Площадь треугольника и четырехугольника. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Определение площади

Что такое площадь? Странный вопрос – не правда ли? В обычной жизни мы привыкли к тому, что у всяких плоских фигур (таких как поверхность стола, стула, пол наших квартир и т.д.) есть не только длина и ширина, но и какая-то еще характеристика, которую мы, не задумываясь, называем площадью. А теперь вот давай задумаемся: что же все-таки такое площадь?

Давай начнем с самого простого. За основу берется тот факт, что:

Площадь единичного квадрата Площадь квадрата со стороной, равной $latex \displaystyle \mathbf{1}$ единице длины, равна $latex \displaystyle \mathbf{1}$ единице площади.

Другими словами, площадь квадрата со стороной $latex \displaystyle \mathbf{1}$ метр мы считаем одним «метром площади».

Квадрат со стороной 1 Но писать все время «метр площади» и слишком длинно, и звучит как-то странно. И вот, математики придумали название «метр квадратный» и обозначение «$latex \displaystyle {{м}^{2}}$»

Посмотри внимательно на картинку и убедись, что там действительно нарисован – «метр квадратный»! И запомни обозначение.

А вот теперь хитрый вопрос: а что такое $latex \displaystyle 2{{м}^{2}}$? Площадь квадрата со стороной $latex \displaystyle 2м$? А вот и нет!

Смотри: квадрат со стороной $latex \displaystyle 2м$.

Квадрат со стороной 2 Пересчитай-ка сколько в нем квадратных метров? Удивительно, но получается $latex \displaystyle 4$!

А чтобы получить $latex \displaystyle 2$ квадратных метра (то есть, $latex \displaystyle 2{{м}^{2}}$), мы должны нарисовать, например так:

Площадь 2 квадратных метра Видишь, здесь действительно нарисовано $latex \displaystyle 2$ квадратных метра?

А как получить, скажем, $latex \displaystyle 6{{м}^{2}}$? Ну например так:

5

Да и вообще, если мы возьмем прямоугольник, у которого стороны равны $latex \displaystyle a$ метров и $latex \displaystyle b$ метров, то в этом прямоугольнике:

6

Поместится ровно $latex \displaystyle a\cdot b$ квадратных метров. Посмотри внимательно: у нас есть $latex \displaystyle b$  «слоев», в каждом из которых ровно  $latex \displaystyle a$ квадратных метров.

7

Значит, всего в прямоугольнике размером $latex \displaystyle a$x$latex \displaystyle b$ поместилось $latex \displaystyle ab$ квадратных метров. Вот это число, сколько квадратных метров поместилось в прямоугольнике, и есть его площадь.

А если фигура – вовсе не прямоугольник, а какая-то абракадабра?

8 Можно ли узнать, сколько квадратных метров в ней находится? Можно ведь некоторые квадратные метры «порезать» , переставить и т.д….?

Удивлю тебя – бывают такие ужасные абракадабры, для которых совершенно невозможно установить сколько там квадратных метров. Даже приблизительно! К сожалению нарисовать такие фигуры – невозможно.

Но они есть! Они похожи, например, на такую «расческу» с очень мелкими зубьями.

9 Но мы такими «расческами» орудовать не будем, а будем рассматривать нормальные фигуры.

И вот, для нормальных фигур можно интуитивно (то есть для себя) считать ,что площадь фигуры – это такое число, сколько в этой фигуре «поместится» квадратных единиц (метров, сантиметров и т.д.) Более строгое, «настоящее» определение площади смотри в следующих уровнях теории.

И представь себе, математики для многих фигур научились выражать площади через какие-то линейные (те, что можно измерить линейкой) элементы фигур. Эти выражения называются «формулы площади». Формул этих довольно много – математики долго старались. Ты постарайся запомнить сначала самые простые и основные формулы, а потом уже те, что посложнее.

Проверь себя — реши задачи на площадь треугольника и четырехугольника.

Формулы площади

Квадрат

Площадь. Квадрат $latex  \displaystyle \Large S={{a}^{2}}$ — это просто, не правда ли?

Прямоугольник

Площадь. Прямоугольник $latex \displaystyle \Large S=ab$ — это мы уже успели обсудить.

Прямоугольный треугольник

Площадь. Прямоугольный треугольник Прямоугольный треугольник — ровно половина прямоугольника. Поэтому:
$latex \displaystyle \Large S=\frac{1}{2}ab$
$latex \displaystyle a$, $latex \displaystyle b$ – катеты.

Треугольник (произвольный)

Для треугольника есть сразу несколько формул площади.

Основная формула

Основная формула площади треугольника $latex \displaystyle \Large S=\frac{1}{2}ah$
$latex \displaystyle a$ – любая сторона,
$latex \displaystyle h$ – высота к этой стороне.

Вторая основная формула

Вторая основная формула площади треугольника $latex \displaystyle \Large S=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \alpha $
$latex \displaystyle a$, $latex \displaystyle b$ – любые две стороны,
$latex \displaystyle \alpha $ — угол между ними.

Третья формула

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности $latex \displaystyle \Large S=pr$
$latex \displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр,
$latex \displaystyle r$ – радиус вписанной окружности.

Формула Герона

16 $latex \displaystyle  S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$latex \displaystyle a$,$latex \displaystyle b$,$latex \displaystyle c$ — стороны,
$latex \displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

Какую же формулу выбрать для твоей задачки? Основными являются формулы 1 и 2. Третью формулу нужно применять, если тебе все дано: и три стороны, и радиус вписанной окружности. Но так ведь не бывает, верно? Поэтому формулу 3 мы используем, скорее наоборот, для нахождения радиуса вписанной окружности . Тогда нужно найти площадь по одной из формул 1, 2 или 4, а потом уже радиус: $latex \displaystyle r=\frac{S}{p}$.

Ну и формула 4 позволяет по $latex \displaystyle 3$-м сторонам с помощью длиннющей арифметики находить площадь. И не ошибайся в арифметике, когда будешь применять формулу Герона!

Произвольный четырехугольник

17 $latex \displaystyle \Large S=\frac{1}{2}{{d}_{1}}{{d}_{2}}\cdot \sin \varphi $
$latex \displaystyle {{d}_{1}}; {{d}_{2}}$ — диагонали
$latex \displaystyle \varphi $ — угол между ними

Для произвольного четырехугольника больше ничего нет, а вот для «хороших» четырехугольников – есть другие формулы.

Проверь себя — реши задачи на площадь треугольника и четырехугольника.

Параллелограмм

Основная формула

18 $latex \displaystyle \Large S=ah$
$latex \displaystyle a$ — любая сторона,
$latex \displaystyle h$ — высота, опущенная на эту! cторону

Вторая формула

19 И, как для всякого четырехугольника:
$latex \displaystyle \Large S=\frac{1}{2}{{d}_{1}}{{d}_{2}}\cdot \sin \varphi $
$latex \displaystyle {{d}_{1}}; {{d}_{2}}$ — диагонали,
$latex \displaystyle \varphi $ — угол между ними.

Ромб

У ромба диагонали перпендикулярны, поэтому основной для него становится  формула:

20 $latex \displaystyle \Large S=\frac{1}{2}{{d}_{1}}{{d}_{2}}$ — и никакого $latex \displaystyle \sin \varphi $ потому что $latex \displaystyle \varphi =90^o$, и $latex \displaystyle sin90^o=1$
$latex \displaystyle {{d}_{1}}; {{d}_{2}}$ — как всегда, диагонали

Вторая формула

А дополнительной формулой становится

21 $latex \displaystyle \Large S=ah$
$latex \displaystyle a$ — сторона,
$latex \displaystyle h$ — высота, опущенная на cторону.

Трапеция

Основная формула

22 $latex \displaystyle \Large S=\frac{a+b}{2}\cdot h$
$latex \displaystyle a,b$ — основания,
$latex \displaystyle h$ — высота.

Вторая формула

23 $latex \displaystyle \Large S=\frac{1}{2}{{d}_{1}}{{d}_{2}}\cdot \sin \varphi $ — ведь трапеция – тоже четырехугольник.
$latex \displaystyle {{d}_{1}}; {{d}_{2}}$ — диагонали,
$latex \displaystyle \varphi $ — угол между ними.

Проверь себя — реши задачи на площадь треугольника и четырехугольника.

«Хитрые вопросы о площади»

Кроме задачек, в которых просят просто найти площадь, встречаются еще всякие вопросики. Ну вот например:

Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его сторону увеличить в три раза?

Давай ответим на этот вопрос двумя способами. Первый способ – формальный: используем формулу площади квадрата. Итак, было $latex \displaystyle S_{старого}={{a}^{2}}$, значит $latex \displaystyle S_{нового}=({3a})^{2}=9{a}^{2}$ — площадь увеличилась в $latex \displaystyle 9$ раз!

В случае с квадратами есть и второй способ «пощупать» и убедится напрямую в этом числе $latex \displaystyle 9$.

Рисуем:

28 Видишь, в квадрате со стороной $latex \displaystyle 3a$ уместилось ровно $latex \displaystyle 9$ квадратов со стороной $latex \displaystyle a$. Значит формулам действительно можно верить.

Если же у тебя не квадрат, то остается только подставлять новые значения в формулы – и не удивляйся, если вдруг числа получатся довольно большими.

Проверь себя — реши задачи на площадь треугольника и четырехугольника.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий