Задачи на работу. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Для начала рекомендуем тебе освоить раздел «Задачи на движение». Потому что задачи на работу – это почти то же самое!

Основная формула

Все задачи на работу сводятся к применению одной формулы:

\(\displaystyle \text{производительность}=\frac{\text{работа}}{\text{время}}\)

Или, если записать математическим языком:

\(\displaystyle P=\frac{A}{t}\)

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени. Или скорость выполнения работы. Вася решает \(\displaystyle 5\) задач в час. Это и есть производительность.

Как и в задачах на движение, нужно уметь выражать переменные из этой формулы. Это легко.

Что такое объем произведенной работы? Это производительность (то, сколько работы производится в час) умноженное на количество часов. Или:

\(\displaystyle A=P\cdot t\)

А сколько времени потребуется, чтобы сделать определенное количество работы? Нужно взять это количество и разделить на скорость её выполнения:

\(\displaystyle t=\frac{A}{P}\)

Главное запомнить, что есть три фактора, а формулы можно вывести исходя из здравого смысла.

Давай попробуем решить какую-нибудь задачу.

Пример 1.

Заказ на \(\displaystyle 80\) деталей первый рабочий выполняет на \(\displaystyle 2\) часа дольше, чем второй. Сколько деталей за \(\displaystyle 1\) час делает первый рабочий, если известно, что второй делает за час на две детали больше, чем первый.

Решение.

Давай разбираться.

  1. Нам известно, что всего деталей \(\displaystyle 80\). Это вся работа (\(\displaystyle A\)). И на эту работу первый рабочий тратит на \(\displaystyle 2\) часа больше времени, чем второй. То есть первый тратит \(\displaystyle t\) часов, а второй – \(\displaystyle (t-2)\) часов.
  2. Нас просят найти, сколько делает первый рабочий в час. Это производительность \(\displaystyle P\). И у второго рабочего она больше на \(\displaystyle 2\) детали в час. То есть производительность первого рабочего \(\displaystyle P\), а у второго \(\displaystyle (P+2)\).
  3. Поскольку нам известно, что производительность – количество работы выполняемой за определенный промежуток времени \(\displaystyle \left( P=\frac{A}{t} \right)\), то мы можем совместить пункты 1. и 2. в системы уравнений.
    Производительность первого рабочего — \(\displaystyle P=\frac{80}{t}\), а второго —
    \(\displaystyle P+2=\frac{80}{t-2}\).
    Мы получили систему уравнений:
    \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}P=\frac{80}{t}\\P+2=\frac{80}{t-2}\end{array} \right.\)
    Решим её:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}P=\frac{80}{t}\\P+2=\frac{80}{t-2}\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t=\frac{80}{P}\\\left( t-2 \right)\left( P+2 \right)=80\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t=\frac{80}{P}\\t-2=\frac{80}{P+2}\end{array} \right.\Rightarrow \\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t=\frac{80}{P}\\t=\frac{80}{P+2}+2\end{array} \right.\end{array}\)
    Почему мы выражаем \(\displaystyle t\)? Потому что нас интересует производительность
    \(\displaystyle P\), а находить \(\displaystyle t\) нам не нужно. И теперь, приравняв правые части, мы избавляемся от \(\displaystyle t\) и получаем уравнение с одной неизвестной! Подробнее о решениях систем уравнений читай в теме «Системы уравнений».
    \(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{80}{P}=\frac{80}{P+2}+2\\\frac{80}{P}=\frac{84+2P}{P+2}\\80\left( P+2 \right)=P\left( 84+2P \right)\\80P+160=84P+2{{P}^{2}}\\2{{P}^{2}}+4P-160=0\\{{P}^{2}}+2P-80=0\end{array}\)
    По теореме Виета:
    \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{P}_{1}}+{{P}_{2}}=-2\\{{P}_{1}}\cdot {{P}_{2}}=-80\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{{P}_{1}}=-10\\{{P}_{2}}=8\end{array} \right.\)
    Очевидно, что производительность не может быть меньше \(\displaystyle 0\), поэтому
    \(\displaystyle P=8\). Это как раз то, что мы искали.

Больше задач — после регистрации.

Альтернативный (продвинутый) способ решения.
Можно решить эту задачу быстрее, сразу перейдя к конечному уравнению, без составления системы.
Мы уже знаем, что время в этой задаче нам находить не нужно. В условии есть \(\displaystyle A\) (работа), а нужно найти \(\displaystyle P\) (производительность). Так давай сразу выразим время!
Предположим, рабочие начали делать работу одновременно, и после окончания хотят вместе пойти домой.
Сколько на нее протратит первый? Вся работа – это \(\displaystyle 80\) деталей, а делает он \(\displaystyle {{P}_{1}}\) деталей в час: \(\displaystyle {{t}_{1}}=\frac{80}{{{P}_{1}}}\).
А за сколько второй сделает эту работу? Учитывая, что \(\displaystyle {{P}_{2}}={{P}_{1}}+2\), то за \(\displaystyle {{t}_{2}}=\frac{80}{{{P}_{1}}+2}\)часов.
Но из условия нам известно, что первый рабочий потратит на всю работу на \(\displaystyle 2\) часа больше, чем второй. Значит, второму придется еще \(\displaystyle 2\) часа подождать, пока закончит первый, то есть ко времени работы второго надо добавить \(\displaystyle 2\) часа, и тогда получится, что они провели на работе одинаковое количество времени:
\(\displaystyle {{t}_{1}}={{t}_{2}}+2\), или
\(\displaystyle \frac{80}{{{P}_{1}}}=\frac{80}{{{P}_{1}}+2}+2\).
Видишь?! Мы получили то же уравнение, что и в первом случае, однако сделали это с помощью меньшего количества действий – а значит снизили возможность ошибки!

Ответ: \(\displaystyle 8\).

Пример 2.

Первая труба пропускает на \(\displaystyle 5\) литров воды в минуту больше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом \(\displaystyle 450\) литров она заполняет на \(\displaystyle 3\) минуты дольше, чем первая?

Решение.

У нас есть объем работы (\(\displaystyle 450\) литров) и нужно найти производительность. Давай выразим время, как и в предыдущей задаче.

Время, за которое первая труба заполняет резервуар (\(\displaystyle {{t}_{1}}\)) на \(\displaystyle 3\) минуты больше, чем время, за которое это делает вторая труба (\(\displaystyle {{t}_{2}}\)). То есть \(\displaystyle {{t}_{1}}+3={{t}_{2}}\).

Поскольку нам нужно найти производительность второй трубы, обозначим её за \(x\) (давай привыкать делать так, как большинство математиков, а не использовать буквы из формулы). Тогда производительность первой трубы – \(\displaystyle x+5\).

За сколько минут первая труба заполнит резервуар? \(\displaystyle {{t}_{1}}=\frac{450}{x+5}\). А вторая? \(\displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+3=\frac{450}{x}\)

Выражаем \(\displaystyle {{t}_{1}}\) во втором уравнении и приравниваем:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{450}{x+5}=\frac{450}{x}-3\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \frac{450}{x+5}+3=\frac{450}{x}\ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{450+3x+15}{x+5}=\frac{450}{x}\\\left( 465+3x \right)x=450\left( x+5 \right)\\465x+3{{x}^{2}}=450x+450\cdot 5\\3{{x}^{2}}+15{x}-450\cdot 5=0\\{{x}^{2}}+5{x}-150\cdot 5=0\\{{x}^{2}}+5{x}-750=0\end{array}\)

Хоть уравнение и приведенное, но решать его по теореме Виета будет сложно. Поэтому решим с помощью дискриминанта:

\(\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac={{5}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -750 \right)=25+3000=3025\)

Чтобы проще было извлекать корень, разложим \(3025\) на множители:

\(\displaystyle \begin{array}{l}3025=5\cdot \frac{3025}{5}=5\cdot 605=5\cdot 5\cdot \frac{605}{5}=25\cdot 121={{5}^{2}}\cdot {{11}^{2}}={{55}^{2}}\\x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm \sqrt{{{55}^{2}}}}{2}=\frac{-5\pm 55}{2}=\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=25\\{{x}_{2}}=-30\end{array} \right.\end{array}\)

Очевидно, что производительность не может быть меньше нуля, а значит искомый \(\displaystyle x\) равен \(\displaystyle 25\).

Ответ: \(\displaystyle 25\)

Больше задач — после регистрации.

Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

В ЕГЭ задачи на совместную работу встречаются чаще, чем обычные, поэтому давай разбираться.

Пример 3.

Возьмем последнюю нашу задачу. Вторая труба пропускает \(\displaystyle 25\) литров в час, а первая \(\displaystyle \left( x+5 \right)=30\) литров в час. А за сколько времени они заполнят тот же резервуар, работая вместе?

Первая труба пропускает \(\displaystyle 30\) литров в час, а вторая \(\displaystyle 25\) литров. За какое время они заполнят резервуар, объемом \(\displaystyle 450\) литров, работая вместе?

Решение.

Чему равна производительность первой трубы? \(\displaystyle 30\) литров в час. А второй? \(\displaystyle 25\).

А сколько они будут наливать воды, если будут работать вместе? Очевидно что \(\displaystyle 30+25=55\). Ведь за \(\displaystyle 1\) час первая труба нальет \(\displaystyle 30\) литров, и за этот же час вторая нальет \(\displaystyle 25\) литров. Теперь мы можем легко найти искомое время:

\(\displaystyle t=\frac{450}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}=\frac{450}{30+25}=\frac{450}{55}=\frac{90}{11}\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{90}{11}\)

На этом простом примере мы вывели главное правило совместной работы:

При совместной работе производительности складываются.

Теперь давай рассмотрим задачи посложнее.

Пример 4.

Две бригады, работая вместе, вспахали поле за \(\displaystyle 6\) часов. За сколько часов может вспахать поле первая бригада, работая самостоятельно, если ей необходимо на \(\displaystyle 5\) часов меньше, чем второй?

Решение.

Примем всю работу за \(\displaystyle 1\) (распространенный прием, ведь работа фиксированная, и не важно чему она равна).

Пусть первая бригада может вспахать поле за \(\displaystyle x\) часов (обозначим именно этот показатель иксом, ведь именно его нас просят найти в задаче), тогда вторая вспашет это поле за \(\displaystyle \left( x+5 \right)\) часов.

Производительность первой бригады, таким образом: \(\displaystyle \frac{1}{x}\) , а второй — \(\displaystyle \frac{1}{x+5}\).

То есть их общая производительность была \(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}\).

По условию сказано, что работая вместе, они вспахали поле за \(\displaystyle 6\) часов. То есть:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5} \right)}=6\\или\\\frac{1}{6}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}\end{array}\)

Теперь, решив это уравнение, мы можем найти \(\displaystyle x\):

\(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{6}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}\\\frac{1}{6}=\frac{1\cdot \left( x+5 \right)}{x\left( x+5 \right)}+\frac{1\cdot x}{x\left( x+5 \right)}\\\frac{1}{6}=\frac{x+5+x}{x\left( x+5 \right)}\\x\left( x+5 \right)=6\left( 2x+5 \right)\\{{x}^{2}}+5x=12x+30\\{{x}^{2}}-7{x}-30=0\end{array}\)

По теореме Виета:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=7\\{{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=-30\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=10\\{{x}_{2}}=-3\end{array} \right.\)

Получается, что первая бригада вспахала бы поле за \(\displaystyle 10\) часов, если работала в одиночку.

Ответ: \(\displaystyle 10\).

Пример 5.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за \(\displaystyle 15\) дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу первый рабочий, если он за \(\displaystyle 4\) дня делает столько же, сколько второй за \(\displaystyle 5\) дней?

Решение.

Обозначим за \(\displaystyle {{x}_{1}}\) и \(\displaystyle {{x}_{2}}\) – производительность первого и второго рабочего соответственно. А всю работу обозначим за \(\displaystyle 1\). Нам нужно найти \(\displaystyle \frac{1}{{{x}_{1}}}\).

Тогда по условию задачи:

\(\displaystyle 15\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1\)

Кроме того, в условии сказано, что за \(\displaystyle 4\) дня первый рабочий делает столько же, сколько и второй за \(\displaystyle 5\) дней, то есть:

\(\displaystyle 4{{x}_{1}}=5{{x}_{2}}\)

Составим и решим систему:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}15\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1\\4{{x}_{1}}=5{{x}_{2}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15{{x}_{1}}+15{{x}_{2}}=1\\4{{x}_{1}}=5{{x}_{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \left| \cdot 3 \right.\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15{{x}_{1}}+15{{x}_{2}}=1\\12{{x}_{1}}=15{{x}_{2}}\end{array} \right.\)

Подставим из второго уравнения системы \(\displaystyle 15{{x}_{2}}\) в первое и решим его:

\(\displaystyle \begin{array}{l}15{{x}_{1}}+12{{x}_{1}}=1\\27{{x}_{1}}=1\end{array}\)

Нам нужно найти \(\displaystyle \frac{1}{{{x}_{1}}}\). Так выразим его!

\(\displaystyle \frac{1}{{{x}_{1}}}=27\)

Ответ: \(\displaystyle 27\).

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

Пример 6.

На изготовление \(\displaystyle 600\) деталей первый рабочий тратит на \(\displaystyle 10\) часов меньше, чем второй рабочий на изготовление \(\displaystyle 500\) таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в \(\displaystyle 1000\) деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на \(\displaystyle 5\) деталей больше?

Решение.

  1. Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят \(\displaystyle 1000\) деталей, то есть: \(\displaystyle \frac{1000}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}\).
  2. Значит нужно найти \(\displaystyle {{P}_{1}}\) и \(\displaystyle {{P}_{2}}\). Первый рабочий за час делает на \(\displaystyle 5\) деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – \(\displaystyle x-5\).
  3. \(\displaystyle 600\) деталей первый рабочий делает за \(\displaystyle {{t}_{1}}\) часов, а \(\displaystyle 500\) таких же деталей второй рабочий делает за \(\displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10\) часов. То есть: \(\displaystyle {{t}_{1}}=\frac{600}{x},\ a\ {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10=\frac{500}{x-5}\).
    Приравняв \(\displaystyle {{t}_{1}}\), получаем уравнение:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}\frac{600}{x}=\frac{500}{x-5}-10\\\frac{600}{x}+10=\frac{500}{x-5}\\\frac{600+10x}{x}=\frac{500}{x-5}\\\left( 600+10x \right)\left( x-5 \right)=500x\\600{x}-3000+10{{x}^{2}}-50x=500x\\10{{x}^{2}}+50{x}-3000=0\\{{x}^{2}}+5{x}-300=0\end{array}\).
    По теореме Виета подобрать корни не просто, поэтому решим через дискриминант: \(\displaystyle \begin{array}{l}D={{b}^{2}}-4ac={{5}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -300 \right)=25+1200=1225={{35}^{2}}\\x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5\pm 35}{2}=\left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=15\\{{x}_{2}}=-20\end{array} \right.\end{array}\).
  4. Производительность первого рабочего – \(\displaystyle 15\) деталей в час, а второго – \(\displaystyle \left( x-5 \right)=15-5=10\) деталей в час. Значит их общая производительность \(\displaystyle 15+10=25\) деталей в час. И партию на \(\displaystyle 1000\) деталей они изготовят за \(\displaystyle \frac{1000}{25}=40\) часов.

Ответ: \(\displaystyle 40\)

Тренировка.

А теперь сам попробуй решить несколько задач, а затем проверь себя по ответам.

  1. Две трубы, работая вместе, рабочий, если известно, что первый за час делает на \(\displaystyle 3\) детали больше?
  2. Автоматизированная мойка обслуживает \(\displaystyle 20\) машин на \(\displaystyle 5\) часов быстрее, чем ручная мойка обслуживает \(\displaystyle 45\) автомобилей. За сколько часов ручная мойка обслужит \(\displaystyle 126\) машин, если известно, что автоматизированная мойка обслуживает за \(\displaystyle 1\) час на \(\displaystyle 7\) автомобилей больше, чем ручная?
  3. Первая труба пропускает на \(\displaystyle 3\) литра воды в минуту больше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом \(\displaystyle 30\) литров она заполняет на \(\displaystyle 1\) минуту дольше, чем первая труба заполняет резервуар объемом \(\displaystyle 40\) литров?
  4. На изготовление \(\displaystyle 312\) деталей мастер тратит на \(\displaystyle 6\) часов меньше, чем ученик на изготовление \(\displaystyle 240\) таких же деталей. Сколько деталей в час делает ученик, если известно, что мастер делает на \(\displaystyle 5\) деталей в час больше?
  5. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за \(\displaystyle 18\) дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу второй рабочий, если он за \(\displaystyle 6\) дней делает столько же, сколько первый за \(\displaystyle 4\) дня?

Ответы:

  1. \(\displaystyle 35\)
  2. \(\displaystyle 11\)
  3. \(\displaystyle 18\)
  4. \(\displaystyle 8\)
  5. \(\displaystyle 20\)

Проверь себя — реши задачи на работу.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *