоятельно. Сравним ответы?

2.  

3.  

Опять-таки повторюсь: эти задачи проще (быстрее) решать через построения, а не прибегая к координатному методу. Я продемонстрировал такой способ решения лишь затем, чтобы показать тебе универсальный метод, который позволяет «ничего не достраивать».

Наконец, рассмотрим последний класс задач:

Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми

Здесь алгоритм решения задач будет схож с предыдущим. Что у нас есть:

1. Направляющий вектор первой прямой:  

2. Направляющий вектор второй прямой:  

3. Любой вектор, соединяющий точки первой и второй прямой:  

Как мы ищем расстояние между прямыми?

Формула следующая:

 

Числитель – это модуль смешанного произведения (мы его вводили в предыдущей части), а знаменатель – как и в предыдущей формуле (модуль векторного произведения направляющих векторов прямых, расстояние между которыми мы с тобой ищем).

Я напомню тебе, что

тогда формулу для расстояния можно переписать в виде:

\[d = \frac{{\left| \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0}}&{{y_0}}&{{z_0}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}\end{array}\end{array} \right|}}{{\left| \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow i }&{\overrightarrow j }&{\overrightarrow k }\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}\end{array}\end{array} \right|}}\]

Этакий определитель делить на определитель! Хотя, если честно, мне здесь совсем не до шуток! Данная формула, на самом деле, очень громоздка и приводит к достаточно сложным вычислениям. На твоем месте я бы прибегал к ней только в самом крайнем случае!

Давай попробуем решить несколько задач, используя изложенный выше метод:

1. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме  , все рёбра ко­то­рой равны  , най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми   и  .

2. Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма   все рёбра ос­но­ва­ния ко­то­рой равны   Се­че­ние, про­хо­дя­щее через бо­ко­вое ребро   и се­ре­ди­ну   ребра   яв­ля­ет­ся квад­ра­том. Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми   и  

Первую решаю я, а опираясь на нее, вторую решаешь ты!

1. Рисую призму и отмечаю прямые   и  

Расстояние между прямыми рис. 1

Координаты точки С:   тогда  

Координаты точки  

Координаты вектора  

Координаты точки  

Координаты вектора  

Координаты вектора  

\[\left( {B,\overrightarrow {A{A_1}} \overrightarrow {B{C_1}} } \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}0&0&1\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \frac{1}{2}}&1\end{array}}\end{array}} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

Считаем векторное произведение между векторами   и  

\[\overrightarrow {A{A_1}} \cdot \overrightarrow {B{C_1}} = \left| \begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow i }&{\overrightarrow j }&{\overrightarrow k }\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}0&0&1\end{array}\\\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \frac{1}{2}}&1\end{array}\end{array} \right| - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\overrightarrow k + \frac{1}{2}\overrightarrow i \]

Теперь считаем его длину:

 

Тогда

 

Ответ:  

Теперь постарайся аккуратно выполнить вторую задачу. Ответом на нее будет:  .