Окружность. Вписанный угол. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Основные термины.

Хорошо ли ты помнишь все названия, связанные с окружностью? На всякий случай напомним – смотри на картинки – освежай знания.

Ну, во-первых – центр окружности – такая точка, расстояния от которой до всех точек окружности одинаковые.

650z1

Во-вторых – радиусотрезок, соединяющий центр и точку на окружности.

650z2

Радиусов очень много (столько же, сколько и точек на окружности), но длина у всех радиусов – одинаковая.

Иногда для краткости радиусом называют именно длину отрезка «центр – точка на окружности», а не сам отрезок.

А вот что получится, если соединить две точки на окружности? Тоже отрезок?

Так вот, этот отрезок называется «хорда».

650z3

Тут есть ещё одно принятое выражение: «хорда стягивает дугу». Вот, здесь на рисунке, например, хорда \(\displaystyle AB\) стягивает дугу \(\displaystyle AB\). А если хорда вдруг проходит через центр, то у неё есть специальное название: «диаметр».

650z4

Так же, как и в случае с радиусом, диаметром часто называют длину отрезка, соединяющего две точки на окружности и проходящего через центр. Кстати, а как связаны диаметр и радиус? Посмотри внимательно. Конечно же, радиус равен половине диаметра.

650z5

Кроме хорд бывают еще и секущие.

650zh6

Вспомнили самое простое?

А теперь – названия для углов.

Центральный угол – угол между двумя радиусами.

Естественно, не правда ли? Стороны угла выходят из центра – значит, угол – центральный.

650z6

А теперь – вписанный угол

Вписанный угол – угол между двумя хордами, которые пересекаются в точке на окружности.

650zh8

При этом говорят, что вписанный угол \(\displaystyle ABC\) опирается на дугу (или на хорду) \(\displaystyle AC\).

Вот здесь иногда возникают сложности. Обрати внимание – НЕ ЛЮБОЙ угол внутри окружности – вписанный, а только такой, у которого вершина «сидит» на самой окружности.

Смотри на картинку:

650zh9

650zh10

Проверь себя — реши задачи на окружность и вписанный угол.

Измерения дуг и углов.

Длина окружности. Дуги и углы измеряются в градусах и радианах. Сперва о градусах. Для углов проблем нет – нужно научиться измерить дугу в градусах.

650zh11

Градусная мера (величина дуги) – это величина (в градусах) соответствующего центрального угла

Что здесь значит слово «соответствующего»? Смотрим внимательно:

650zh12

Видишь две дуги \(\displaystyle AB\) и два центральных угла? Ну вот, большей дуге соответствует больший угол (и ничего страшного, что он больше \(\displaystyle 180{}^\circ \)), а меньшей дуге соответствует меньший угол.

Итак, договорились: в дуге содержится столько же градусов, сколько в соответствующем центральном угле.

А теперь о страшном – о радианах!

Что же это за зверь такой «радиан»?

Представь себе: радианы – это способ измерения угла … в радиусах!

Угол величиной \(\displaystyle 1\) радиан – такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Тогда возникает вопрос – а сколько же радиан в развёрнутом угле?

650zh14

Иными словами: сколько радиусов «помещается» в половине окружности? Или ещё по-другому: во сколько раз длина половины окружности больше радиуса?

Этим вопросом задавались учёные ещё в Древней Греции.

И вот, после долгих поисков они обнаружили, что отношение длины окружности к радиусу никак не хочет выражаться «человеческими» числами вроде \(\displaystyle 1,\text{ }2,\text{ }3,\frac{7}{5},\frac{2}{239}\)  и т.п.

И даже не получается выразить это отношение через корни. То есть, оказывается, нельзя сказать, что половина окружности в \(\displaystyle 2,5\) раза или в \(\displaystyle \sqrt{17}\) раз больше радиуса! Представляешь, как удивительно это было обнаружить людям впервые?! Для отношения длины половины окружности к радиусу на хватило «нормальных» чисел. Пришлось вводить букву \(\displaystyle \pi \).

Итак, \(\displaystyle \pi \) – это число, выражающее отношение длины полуокружности к радиусу.

Теперь мы можем ответить на вопрос: сколько радиан в развёрнутом угле? В нём \(\displaystyle \pi \) радиан. Именно оттого, что половина окружности в \(\displaystyle \pi \) раз больше радиуса.

Древние (и не очень)  люди на протяжении веков (!) попытались поточнее подсчитать это загадочное число \(\displaystyle \pi \), получше выразить его (хоть приблизительно) через «обыкновенные» числа. А мы сейчас до невозможности ленивы – нам достаточно двух знаков после занятой,  мы привыкли, что

\(\displaystyle \pi \approx 3,14\)

Задумайся, это значит, например, что y окружности с радиусом единица длина приблизительно равна \(\displaystyle 6,28\), а точно эту длину просто невозможно записать «человеческим» числом – нужна буква \(\displaystyle \pi \). И тогда эта длина окружности окажется равной \(\displaystyle 2\pi \). И конечно, длина окружности радиуса \(\displaystyle R\) равна \(\displaystyle 2\pi R\).

Вернёмся к радианам.

Мы выяснили уже, что в развёрнутом угле содержится \(\displaystyle \pi \) радиан.

650zh15

Исходя из этого, можно пересчитать любые углы «в градусах» на углы «в радианах». Для этого нужно просто решить пропорцию! Давай попробуем. Возьмём угол в \(\displaystyle 30{}^\circ \).

Что имеем:

\(\displaystyle 180{}^\circ -\pi \) рад.

\(\displaystyle 30{}^\circ -\ x\) рад.

Значит, \(\displaystyle x=\frac{30{}^\circ \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{180{}^\circ }=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}\)рад., то есть  \(\displaystyle 30{}^\circ =\frac{\pi }{6}\)рад. Таким же образом получается табличка с наиболее популярными углами. 

\(\displaystyle 30{}^\circ\) \(\displaystyle \frac{\pi }{6}\)
\(\displaystyle 45{}^\circ\) \(\displaystyle \frac{\pi }{4}\)
\(\displaystyle 90{}^\circ\) \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\)
\(\displaystyle 180{}^\circ\) \(\displaystyle \pi \)
\(\displaystyle 270{}^\circ\) \(\displaystyle \frac{3\pi }{2}\)
\(\displaystyle 360{}^\circ\) \(\displaystyle 2\pi \)

Итак, осознай и не бойся: если ты видишь букву  или выражение \(\displaystyle \frac{7\pi }{2}\) и т.п., то речь идёт об угле и, по сути, запись через букву  \(\displaystyle \pi\) всегда выражает, какую часть от развёрнутого угла составляет тот угол, о котором идёт речь. А для убедительности ещё раз взгляни на табличку

\(\displaystyle 30{}^\circ\) \(\displaystyle \frac{\pi }{6}\) \(\displaystyle \frac{1}{6}\) от \(\displaystyle 180{}^\circ \), то есть от \(\displaystyle \pi \)
\(\displaystyle 45{}^\circ\) \(\displaystyle \frac{\pi }{4}\) \(\displaystyle \frac{1}{4}\) от \(\displaystyle 180{}^\circ \), то есть от \(\displaystyle \pi \)
\(\displaystyle 90{}^\circ\) \(\displaystyle \frac{\pi }{2}\) \(\displaystyle \frac{1}{2}\) от \(\displaystyle 180{}^\circ \), то есть от \(\displaystyle \pi \)
\(\displaystyle 180{}^\circ\) \(\displaystyle \pi \) это и есть \(\displaystyle \pi \)
\(\displaystyle 270{}^\circ\) \(\displaystyle \frac{3\pi }{2}\) \(\displaystyle 270{}^\circ \) в \(\displaystyle 1,5\) раза больше, чем \(\displaystyle 180{}^\circ \)
\(\displaystyle 360{}^\circ\) \(\displaystyle 2\pi \) А это \(\displaystyle 2\) раза по \(\displaystyle 180{}^\circ \), то есть \(\displaystyle 2\pi \)

Проверь себя — реши задачи на окружность и вписанный угол.

Соотношение между величинами вписанного и центрального углов.

Имеет место удивительный факт:

Величина вписанного угла вдвое меньше, чем величина соответствующего центрального угла.

650zh16

Посмотри, как это утверждение выглядит на картинке. «Соответствующий» центральный угол такой, у которого концы совпадают с концами вписанного угла, а вершина в центре. И при этом «соответствующий» центральный угол должен «смотреть» на ту же хорду (\(\displaystyle AC\)), что и вписанный угол.

Почему же так? Давай разберёмся сначала на простом случае. Пусть одна из хорд проходит через центр. Ведь бывает же так иногда, верно?

650zh17

Что же тут получается? Рассмотрим \(\displaystyle \Delta AOB\). Он равнобедренный – ведь \(\displaystyle AO\) и \(\displaystyle OB\) – радиусы. Значит, \(\displaystyle \angle A=\angle B\) (обозначили их \(\displaystyle \alpha \)).

Теперь посмотрим на \(\displaystyle \angle AOC\). Это же внешний угол для \(\displaystyle \Delta AOB\)! Вспоминаем, что внешний угол равен сумм двух внутренних, не смежных с ним, и записываем:

\(\displaystyle \angle AOC=\angle A+\angle B\)

То есть \(\displaystyle \angle AOC\text{ }=\text{ }2\alpha \)! Неожиданный эффект. Но \(\displaystyle \angle AOC\) и есть центральный угол для вписанного \(\displaystyle \angle ABC\).

650zh18

Значит, для этого случая доказали, что центральный угол вдвое больше вписанного. Но уж больно частный случай: правда ведь, далеко не всегда хорда \(\displaystyle BC\) проходит прямиком через центр? Но ничего, сейчас этот частный случай нам здорово поможет. Смотри: второй случай: пусть центр лежит внутри \(\displaystyle \angle ABC\).

650zh19

Давай сделаем вот что: проведём диаметр \(\displaystyle \text{BK}\). И тогда … видим две картинки, которые уже разбирали в первом случае. Поэтому уже имеем, что

\(\displaystyle \angle ~AOK=2~\angle ~ABK\) и \(\displaystyle \angle ~COK=2~\angle CBK\)

Но ведь

\(\displaystyle \angle ~ABC=\angle ~ABK+~\angle ~CBK\) и \(\displaystyle \angle ~AOC=\angle ~AOK+~\angle ~COK\)

Значит, \(\displaystyle \angle ~AOC=2~\angle ~ABC\) (на чертеже \(\displaystyle \angle ~ABC=~{{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}\), а \(\displaystyle \angle ~AOC=2{{\alpha }_{1}}+2{{\alpha }_{2}}\))

Ну вот, и остался последний случай: центр вне угла \(\displaystyle ABC\).

650zh20

Делаем то же самое: проводим диаметр через точку \(\displaystyle \text{B}\). Все то же самое, но вместо суммы – разность.

\(\displaystyle \angle ~ABC=~{{\alpha }_{1}}-{{\alpha }_{2}}\), а \(\displaystyle \angle ~AOC=2{{\alpha }_{1}}-2{{\alpha }_{2}}\)

\(\displaystyle \angle ~AOC=2~\angle ~ABC\)

Вот и всё!

Давай теперь сформируем два главных и очень важных следствия из утверждения о том, что вписанный угол вдвое меньше центрального.

Следствие 1

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

Иллюстрируем:

650zh21

Вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу (у нас эта дуга \(\displaystyle AC\)) – бесчисленное множество, они могут выглядеть совсем по-разному, но у них у всех один и тот же центральный угол (\(\displaystyle \angle ~AOC\)), а значит, все эти вписанные углы равны между собой.

Следствие 2

Угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Смотри:  какой угол является центральным для \(\displaystyle \angle ABC\)?

650zh22

Конечно, \(\displaystyle \angle ~AOC\). Но он равен \(\displaystyle 180{}^\circ \)! Ну вот, поэтому \(\displaystyle \angle ~ABC\) (а так же ещё множество вписанных углов, опирающихся на \(\displaystyle AC\)) и равен \(\displaystyle 90{}^\circ \).

Проверь себя — реши задачи на окружность и вписанный угол.

Угол между двумя хордами и секущими

А что, если интересующий нас угол НЕ вписанный и НЕ центральный, а, например, такой:

650zh23

или такой?

650zh24

Можно ли его как-то выразить всё-таки через какие-то центральные углы? Оказывается, можно. Смотри: нас интересует \(\displaystyle \angle ABC\).

a) \(\displaystyle \angle \text{ }\!\!~\!\!\text{ ABC}=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\angle \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+\angle \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }\) ( как внешний угол для \(\displaystyle \Delta ADB\)). Но \(\displaystyle \angle \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\) — вписанный, опирается на дугу \(\displaystyle DE\) — \(\displaystyle \angle \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{1}{2}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\angle \text{DOE}\).  \(\displaystyle \angle \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }\) – вписанный, опирается на дугу \(\displaystyle AC\) — \(\displaystyle \angle \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }=\frac{1}{2}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\angle \text{AOC}\).

650zh25

Значит, \(\displaystyle \angle ~ABC=\frac{1}{2}\angle \text{DOE}+\frac{1}{2}\angle \text{AOC}\).

Для красоты говорят:

650zh26

Угол между хордами равен полусумме угловых величин дуг, заключённых в этот угол.

\(\displaystyle \angle \text{ }\!\!~\!\!\text{ ABC}=\frac{\text{AC}}{2}+\frac{\text{DE}}{2}\) – так пишут для краткости, но конечно, при использовании этой формулы нужно иметь в виду центральные углы

b) А теперь \(\displaystyle \angle ~ABC\) — «снаружи»! Как же быть? Да почти так же! Только теперь \(\displaystyle \angle \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }=\angle \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\angle \text{ABC}\) (снова применяем свойство внешнего угла для \(\displaystyle \Delta ADB\)). То есть теперь \(\displaystyle \angle \text{ABC}=\angle \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }-\angle \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\).

650zh27

И опять

\(\displaystyle \angle \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{1}{2}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\angle \text{DOE}\)

\(\displaystyle \angle \text{ }\!\!\beta\!\!\text{ }=\frac{1}{2}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\angle \text{AOC}\)

И значит, \(\displaystyle \angle ~ABC=\frac{1}{2}\angle \text{AOC}-\frac{1}{2}\angle \text{DOE}\). Наведём красоту и краткость в записях и формулировках:

650zh28

Угол между секущими равен полуразности угловых величин дуг, заключённых в этот угол.

\(\displaystyle \angle \text{ }\!\!~\!\!\text{ ABC}=\frac{\text{AC}}{2}-\frac{\text{DE}}{2}\)

Ну вот, теперь ты вооружён всеми основными знаниями об углах, связанных с окружностью. Вперёд, на штурм задач!

Проверь себя — реши задачи на окружность и вписанный угол.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *