Угол между прямой и плоскостью. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Прямая и плоскость
Вот, смотри: прямая $latex a$ плоскость $latex \displaystyle \alpha $. Как определить угол между ними? Оказывается (в соответствии с определением, которое мы только что дали) нужно опустить перпендикуляр ($latex \displaystyle {{B}_{0}}$) из любой точки прямой $latex a$ на плоскость $latex \displaystyle \alpha $.

Прямая и плоскость. Проекция.

А потом провести прямую через точки $latex \displaystyle A$ и $latex \displaystyle O$. Эта прямая ($latex \displaystyle {{a}’}$) называется проекцией прямой $latex a$ на плоскость $latex \displaystyle \alpha $. Так вот, угол между прямой $latex \displaystyle a$ и плоскостью $latex \displaystyle \alpha $ (по определению !) равен углу ($latex \displaystyle \varphi $) между $latex \displaystyle a$ и $latex \displaystyle {{a}’}$.

Как найти угол между прямой и плоскостью в задачах?

Как и в других задачах на нахождение углов и расстояний в стереометрии, есть два метода: геометрический и алгебраический.

При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла ($latex \displaystyle \varphi $) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Самый сложный момент – определить, куда опуститься перпендикуляр и какая же прямая является проекцией.

При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

$latex \displaystyle \sin \varphi =\left| \frac{A\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)+B\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)+C\left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)}^{2}}}} \right|$

Координаты точек на прямой Здесь ($latex \displaystyle {{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}}$), ($latex \displaystyle {{x}_{2}},{{y}_{2}},{{z}_{2}}$)- координаты двух точек на прямой, $latex \displaystyle A$, $latex \displaystyle B$, $latex \displaystyle C$ –координаты в уравнении плоскости: $latex \displaystyle Ax+By+Cz+D=0$.

 

Самый сложный момент – твёрдо запомнить формулу и хорошо понимать, откуда взять все буквы для неё.

Теперь мы разберём одну задачу, где нужно найти угол между прямой и плоскостью, двумя разными способами: геометрическим и алгебраическим.

Задача:

Правильная шестиугольная пирамида В правильной шестиугольной пирамиде $latex \displaystyle SABCDEF$ точка $latex \displaystyle M$- середина ребра. Найти угол между прямой $latex \displaystyle FM$ и плоскостью основания, если $latex \displaystyle SE=3FE$.

 

Решение геометрическим методом:

Правильная шестиугольная пирамида. Высота Поскольку в правильной пирамиде высота опускается в центр основания $latex \displaystyle O$, то $latex \displaystyle OE$- это проекция $latex \displaystyle SE$, а точка $latex \displaystyle M$ проецируется в точку $latex \displaystyle K$- середину отрезка $latex \displaystyle OE$. И теперь $latex \displaystyle FK$- это проекция $latex \displaystyle FM$, а искомый угол между прямой $latex \displaystyle FM$ и плоскостью основания – это $latex \displaystyle \angle MFK$.

Ищем этот угол. Пусть стороны основания равны какому – то $latex \displaystyle a$, тогда боковые рёбра – $latex \displaystyle 3a$. Заметь, что $latex \displaystyle \Delta MFK$ – прямоугольный и в этом треугольнике нам нужно найти острый угол. Проще всего найти тангенс этого угла.

$latex \displaystyle \text{t}g\angle MFK=\frac{MK}{FK}$

$latex \displaystyle MK=\frac{SO}{2}=\frac{\sqrt{S{{E}^{2}}-O{{E}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{9{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}}{2}=a\sqrt{2}$

(Помним тут, что $latex \displaystyle BE=2AB$; $latex \displaystyle OE=AB=FE=$…..)

$latex \displaystyle FK=FE\cdot \sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{3}$ (Это $latex \displaystyle \Delta FKE$)

Значит,

$latex \displaystyle \text{t}g\angle MFK=\frac{a\sqrt{2}\cdot 2}{a\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$

Решаем алгебраическим методом (методом координат):

Правильная шестиугольная пирамида. Система координат. Введём систему координат с центром в точке $latex \displaystyle O$, осями $latex \displaystyle Ox$ – вдоль $latex \displaystyle OE$, $latex \displaystyle Oy\ -\ \bot AF$ и $latex \displaystyle CD$, $latex \displaystyle Oz$ – вдоль $latex \displaystyle OS$.

Тогда координаты точки $latex \displaystyle F(\frac{a}{2};~-\frac{a\sqrt{3}}{2};0)$

Откуда?

$latex \displaystyle \text{x}=LF=\frac{a}{2}$; $latex \displaystyle y=-FK=-a\sin 60{}^\circ =-\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Координаты точки $latex \displaystyle M$:

$latex \displaystyle M(OK;0;MK)$

$latex \displaystyle OK=LF=\frac{a}{2};$

$latex \displaystyle MK=\frac{SO}{2}=\frac{\sqrt{S{{E}^{2}}-O{{E}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{9{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}}{2}=a\sqrt{2}$

Значит $latex \displaystyle M\left( \frac{a}{2};0;a\sqrt{2} \right)$

Уравнение плоскости $latex \displaystyle ABCDEF:Z=0$

Значит, применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью $latex \displaystyle \sin \varphi =\left| \frac{0\left( \frac{a}{2}-\frac{a}{2} \right)+0\cdot \left( 0-\left( -\frac{a\sqrt{3}}{a} \right) \right)+1\cdot \left( a\sqrt{2}-0 \right)}{\sqrt{0+\frac{3}{4}{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}\cdot \sqrt{0+0+1}} \right|=\frac{a\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{11}a}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$

Сверим ответы. Если $latex \sin \varphi =\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$, то $latex \cos \varphi =\sqrt{1-{{\left( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{11}}$ и $latex tg\varphi =\frac{\sin \varphi }{\cos \varphi }=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{11}}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Сошлось!

Ответ: $latex arctg\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Вообще –то, по моему мнению, в этой задаче удобнее геометрический метод: ведь для метода координат всё равно пришлось искать $latex FK$ и $latex MK$, а потом ещё и вставлять всё это в длинную формулу.

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий