Окружность. Вписанный угол. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Основные термины.

Хорошо ли ты помнишь все названия, связанные с окружностью? На всякий случай напомним – смотри на картинки – освежай знания.

Ну, во-первых – центр окружности – такая точка, расстояния от которой до всех точек окружности одинаковые.

650z1

Во-вторых – радиусотрезок, соединяющий центр и точку на окружности.

650z2

Радиусов очень много (столько же, сколько и точек на окружности), но длина у всех радиусов – одинаковая.

Иногда для краткости радиусом называют именно длину отрезка «центр – точка на окружности», а не сам отрезок.

А вот что получится, если соединить две точки на окружности? Тоже отрезок?

Так вот, этот отрезок называется «хорда».

650z3

Тут есть ещё одно принятое выражение: «хорда стягивает дугу». Вот, здесь на рисунке, например, хорда $latex \displaystyle AB$ стягивает дугу $latex \displaystyle AB$. А если хорда вдруг проходит через центр, то у неё есть специальное название: «диаметр».

650z4

Так же, как и в случае с радиусом, диаметром часто называют длину отрезка, соединяющего две точки на окружности и проходящего через центр. Кстати, а как связаны диаметр и радиус? Посмотри внимательно. Конечно же, радиус равен половине диаметра.

650z5

Кроме хорд бывают еще и секущие.

650zh6

Вспомнили самое простое?

А теперь – названия для углов.

Центральный угол – угол между двумя радиусами.

Естественно, не правда ли? Стороны угла выходят из центра – значит, угол – центральный.

650z6

А теперь – вписанный угол

Вписанный угол – угол между двумя хордами, которые пересекаются в точке на окружности.

650zh8

При этом говорят, что вписанный угол $latex \displaystyle ABC$ опирается на дугу (или на хорду) $latex \displaystyle AC$.

Вот здесь иногда возникают сложности. Обрати внимание – НЕ ЛЮБОЙ угол внутри окружности – вписанный, а только такой, у которого вершина «сидит» на самой окружности.

Смотри на картинку:

650zh9

650zh10

Проверь себя — реши задачи на окружность и вписанный угол.

Измерения дуг и углов.

Длина окружности. Дуги и углы измеряются в градусах и радианах. Сперва о градусах. Для углов проблем нет – нужно научиться измерить дугу в градусах.

650zh11

Градусная мера (величина дуги) – это величина (в градусах) соответствующего центрального угла

Что здесь значит слово «соответствующего»? Смотрим внимательно:

650zh12

Видишь две дуги $latex \displaystyle AB$ и два центральных угла? Ну вот, большей дуге соответствует больший угол (и ничего страшного, что он больше $latex \displaystyle 180{}^\circ $), а меньшей дуге соответствует меньший угол.

Итак, договорились: в дуге содержится столько же градусов, сколько в соответствующем центральном угле.

А теперь о страшном – о радианах!

Что же это за зверь такой «радиан»?

Представь себе: радианы – это способ измерения угла … в радиусах!

Угол величиной $latex \displaystyle 1$ радиан – такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Тогда возникает вопрос – а сколько же радиан в развёрнутом угле?

650zh14

Иными словами: сколько радиусов «помещается» в половине окружности? Или ещё по-другому: во сколько раз длина половины окружности больше радиуса?

Этим вопросом задавались учёные ещё в Древней Греции.

И вот, после долгих поисков они обнаружили, что отношение длины окружности к радиусу никак не хочет выражаться «человеческими» числами вроде $latex \displaystyle 1,\text{ }2,\text{ }3,\frac{7}{5},\frac{2}{239}$  и т.п.

И даже не получается выразить это отношение через корни. То есть, оказывается, нельзя сказать, что половина окружности в $latex \displaystyle 2,5$ раза или в $latex \displaystyle \sqrt{17}$ раз больше радиуса! Представляешь, как удивительно это было обнаружить людям впервые?! Для отношения длины половины окружности к радиусу на хватило «нормальных» чисел. Пришлось вводить букву $latex \displaystyle \pi $.

Итак, $latex \displaystyle \pi $ – это число, выражающее отношение длины полуокружности к радиусу.

Теперь мы можем ответить на вопрос: сколько радиан в развёрнутом угле? В нём $latex \displaystyle \pi $ радиан. Именно оттого, что половина окружности в $latex \displaystyle \pi $ раз больше радиуса.

Древние (и не очень)  люди на протяжении веков (!) попытались поточнее подсчитать это загадочное число $latex \displaystyle \pi $, получше выразить его (хоть приблизительно) через «обыкновенные» числа. А мы сейчас до невозможности ленивы – нам достаточно двух знаков после занятой,  мы привыкли, что

$latex \displaystyle \pi \approx 3,14$

Задумайся, это значит, например, что y окружности с радиусом единица длина приблизительно равна $latex \displaystyle 6,28$, а точно эту длину просто невозможно записать «человеческим» числом – нужна буква $latex \displaystyle \pi $. И тогда эта длина окружности окажется равной $latex \displaystyle 2\pi $. И конечно, длина окружности радиуса $latex \displaystyle R$ равна $latex \displaystyle 2\pi R$.

Вернёмся к радианам.

Мы выяснили уже, что в развёрнутом угле содержится $latex \displaystyle \pi $ радиан.

650zh15

Исходя из этого, можно пересчитать любые углы «в градусах» на углы «в радианах». Для этого нужно просто решить пропорцию! Давай попробуем. Возьмём угол в $latex \displaystyle 30{}^\circ $.

Что имеем:

$latex \displaystyle 180{}^\circ -\pi $ рад.

$latex \displaystyle 30{}^\circ -\ x$ рад.

Значит, $latex \displaystyle x=\frac{30{}^\circ \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{180{}^\circ }=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$рад., то есть  $latex \displaystyle 30{}^\circ =\frac{\pi }{6}$рад. Таким же образом получается табличка с наиболее популярными углами. 

$latex \displaystyle 30{}^\circ$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{6}$
$latex \displaystyle 45{}^\circ$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{4}$
$latex \displaystyle 90{}^\circ$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}$
$latex \displaystyle 180{}^\circ$ $latex \displaystyle \pi $
$latex \displaystyle 270{}^\circ$ $latex \displaystyle \frac{3\pi }{2}$
$latex \displaystyle 360{}^\circ$ $latex \displaystyle 2\pi $

Итак, осознай и не бойся: если ты видишь букву  или выражение $latex \displaystyle \frac{7\pi }{2}$ и т.п., то речь идёт об угле и, по сути, запись через букву  $latex \displaystyle \pi$ всегда выражает, какую часть от развёрнутого угла составляет тот угол, о котором идёт речь. А для убедительности ещё раз взгляни на табличку

$latex \displaystyle 30{}^\circ$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{6}$ $latex \displaystyle \frac{1}{6}$ от $latex \displaystyle 180{}^\circ $, то есть от $latex \displaystyle \pi $
$latex \displaystyle 45{}^\circ$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{4}$ $latex \displaystyle \frac{1}{4}$ от $latex \displaystyle 180{}^\circ $, то есть от $latex \displaystyle \pi $
$latex \displaystyle 90{}^\circ$ $latex \displaystyle \frac{\pi }{2}$ $latex \displaystyle \frac{1}{2}$ от $latex \displaystyle 180{}^\circ $, то есть от $latex \displaystyle \pi $
$latex \displaystyle 180{}^\circ$ $latex \displaystyle \pi $ это и есть $latex \displaystyle \pi $
$latex \displaystyle 270{}^\circ$ $latex \displaystyle \frac{3\pi }{2}$ $latex \displaystyle 270{}^\circ $ в $latex \displaystyle 1,5$ раза больше, чем $latex \displaystyle 180{}^\circ $
$latex \displaystyle 360{}^\circ$ $latex \displaystyle 2\pi $ А это $latex \displaystyle 2$ раза по $latex \displaystyle 180{}^\circ $, то есть $latex \displaystyle 2\pi $

Проверь себя — реши задачи на окружность и вписанный угол.

Соотношение между величинами вписанного и центрального углов.

Имеет место удивительный факт:

Величина вписанного угла вдвое меньше, чем величина соответствующего центрального угла.

650zh16

Посмотри, как это утверждение выглядит на картинке. «Соответствующий» центральный угол такой, у которого концы совпадают с концами вписанного угла, а вершина в центре. И при этом «соответствующий» центральный угол должен «смотреть» на ту же хорду ($latex \displaystyle AC$), что и вписанный угол.

Почему же так? Давай разберёмся сначала на простом случае. Пусть одна из хорд проходит через центр. Ведь бывает же так иногда, верно?

650zh17

Что же тут получается? Рассмотрим $latex \displaystyle \Delta AOB$. Он равнобедренный – ведь $latex \displaystyle AO$ и $latex \displaystyle OB$ – радиусы. Значит, $latex \displaystyle \angle A=\angle B$ (обозначили их $latex \displaystyle \alpha $).

Теперь посмотрим на $latex \displaystyle \angle AOC$. Это же внешний угол для $latex \displaystyle \Delta AOB$! Вспоминаем, что внешний угол равен сумм двух внутренних, не смежных с ним, и записываем:

$latex \displaystyle \angle AOC=\angle A+\angle B$

То есть $latex \displaystyle \angle AOC\text{ }=\text{ }2\alpha $! Неожиданный эффект. Но $latex \displaystyle \angle AOC$ и есть центральный угол для вписанного $latex \displaystyle \angle ABC$.

650zh18

Значит, для этого случая доказали, что центральный угол вдвое больше вписанного. Но уж больно частный случай: правда ведь, далеко не всегда хорда $latex \displaystyle BC$ проходит прямиком через центр? Но ничего, сейчас этот частный случай нам здорово поможет. Смотри: второй случай: пусть центр лежит внутри $latex \displaystyle \angle ABC$.

650zh19

Давай сделаем вот что: проведём диаметр $latex \displaystyle \text{BK}$. И тогда … видим две картинки, которые уже разбирали в первом случае. Поэтому уже имеем, что

$latex \displaystyle \angle ~AOK=2~\angle ~ABK$ и $latex \displaystyle \angle ~COK=2~\angle CBK$

Но ведь

$latex \displaystyle \angle ~ABC=\angle ~ABK+~\angle ~CBK$ и $latex \displaystyle \angle ~AOC=\angle ~AOK+~\angle ~COK$

Значит, $latex \displaystyle \angle ~AOC=2~\angle ~ABC$ (на чертеже $latex \displaystyle \angle ~ABC=~{{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}$, а $latex \displaystyle \angle ~AOC=2{{\alpha }_{1}}+2{{\alpha }_{2}}$)

Ну вот, и остался последний случай: центр вне угла $latex \displaystyle ABC$.

650zh20

Делаем то же самое: проводим диаметр через точку $latex \displaystyle \text{B}$. Все то же самое, но вместо суммы – разность.

$latex \displaystyle \angle ~ABC=~{{\alpha }_{1}}-{{\alpha }_{2}}$, а $latex \displaystyle \angle ~AOC=2{{\alpha }_{1}}-2{{\alpha }_{2}}$

$latex \displaystyle \angle ~AOC=2~\angle ~ABC$

Вот и всё!

Давай теперь сформируем два главных и очень важных следствия из утверждения о том, что вписанный угол вдвое меньше центрального.

Следствие 1

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

Иллюстрируем:

650zh21

Вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу (у нас эта дуга $latex \displaystyle AC$) – бесчисленное множество, они могут выглядеть совсем по-разному, но у них у всех один и тот же центральный угол ($latex \displaystyle \angle ~AOC$), а значит, все эти вписанные углы равны между собой.

Следствие 2

Угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Смотри:  какой угол является центральным для $latex \displaystyle \angle ABC$?

650zh22

Конечно, $latex \displaystyle \angle ~AOC$. Но он равен $latex \displaystyle 180{}^\circ $! Ну вот, поэтому $latex \displaystyle \angle ~ABC$ (а так же ещё множество вписанных углов, опирающихся на $latex \displaystyle AC$) и равен $latex \displaystyle 90{}^\circ $.

Проверь себя — реши задачи на окружность и вписанный угол.

Угол между двумя хордами и секущими

А что, если интересующий нас угол НЕ вписанный и НЕ центральный, а, например, такой:

650zh23

или такой?

650zh24

Можно ли его как-то выразить всё-таки через какие-то центральные углы? Оказывается, можно. Смотри: нас интересует $latex \displaystyle \angle ABC$.

a) $latex \displaystyle \angle \text{ }\!\!~\!\!\text{ ABC}=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\angle \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+\angle \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }$ ( как внешний угол для $latex \displaystyle \Delta ADB$). Но $latex \displaystyle \angle \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$ — вписанный, опирается на дугу $latex \displaystyle DE$ — $latex \displaystyle \angle \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{1}{2}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\angle \text{DOE}$.  $latex \displaystyle \angle \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }$ – вписанный, опирается на дугу $latex \displaystyle AC$ — $latex \displaystyle \angle \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }=\frac{1}{2}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\angle \text{AOC}$.

650zh25

Значит, $latex \displaystyle \angle ~ABC=\frac{1}{2}\angle \text{DOE}+\frac{1}{2}\angle \text{AOC}$.

Для красоты говорят:

650zh26

Угол между хордами равен полусумме угловых величин дуг, заключённых в этот угол.

$latex \displaystyle \angle \text{ }\!\!~\!\!\text{ ABC}=\frac{\text{AC}}{2}+\frac{\text{DE}}{2}$ – так пишут для краткости, но конечно, при использовании этой формулы нужно иметь в виду центральные углы

b) А теперь $latex \displaystyle \angle ~ABC$ — «снаружи»! Как же быть? Да почти так же! Только теперь $latex \displaystyle \angle \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }=\angle \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\angle \text{ABC}$ (снова применяем свойство внешнего угла для $latex \displaystyle \Delta ADB$). То есть теперь $latex \displaystyle \angle \text{ABC}=\angle \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }-\angle \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$.

650zh27

И опять

$latex \displaystyle \angle \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{1}{2}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\angle \text{DOE}$

$latex \displaystyle \angle \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }=\frac{1}{2}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\angle \text{AOC}$

И значит, $latex \displaystyle \angle ~ABC=\frac{1}{2}\angle \text{AOC}-\frac{1}{2}\angle \text{DOE}$. Наведём красоту и краткость в записях и формулировках:

650zh28

Угол между секущими равен полуразности угловых величин дуг, заключённых в этот угол.

$latex \displaystyle \angle \text{ }\!\!~\!\!\text{ ABC}=\frac{\text{AC}}{2}-\frac{\text{DE}}{2}$

Ну вот, теперь ты вооружён всеми основными знаниями об углах, связанных с окружностью. Вперёд, на штурм задач!

Проверь себя — реши задачи на окружность и вписанный угол.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий