Прямоугольный треугольник

Cодержание 

Коротко о главном

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один из углов – прямой = $latex \displaystyle {{90}^{\circ }}$.

Прямоугольный треугольник
  • $latex \displaystyle a,\text{ }b$ — катеты
  • $latex \displaystyle c$ — гипотенуза
  • В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов.

Теорема Пифагора: 

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:  $latex {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$.

 

Признаки подобия и равенства прямоугольного треугольника

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  • по двум катетам: $latex \displaystyle a={{a}_{1}},\ b={{b}_{1}}$
  • по катету и гипотенузе: $latex \displaystyle a={{a}_{1}},\ c={{c}_{1}}$ или $latex \displaystyle b={{b}_{1}},\ c={{c}_{1}}$
  • по катету и прилежащему острому углу: $latex \displaystyle a={{a}_{1}},$ $latex \displaystyle \angle \beta =\angle {{\beta }_{1}}$ или $latex \displaystyle b={{b}_{1}},$ $latex \displaystyle \angle \alpha =\ \angle {{\alpha }_{1}}$
  • по катету и противолежащему острому углу: $latex \displaystyle a={{a}_{1}},$ $latex \displaystyle \angle \alpha =\ \angle {{\alpha }_{1}}$ или $latex \displaystyle b={{b}_{1}},$ $latex \displaystyle \angle \beta =\angle {{\beta }_{1}}$
  • по гипотенузе и остром углу: $latex \displaystyle c={{c}_{1}},$ $latex \displaystyle \angle \alpha =\ \angle {{\alpha }_{1}}$ или $latex \displaystyle c={{c}_{1}},$ $latex \displaystyle \angle \beta =\angle {{\beta }_{1}}$.

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

  • одному острому углу: $latex \displaystyle \ \alpha =\ {{\alpha }_{1}}$ или $latex \displaystyle \angle \beta =\angle {{\beta }_{1}}$
  • из пропорциональности двух катетов: $latex \displaystyle \frac{a}{{{a}_{1}}}=\frac{b}{{{b}_{1}}}$
  • из пропорциональности катета и гипотенузы: $latex \displaystyle \frac{a}{{{a}_{1}}}=\frac{c}{{{c}_{1}}}$ или $latex \displaystyle \frac{b}{{{b}_{1}}}=\frac{c}{{{c}_{1}}}$.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике

  • Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: $latex \displaystyle \sin \ \alpha =\frac{a}{c},\ \ \sin \ \beta =\frac{b}{c}$
  • Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: $latex \displaystyle \cos \ \alpha =\frac{b}{c},\ \ \cos \ \beta =\frac{a}{c}$
  • Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему: $latex \displaystyle tg\alpha =\frac{a}{b},\ \ tg\beta =\frac{b}{a}$
  • Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему: $latex \displaystyle ctg\alpha =\frac{b}{a},\ \ ctg\beta =\frac{a}{b}$.
Высота в прямоугольном треугольнике
  • Высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Каждый из этих треугольников подобен исходному: $latex \displaystyle \Delta BEC\sim \Delta AEC\sim \Delta ABC$

Высота прямоугольного треугольника: $latex \displaystyle h=\frac{ab}{c}$ или $latex \displaystyle h=\sqrt{BE\cdot EA}$.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: $latex \displaystyle m=\frac{c}{2}$.

Вписанный прямоугольный треугольник
  • Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы (точка О).
  • Радиус описанной окружности: $latex \displaystyle R=\frac{c}{2}={{m}_{c}}$.
Описанный прямоугольный треугольник
  • Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности:
    $latex \displaystyle \begin{array}{l}r=\frac{ab}{a+b+c}\\r=\frac{1}{2}\left( a+b-c \right)\end{array}$

Площадь прямоугольного треугольника:

  • через катеты: $latex \displaystyle {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}ab$
  • через катет и острый угол: $latex \displaystyle {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}{{a}^{2}}tg\beta =\frac{1}{2}{{a}^{2}}ctg\alpha $.

Проверь себя — реши задачи на прямоугольный треугольник.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Прямоугольный треугольник: 7 комментариев

Добавить комментарий