Угол между прямой и плоскостью. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Прямая и плоскость
Вот, смотри: прямая \(a\) плоскость \(\displaystyle \alpha \). Как определить угол между ними? Оказывается (в соответствии с определением, которое мы только что дали) нужно опустить перпендикуляр (\(\displaystyle {{B}_{0}}\)) из любой точки прямой \(a\) на плоскость \(\displaystyle \alpha \).

Прямая и плоскость. Проекция.

А потом провести прямую через точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle O\). Эта прямая (\(\displaystyle {{a}’}\)) называется проекцией прямой \(a\) на плоскость \(\displaystyle \alpha \). Так вот, угол между прямой \(\displaystyle a\) и плоскостью \(\displaystyle \alpha \) (по определению !) равен углу (\(\displaystyle \varphi \)) между \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle {{a}’}\).

Как найти угол между прямой и плоскостью в задачах?

Как и в других задачах на нахождение углов и расстояний в стереометрии, есть два метода: геометрический и алгебраический.

При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла (\(\displaystyle \varphi \)) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Самый сложный момент – определить, куда опуститься перпендикуляр и какая же прямая является проекцией.

При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

\(\displaystyle \sin \varphi =\left| \frac{A\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)+B\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)+C\left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)}^{2}}}} \right|\)

Координаты точек на прямой Здесь (\(\displaystyle {{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}}\)), (\(\displaystyle {{x}_{2}},{{y}_{2}},{{z}_{2}}\))- координаты двух точек на прямой, \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) –координаты в уравнении плоскости: \(\displaystyle Ax+By+Cz+D=0\).

 

Самый сложный момент – твёрдо запомнить формулу и хорошо понимать, откуда взять все буквы для неё.

Теперь мы разберём одну задачу, где нужно найти угол между прямой и плоскостью, двумя разными способами: геометрическим и алгебраическим.

Задача:

Правильная шестиугольная пирамида В правильной шестиугольной пирамиде \(\displaystyle SABCDEF\) точка \(\displaystyle M\)- середина ребра. Найти угол между прямой \(\displaystyle FM\) и плоскостью основания, если \(\displaystyle SE=3FE\).

 

Решение геометрическим методом:

Правильная шестиугольная пирамида. Высота Поскольку в правильной пирамиде высота опускается в центр основания \(\displaystyle O\), то \(\displaystyle OE\)- это проекция \(\displaystyle SE\), а точка \(\displaystyle M\) проецируется в точку \(\displaystyle K\)- середину отрезка \(\displaystyle OE\). И теперь \(\displaystyle FK\)- это проекция \(\displaystyle FM\), а искомый угол между прямой \(\displaystyle FM\) и плоскостью основания – это \(\displaystyle \angle MFK\).

Ищем этот угол. Пусть стороны основания равны какому – то \(\displaystyle a\), тогда боковые рёбра – \(\displaystyle 3a\). Заметь, что \(\displaystyle \Delta MFK\) – прямоугольный и в этом треугольнике нам нужно найти острый угол. Проще всего найти тангенс этого угла.

\(\displaystyle \text{t}g\angle MFK=\frac{MK}{FK}\)

\(\displaystyle MK=\frac{SO}{2}=\frac{\sqrt{S{{E}^{2}}-O{{E}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{9{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}}{2}=a\sqrt{2}\)

(Помним тут, что \(\displaystyle BE=2AB\); \(\displaystyle OE=AB=FE=\)…..)

\(\displaystyle FK=FE\cdot \sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{3}\) (Это \(\displaystyle \Delta FKE\))

Значит,

\(\displaystyle \text{t}g\angle MFK=\frac{a\sqrt{2}\cdot 2}{a\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\)

Решаем алгебраическим методом (методом координат):

Правильная шестиугольная пирамида. Система координат. Введём систему координат с центром в точке \(\displaystyle O\), осями \(\displaystyle Ox\) – вдоль \(\displaystyle OE\), \(\displaystyle Oy\ -\ \bot AF\) и \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle Oz\) – вдоль \(\displaystyle OS\).

Тогда координаты точки \(\displaystyle F(\frac{a}{2};~-\frac{a\sqrt{3}}{2};0)\)

Откуда?

\(\displaystyle \text{x}=LF=\frac{a}{2}\); \(\displaystyle y=-FK=-a\sin 60{}^\circ =-\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Координаты точки \(\displaystyle M\):

\(\displaystyle M(OK;0;MK)\)

\(\displaystyle OK=LF=\frac{a}{2};\)

\(\displaystyle MK=\frac{SO}{2}=\frac{\sqrt{S{{E}^{2}}-O{{E}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{9{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}}{2}=a\sqrt{2}\)

Значит \(\displaystyle M\left( \frac{a}{2};0;a\sqrt{2} \right)\)

Уравнение плоскости \(\displaystyle ABCDEF:Z=0\)

Значит, применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью \(\displaystyle \sin \varphi =\left| \frac{0\left( \frac{a}{2}-\frac{a}{2} \right)+0\cdot \left( 0-\left( -\frac{a\sqrt{3}}{a} \right) \right)+1\cdot \left( a\sqrt{2}-0 \right)}{\sqrt{0+\frac{3}{4}{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}\cdot \sqrt{0+0+1}} \right|=\frac{a\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{11}a}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}}\)

Сверим ответы. Если \(\sin \varphi =\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}}\), то \(\cos \varphi =\sqrt{1-{{\left( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{11}}\) и \(tg\varphi =\frac{\sin \varphi }{\cos \varphi }=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{11}}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

Сошлось!

Ответ: \(arctg\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)

Вообще –то, по моему мнению, в этой задаче удобнее геометрический метод: ведь для метода координат всё равно пришлось искать \(FK\) и \(MK\), а потом ещё и вставлять всё это в длинную формулу.

Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *