Прямоугольный треугольник

Cодержание 

Коротко о главном

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один из углов – прямой = \(\displaystyle {{90}^{\circ }}\).

Прямоугольный треугольник
  • \(\displaystyle a,\text{ }b\) — катеты
  • \(\displaystyle c\) — гипотенуза
  • В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов.

Теорема Пифагора: 

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:  \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}\).

 

Признаки подобия и равенства прямоугольного треугольника

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  • по двум катетам: \(\displaystyle a={{a}_{1}},\ b={{b}_{1}}\)
  • по катету и гипотенузе: \(\displaystyle a={{a}_{1}},\ c={{c}_{1}}\) или \(\displaystyle b={{b}_{1}},\ c={{c}_{1}}\)
  • по катету и прилежащему острому углу: \(\displaystyle a={{a}_{1}},\) \(\displaystyle \angle \beta =\angle {{\beta }_{1}}\) или \(\displaystyle b={{b}_{1}},\) \(\displaystyle \angle \alpha =\ \angle {{\alpha }_{1}}\)
  • по катету и противолежащему острому углу: \(\displaystyle a={{a}_{1}},\) \(\displaystyle \angle \alpha =\ \angle {{\alpha }_{1}}\) или \(\displaystyle b={{b}_{1}},\) \(\displaystyle \angle \beta =\angle {{\beta }_{1}}\)
  • по гипотенузе и остром углу: \(\displaystyle c={{c}_{1}},\) \(\displaystyle \angle \alpha =\ \angle {{\alpha }_{1}}\) или \(\displaystyle c={{c}_{1}},\) \(\displaystyle \angle \beta =\angle {{\beta }_{1}}\).

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

  • одному острому углу: \(\displaystyle \ \alpha =\ {{\alpha }_{1}}\) или \(\displaystyle \angle \beta =\angle {{\beta }_{1}}\)
  • из пропорциональности двух катетов: \(\displaystyle \frac{a}{{{a}_{1}}}=\frac{b}{{{b}_{1}}}\)
  • из пропорциональности катета и гипотенузы: \(\displaystyle \frac{a}{{{a}_{1}}}=\frac{c}{{{c}_{1}}}\) или \(\displaystyle \frac{b}{{{b}_{1}}}=\frac{c}{{{c}_{1}}}\).

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике

  • Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: \(\displaystyle \sin \ \alpha =\frac{a}{c},\ \ \sin \ \beta =\frac{b}{c}\)
  • Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: \(\displaystyle \cos \ \alpha =\frac{b}{c},\ \ \cos \ \beta =\frac{a}{c}\)
  • Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему: \(\displaystyle tg\alpha =\frac{a}{b},\ \ tg\beta =\frac{b}{a}\)
  • Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему: \(\displaystyle ctg\alpha =\frac{b}{a},\ \ ctg\beta =\frac{a}{b}\).
Высота в прямоугольном треугольнике
  • Высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Каждый из этих треугольников подобен исходному: \(\displaystyle \Delta BEC\sim \Delta AEC\sim \Delta ABC\)

Высота прямоугольного треугольника: \(\displaystyle h=\frac{ab}{c}\) или \(\displaystyle h=\sqrt{BE\cdot EA}\).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: \(\displaystyle m=\frac{c}{2}\).

Вписанный прямоугольный треугольник
  • Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы (точка О).
  • Радиус описанной окружности: \(\displaystyle R=\frac{c}{2}={{m}_{c}}\).
Описанный прямоугольный треугольник
  • Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}r=\frac{ab}{a+b+c}\\r=\frac{1}{2}\left( a+b-c \right)\end{array}\)

Площадь прямоугольного треугольника:

  • через катеты: \(\displaystyle {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}ab\)
  • через катет и острый угол: \(\displaystyle {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}{{a}^{2}}tg\beta =\frac{1}{2}{{a}^{2}}ctg\alpha \).

Проверь себя — реши задачи на прямоугольный треугольник.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Прямоугольный треугольник: 7 комментариев

Добавить комментарий