Задачи на работу. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Для начала рекомендуем тебе освоить раздел «Задачи на движение». Потому что задачи на работу – это почти то же самое!

Основная формула

Все задачи на работу сводятся к применению одной формулы:

$latex \displaystyle \text{производительность}=\frac{\text{работа}}{\text{время}}$

Или, если записать математическим языком:

$latex \displaystyle P=\frac{A}{t}$

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени. Или скорость выполнения работы. Вася решает $latex \displaystyle 5$ задач в час. Это и есть производительность.

Как и в задачах на движение, нужно уметь выражать переменные из этой формулы. Это легко.

Что такое объем произведенной работы? Это производительность (то, сколько работы производится в час) умноженное на количество часов. Или:

$latex \displaystyle A=P\cdot t$

А сколько времени потребуется, чтобы сделать определенное количество работы? Нужно взять это количество и разделить на скорость её выполнения:

$latex \displaystyle t=\frac{A}{P}$

Главное запомнить, что есть три фактора, а формулы можно вывести исходя из здравого смысла.

Давай попробуем решить какую-нибудь задачу.

Пример 1.

Заказ на $latex \displaystyle 80$ деталей первый рабочий выполняет на $latex \displaystyle 2$ часа дольше, чем второй. Сколько деталей за $latex \displaystyle 1$ час делает первый рабочий, если известно, что второй делает за час на две детали больше, чем первый.

Решение.

Давай разбираться.

  1. Нам известно, что всего деталей $latex \displaystyle 80$. Это вся работа ($latex \displaystyle A$). И на эту работу первый рабочий тратит на $latex \displaystyle 2$ часа больше времени, чем второй. То есть первый тратит $latex \displaystyle t$ часов, а второй – $latex \displaystyle (t-2)$ часов.
  2. Нас просят найти, сколько делает первый рабочий в час. Это производительность $latex \displaystyle P$. И у второго рабочего она больше на $latex \displaystyle 2$ детали в час. То есть производительность первого рабочего $latex \displaystyle P$, а у второго $latex \displaystyle (P+2)$.
  3. Поскольку нам известно, что производительность – количество работы выполняемой за определенный промежуток времени $latex \displaystyle \left( P=\frac{A}{t} \right)$, то мы можем совместить пункты 1. и 2. в системы уравнений.
    Производительность первого рабочего — $latex \displaystyle P=\frac{80}{t}$, а второго —
    $latex \displaystyle P+2=\frac{80}{t-2}$.
    Мы получили систему уравнений:
    $latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}P=\frac{80}{t}\\P+2=\frac{80}{t-2}\end{array} \right.$
    Решим её:
    $latex \displaystyle \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}P=\frac{80}{t}\\P+2=\frac{80}{t-2}\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t=\frac{80}{P}\\\left( t-2 \right)\left( P+2 \right)=80\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t=\frac{80}{P}\\t-2=\frac{80}{P+2}\end{array} \right.\Rightarrow \\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t=\frac{80}{P}\\t=\frac{80}{P+2}+2\end{array} \right.\end{array}$
    Почему мы выражаем $latex \displaystyle t$? Потому что нас интересует производительность
    $latex \displaystyle P$, а находить $latex \displaystyle t$ нам не нужно. И теперь, приравняв правые части, мы избавляемся от $latex \displaystyle t$ и получаем уравнение с одной неизвестной! Подробнее о решениях систем уравнений читай в теме «Системы уравнений».
    $latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{80}{P}=\frac{80}{P+2}+2\\\frac{80}{P}=\frac{84+2P}{P+2}\\80\left( P+2 \right)=P\left( 84+2P \right)\\80P+160=84P+2{{P}^{2}}\\2{{P}^{2}}+4P-160=0\\{{P}^{2}}+2P-80=0\end{array}$
    По теореме Виета:
    $latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{P}_{1}}+{{P}_{2}}=-2\\{{P}_{1}}\cdot {{P}_{2}}=-80\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{{P}_{1}}=-10\\{{P}_{2}}=8\end{array} \right.$
    Очевидно, что производительность не может быть меньше $latex \displaystyle 0$, поэтому
    $latex \displaystyle P=8$. Это как раз то, что мы искали.

Больше задач — после регистрации.

Альтернативный (продвинутый) способ решения.
Можно решить эту задачу быстрее, сразу перейдя к конечному уравнению, без составления системы.
Мы уже знаем, что время в этой задаче нам находить не нужно. В условии есть $latex \displaystyle A$ (работа), а нужно найти $latex \displaystyle P$ (производительность). Так давай сразу выразим время!
Предположим, рабочие начали делать работу одновременно, и после окончания хотят вместе пойти домой.
Сколько на нее протратит первый? Вся работа – это $latex \displaystyle 80$ деталей, а делает он $latex \displaystyle {{P}_{1}}$ деталей в час: $latex \displaystyle {{t}_{1}}=\frac{80}{{{P}_{1}}}$.
А за сколько второй сделает эту работу? Учитывая, что $latex \displaystyle {{P}_{2}}={{P}_{1}}+2$, то за $latex \displaystyle {{t}_{2}}=\frac{80}{{{P}_{1}}+2}$часов.
Но из условия нам известно, что первый рабочий потратит на всю работу на $latex \displaystyle 2$ часа больше, чем второй. Значит, второму придется еще $latex \displaystyle 2$ часа подождать, пока закончит первый, то есть ко времени работы второго надо добавить $latex \displaystyle 2$ часа, и тогда получится, что они провели на работе одинаковое количество времени:
$latex \displaystyle {{t}_{1}}={{t}_{2}}+2$, или
$latex \displaystyle \frac{80}{{{P}_{1}}}=\frac{80}{{{P}_{1}}+2}+2$.
Видишь?! Мы получили то же уравнение, что и в первом случае, однако сделали это с помощью меньшего количества действий – а значит снизили возможность ошибки!

Ответ: $latex \displaystyle 8$.

Пример 2.

Первая труба пропускает на $latex \displaystyle 5$ литров воды в минуту больше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом $latex \displaystyle 450$ литров она заполняет на $latex \displaystyle 3$ минуты дольше, чем первая?

Решение.

У нас есть объем работы ($latex \displaystyle 450$ литров) и нужно найти производительность. Давай выразим время, как и в предыдущей задаче.

Время, за которое первая труба заполняет резервуар ($latex \displaystyle {{t}_{1}}$) на $latex \displaystyle 3$ минуты больше, чем время, за которое это делает вторая труба ($latex \displaystyle {{t}_{2}}$). То есть $latex \displaystyle {{t}_{1}}+3={{t}_{2}}$.

Поскольку нам нужно найти производительность второй трубы, обозначим её за $latex x$ (давай привыкать делать так, как большинство математиков, а не использовать буквы из формулы). Тогда производительность первой трубы – $latex \displaystyle x+5$.

За сколько минут первая труба заполнит резервуар? $latex \displaystyle {{t}_{1}}=\frac{450}{x+5}$. А вторая? $latex \displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+3=\frac{450}{x}$

Выражаем $latex \displaystyle {{t}_{1}}$ во втором уравнении и приравниваем:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{450}{x+5}=\frac{450}{x}-3\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \frac{450}{x+5}+3=\frac{450}{x}\ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{450+3x+15}{x+5}=\frac{450}{x}\\\left( 465+3x \right)x=450\left( x+5 \right)\\465x+3{{x}^{2}}=450x+450\cdot 5\\3{{x}^{2}}+15{x}-450\cdot 5=0\\{{x}^{2}}+5{x}-150\cdot 5=0\\{{x}^{2}}+5{x}-750=0\end{array}$

Хоть уравнение и приведенное, но решать его по теореме Виета будет сложно. Поэтому решим с помощью дискриминанта:

$latex \displaystyle D={{b}^{2}}-4ac={{5}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -750 \right)=25+3000=3025$

Чтобы проще было извлекать корень, разложим $latex 3025$ на множители:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}3025=5\cdot \frac{3025}{5}=5\cdot 605=5\cdot 5\cdot \frac{605}{5}=25\cdot 121={{5}^{2}}\cdot {{11}^{2}}={{55}^{2}}\\x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm \sqrt{{{55}^{2}}}}{2}=\frac{-5\pm 55}{2}=\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=25\\{{x}_{2}}=-30\end{array} \right.\end{array}$

Очевидно, что производительность не может быть меньше нуля, а значит искомый $latex \displaystyle x$ равен $latex \displaystyle 25$.

Ответ: $latex \displaystyle 25$

Больше задач — после регистрации.

Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

В ЕГЭ задачи на совместную работу встречаются чаще, чем обычные, поэтому давай разбираться.

Пример 3.

Возьмем последнюю нашу задачу. Вторая труба пропускает $latex \displaystyle 25$ литров в час, а первая $latex \displaystyle \left( x+5 \right)=30$ литров в час. А за сколько времени они заполнят тот же резервуар, работая вместе?

Первая труба пропускает $latex \displaystyle 30$ литров в час, а вторая $latex \displaystyle 25$ литров. За какое время они заполнят резервуар, объемом $latex \displaystyle 450$ литров, работая вместе?

Решение.

Чему равна производительность первой трубы? $latex \displaystyle 30$ литров в час. А второй? $latex \displaystyle 25$.

А сколько они будут наливать воды, если будут работать вместе? Очевидно что $latex \displaystyle 30+25=55$. Ведь за $latex \displaystyle 1$ час первая труба нальет $latex \displaystyle 30$ литров, и за этот же час вторая нальет $latex \displaystyle 25$ литров. Теперь мы можем легко найти искомое время:

$latex \displaystyle t=\frac{450}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}=\frac{450}{30+25}=\frac{450}{55}=\frac{90}{11}$

Ответ: $latex \displaystyle \frac{90}{11}$

На этом простом примере мы вывели главное правило совместной работы:

При совместной работе производительности складываются.

Теперь давай рассмотрим задачи посложнее.

Пример 4.

Две бригады, работая вместе, вспахали поле за $latex \displaystyle 6$ часов. За сколько часов может вспахать поле первая бригада, работая самостоятельно, если ей необходимо на $latex \displaystyle 5$ часов меньше, чем второй?

Решение.

Примем всю работу за $latex \displaystyle 1$ (распространенный прием, ведь работа фиксированная, и не важно чему она равна).

Пусть первая бригада может вспахать поле за $latex \displaystyle x$ часов (обозначим именно этот показатель иксом, ведь именно его нас просят найти в задаче), тогда вторая вспашет это поле за $latex \displaystyle \left( x+5 \right)$ часов.

Производительность первой бригады, таким образом: $latex \displaystyle \frac{1}{x}$ , а второй — $latex \displaystyle \frac{1}{x+5}$.

То есть их общая производительность была $latex \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}$.

По условию сказано, что работая вместе, они вспахали поле за $latex \displaystyle 6$ часов. То есть:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5} \right)}=6\\или\\\frac{1}{6}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}\end{array}$

Теперь, решив это уравнение, мы можем найти $latex \displaystyle x$:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{6}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}\\\frac{1}{6}=\frac{1\cdot \left( x+5 \right)}{x\left( x+5 \right)}+\frac{1\cdot x}{x\left( x+5 \right)}\\\frac{1}{6}=\frac{x+5+x}{x\left( x+5 \right)}\\x\left( x+5 \right)=6\left( 2x+5 \right)\\{{x}^{2}}+5x=12x+30\\{{x}^{2}}-7{x}-30=0\end{array}$

По теореме Виета:

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=7\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-30\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=10\\{{x}_{2}}=-3\end{array} \right.$

Получается, что первая бригада вспахала бы поле за $latex \displaystyle 10$ часов, если работала в одиночку.

Ответ: $latex \displaystyle 10$.

Пример 5.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за $latex \displaystyle 15$ дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу первый рабочий, если он за $latex \displaystyle 4$ дня делает столько же, сколько второй за $latex \displaystyle 5$ дней?

Решение.

Обозначим за $latex \displaystyle {{x}_{1}}$ и $latex \displaystyle {{x}_{2}}$ – производительность первого и второго рабочего соответственно. А всю работу обозначим за $latex \displaystyle 1$. Нам нужно найти $latex \displaystyle \frac{1}{{{x}_{1}}}$.

Тогда по условию задачи:

$latex \displaystyle 15\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1$

Кроме того, в условии сказано, что за $latex \displaystyle 4$ дня первый рабочий делает столько же, сколько и второй за $latex \displaystyle 5$ дней, то есть:

$latex \displaystyle 4{{x}_{1}}=5{{x}_{2}}$

Составим и решим систему:

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}15\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1\\4{{x}_{1}}=5{{x}_{2}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15{{x}_{1}}+15{{x}_{2}}=1\\4{{x}_{1}}=5{{x}_{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \left| \cdot 3 \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15{{x}_{1}}+15{{x}_{2}}=1\\12{{x}_{1}}=15{{x}_{2}}\end{array} \right.$

Подставим из второго уравнения системы $latex \displaystyle 15{{x}_{2}}$ в первое и решим его:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}15{{x}_{1}}+12{{x}_{1}}=1\\27{{x}_{1}}=1\end{array}$

Нам нужно найти $latex \displaystyle \frac{1}{{{x}_{1}}}$. Так выразим его!

$latex \displaystyle \frac{1}{{{x}_{1}}}=27$

Ответ: $latex \displaystyle 27$.

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

Пример 6.

На изготовление $latex \displaystyle 600$ деталей первый рабочий тратит на $latex \displaystyle 10$ часов меньше, чем второй рабочий на изготовление $latex \displaystyle 500$ таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в $latex \displaystyle 1000$ деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на $latex \displaystyle 5$ деталей больше?

Решение.

  1. Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят $latex \displaystyle 1000$ деталей, то есть: $latex \displaystyle \frac{1000}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}$.
  2. Значит нужно найти $latex \displaystyle {{P}_{1}}$ и $latex \displaystyle {{P}_{2}}$. Первый рабочий за час делает на $latex \displaystyle 5$ деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – $latex \displaystyle x-5$.
  3. $latex \displaystyle 600$ деталей первый рабочий делает за $latex \displaystyle {{t}_{1}}$ часов, а $latex \displaystyle 500$ таких же деталей второй рабочий делает за $latex \displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10$ часов. То есть: $latex \displaystyle {{t}_{1}}=\frac{600}{x},\ a\ {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10=\frac{500}{x-5}$.
    Приравняв $latex \displaystyle {{t}_{1}}$, получаем уравнение:
    $latex \displaystyle \begin{array}{l}\frac{600}{x}=\frac{500}{x-5}-10\\\frac{600}{x}+10=\frac{500}{x-5}\\\frac{600+10x}{x}=\frac{500}{x-5}\\\left( 600+10x \right)\left( x-5 \right)=500x\\600{x}-3000+10{{x}^{2}}-50x=500x\\10{{x}^{2}}+50{x}-3000=0\\{{x}^{2}}+5{x}-300=0\end{array}$.
    По теореме Виета подобрать корни не просто, поэтому решим через дискриминант: $latex \displaystyle \begin{array}{l}D={{b}^{2}}-4ac={{5}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -300 \right)=25+1200=1225={{35}^{2}}\\x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm 35}{2}=\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=15\\{{x}_{2}}=-20\end{array} \right.\end{array}$.
  4. Производительность первого рабочего – $latex \displaystyle 15$ деталей в час, а второго – $latex \displaystyle \left( x-5 \right)=15-5=10$ деталей в час. Значит их общая производительность $latex \displaystyle 15+10=25$ деталей в час. И партию на $latex \displaystyle 1000$ деталей они изготовят за $latex \displaystyle \frac{1000}{25}=40$ часов.

Ответ: $latex \displaystyle 40$

Тренировка.

А теперь сам попробуй решить несколько задач, а затем проверь себя по ответам.

  1. Две трубы, работая вместе, рабочий, если известно, что первый за час делает на $latex \displaystyle 3$ детали больше?
  2. Автоматизированная мойка обслуживает $latex \displaystyle 20$ машин на $latex \displaystyle 5$ часов быстрее, чем ручная мойка обслуживает $latex \displaystyle 45$ автомобилей. За сколько часов ручная мойка обслужит $latex \displaystyle 126$ машин, если известно, что автоматизированная мойка обслуживает за $latex \displaystyle 1$ час на $latex \displaystyle 7$ автомобилей больше, чем ручная?
  3. Первая труба пропускает на $latex \displaystyle 3$ литра воды в минуту больше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом $latex \displaystyle 30$ литров она заполняет на $latex \displaystyle 1$ минуту дольше, чем первая труба заполняет резервуар объемом $latex \displaystyle 40$ литров?
  4. На изготовление $latex \displaystyle 312$ деталей мастер тратит на $latex \displaystyle 6$ часов меньше, чем ученик на изготовление $latex \displaystyle 240$ таких же деталей. Сколько деталей в час делает ученик, если известно, что мастер делает на $latex \displaystyle 5$ деталей в час больше?
  5. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за $latex \displaystyle 18$ дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу второй рабочий, если он за $latex \displaystyle 6$ дней делает столько же, сколько первый за $latex \displaystyle 4$ дня?

Ответы:

  1. $latex \displaystyle 35$
  2. $latex \displaystyle 11$
  3. $latex \displaystyle 18$
  4. $latex \displaystyle 8$
  5. $latex \displaystyle 20$

Проверь себя — реши задачи на работу.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий