Площадь треугольника и четырехугольника. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Определение площади

Что такое площадь? Странный вопрос – не правда ли? В обычной жизни мы привыкли к тому, что у всяких плоских фигур (таких как поверхность стола, стула, пол наших квартир и т.д.) есть не только длина и ширина, но и какая-то еще характеристика, которую мы, не задумываясь, называем площадью. А теперь вот давай задумаемся: что же все-таки такое площадь?

Давай начнем с самого простого. За основу берется тот факт, что:

Площадь единичного квадрата Площадь квадрата со стороной, равной \(\displaystyle \mathbf{1}\) единице длины, равна \(\displaystyle \mathbf{1}\) единице площади.

Другими словами, площадь квадрата со стороной \(\displaystyle \mathbf{1}\) метр мы считаем одним «метром площади».

Квадрат со стороной 1 Но писать все время «метр площади» и слишком длинно, и звучит как-то странно. И вот, математики придумали название «метр квадратный» и обозначение «\(\displaystyle {{м}^{2}}\)»

Посмотри внимательно на картинку и убедись, что там действительно нарисован – «метр квадратный»! И запомни обозначение.

А вот теперь хитрый вопрос: а что такое \(\displaystyle 2{{м}^{2}}\)? Площадь квадрата со стороной \(\displaystyle 2м\)? А вот и нет!

Смотри: квадрат со стороной \(\displaystyle 2м\).

Квадрат со стороной 2 Пересчитай-ка сколько в нем квадратных метров? Удивительно, но получается \(\displaystyle 4\)!

А чтобы получить \(\displaystyle 2\) квадратных метра (то есть, \(\displaystyle 2{{м}^{2}}\)), мы должны нарисовать, например так:

Площадь 2 квадратных метра Видишь, здесь действительно нарисовано \(\displaystyle 2\) квадратных метра?

А как получить, скажем, \(\displaystyle 6{{м}^{2}}\)? Ну например так:

5

Да и вообще, если мы возьмем прямоугольник, у которого стороны равны \(\displaystyle a\) метров и \(\displaystyle b\) метров, то в этом прямоугольнике:

6

Поместится ровно \(\displaystyle a\cdot b\) квадратных метров. Посмотри внимательно: у нас есть \(\displaystyle b\)  «слоев», в каждом из которых ровно  \(\displaystyle a\) квадратных метров.

7

Значит, всего в прямоугольнике размером \(\displaystyle a\)x\(\displaystyle b\) поместилось \(\displaystyle ab\) квадратных метров. Вот это число, сколько квадратных метров поместилось в прямоугольнике, и есть его площадь.

А если фигура – вовсе не прямоугольник, а какая-то абракадабра?

8 Можно ли узнать, сколько квадратных метров в ней находится? Можно ведь некоторые квадратные метры «порезать» , переставить и т.д….?

Удивлю тебя – бывают такие ужасные абракадабры, для которых совершенно невозможно установить сколько там квадратных метров. Даже приблизительно! К сожалению нарисовать такие фигуры – невозможно.

Но они есть! Они похожи, например, на такую «расческу» с очень мелкими зубьями.

9 Но мы такими «расческами» орудовать не будем, а будем рассматривать нормальные фигуры.

И вот, для нормальных фигур можно интуитивно (то есть для себя) считать ,что площадь фигуры – это такое число, сколько в этой фигуре «поместится» квадратных единиц (метров, сантиметров и т.д.) Более строгое, «настоящее» определение площади смотри в следующих уровнях теории.

И представь себе, математики для многих фигур научились выражать площади через какие-то линейные (те, что можно измерить линейкой) элементы фигур. Эти выражения называются «формулы площади». Формул этих довольно много – математики долго старались. Ты постарайся запомнить сначала самые простые и основные формулы, а потом уже те, что посложнее.

Проверь себя — реши задачи на площадь треугольника и четырехугольника.

Формулы площади

Квадрат

Площадь. Квадрат \( \displaystyle \Large S={{a}^{2}}\) — это просто, не правда ли?

Прямоугольник

Площадь. Прямоугольник \(\displaystyle \Large S=ab\) — это мы уже успели обсудить.

Прямоугольный треугольник

Площадь. Прямоугольный треугольник Прямоугольный треугольник — ровно половина прямоугольника. Поэтому:
\(\displaystyle \Large S=\frac{1}{2}ab\)
\(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) – катеты.

Треугольник (произвольный)

Для треугольника есть сразу несколько формул площади.

Основная формула

Основная формула площади треугольника \(\displaystyle \Large S=\frac{1}{2}ah\)
\(\displaystyle a\) – любая сторона,
\(\displaystyle h\) – высота к этой стороне.

Вторая основная формула

Вторая основная формула площади треугольника \(\displaystyle \Large S=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \alpha \)
\(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) – любые две стороны,
\(\displaystyle \alpha \) — угол между ними.

Третья формула

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности \(\displaystyle \Large S=pr\)
\(\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}\) — полупериметр,
\(\displaystyle r\) – радиус вписанной окружности.

Формула Герона

16 \(\displaystyle  S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)
\(\displaystyle a\),\(\displaystyle b\),\(\displaystyle c\) — стороны,
\(\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}\) — полупериметр.

Какую же формулу выбрать для твоей задачки? Основными являются формулы 1 и 2. Третью формулу нужно применять, если тебе все дано: и три стороны, и радиус вписанной окружности. Но так ведь не бывает, верно? Поэтому формулу 3 мы используем, скорее наоборот, для нахождения радиуса вписанной окружности . Тогда нужно найти площадь по одной из формул 1, 2 или 4, а потом уже радиус: \(\displaystyle r=\frac{S}{p}\).

Ну и формула 4 позволяет по \(\displaystyle 3\)-м сторонам с помощью длиннющей арифметики находить площадь. И не ошибайся в арифметике, когда будешь применять формулу Герона!

Произвольный четырехугольник

17 \(\displaystyle \Large S=\frac{1}{2}{{d}_{1}}{{d}_{2}}\cdot \sin \varphi \)
\(\displaystyle {{d}_{1}}; {{d}_{2}}\) — диагонали
\(\displaystyle \varphi \) — угол между ними

Для произвольного четырехугольника больше ничего нет, а вот для «хороших» четырехугольников – есть другие формулы.

Проверь себя — реши задачи на площадь треугольника и четырехугольника.

Параллелограмм

Основная формула

18 \(\displaystyle \Large S=ah\)
\(\displaystyle a\) — любая сторона,
\(\displaystyle h\) — высота, опущенная на эту! cторону

Вторая формула

19 И, как для всякого четырехугольника:
\(\displaystyle \Large S=\frac{1}{2}{{d}_{1}}{{d}_{2}}\cdot \sin \varphi \)
\(\displaystyle {{d}_{1}}; {{d}_{2}}\) — диагонали,
\(\displaystyle \varphi \) — угол между ними.

Ромб

У ромба диагонали перпендикулярны, поэтому основной для него становится  формула:

20 \(\displaystyle \Large S=\frac{1}{2}{{d}_{1}}{{d}_{2}}\) — и никакого \(\displaystyle \sin \varphi \) потому что \(\displaystyle \varphi =90^o\), и \(\displaystyle sin90^o=1\)
\(\displaystyle {{d}_{1}}; {{d}_{2}}\) — как всегда, диагонали

Вторая формула

А дополнительной формулой становится

21 \(\displaystyle \Large S=ah\)
\(\displaystyle a\) — сторона,
\(\displaystyle h\) — высота, опущенная на cторону.

Трапеция

Основная формула

22 \(\displaystyle \Large S=\frac{a+b}{2}\cdot h\)
\(\displaystyle a,b\) — основания,
\(\displaystyle h\) — высота.

Вторая формула

23 \(\displaystyle \Large S=\frac{1}{2}{{d}_{1}}{{d}_{2}}\cdot \sin \varphi \) — ведь трапеция – тоже четырехугольник.
\(\displaystyle {{d}_{1}}; {{d}_{2}}\) — диагонали,
\(\displaystyle \varphi \) — угол между ними.

Проверь себя — реши задачи на площадь треугольника и четырехугольника.

«Хитрые вопросы о площади»

Кроме задачек, в которых просят просто найти площадь, встречаются еще всякие вопросики. Ну вот например:

Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его сторону увеличить в три раза?

Давай ответим на этот вопрос двумя способами. Первый способ – формальный: используем формулу площади квадрата. Итак, было \(\displaystyle S_{старого}={{a}^{2}}\), значит \(\displaystyle S_{нового}=({3a})^{2}=9{a}^{2}\) — площадь увеличилась в \(\displaystyle 9\) раз!

В случае с квадратами есть и второй способ «пощупать» и убедится напрямую в этом числе \(\displaystyle 9\).

Рисуем:

28 Видишь, в квадрате со стороной \(\displaystyle 3a\) уместилось ровно \(\displaystyle 9\) квадратов со стороной \(\displaystyle a\). Значит формулам действительно можно верить.

Если же у тебя не квадрат, то остается только подставлять новые значения в формулы – и не удивляйся, если вдруг числа получатся довольно большими.

Проверь себя — реши задачи на площадь треугольника и четырехугольника.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий