Подобие треугольников

Cодержание

Коротко о главном

Подобные треугольники — это треугольники, у которых все углы равны и все стороны строго пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия \(\displaystyle k\).

Если \(\displaystyle \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\) с коэффициентом подобия \(\displaystyle k\), то:

\[\angle A = \angle {A_1},\angle B = \angle {B_1},\angle C = \angle {C_1}\]

\[\frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} = k,\frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} = k,\frac{{BC}}{{{B_1}{C_1}}} = k\]

4

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: \(\displaystyle \frac{{{P}_{ABC}}}{{{P}_{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}}=k\).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\displaystyle \frac{{{S}_{ABC}}}{{{S}_{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}}={{k}^{2}}\).

Признаки подобия треугольников:

I признак (по двум углам):

\(\displaystyle \angle A=\angle {{A}_{1}}\), \(\displaystyle \angle C=\angle {{C}_{1}}\)   \(\displaystyle \Rightarrow \)  \(\displaystyle \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\).

II признак (по одному углу и отношению заключающих его сторон):

\(\displaystyle \angle A=\angle {{A}_{1}}\), \(\displaystyle \frac{AB}{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}=\frac{AC}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}\) \(\displaystyle \Rightarrow \)  \(\displaystyle \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\).

III признак (по отношению трех сторон):

\(\displaystyle \frac{AB}{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}=\frac{AC}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\frac{BC}{{{B}_{1}}{{C}_{1}}}\)  \(\displaystyle \Rightarrow \)  \(\displaystyle \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\).

Проверь себя — реши задачи на подобие треугольников.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий