Арифметическая прогрессия. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Числовая последовательность

 

Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:  
Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их  ). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности:
 

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.
Например, для нашей последовательности:


Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и  -ное число) всегда одно.
Число с номером   называется  -ным членом последовательности.


Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,  ), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена:  .

В нашем случае:
Арифметическая прогрессия

 

Арифметическая прогрессия

Допустим, у нас есть числовая последовательность, в которой разница между соседствующими числами одинакова и равна  .
Например:
Арифметическая прогрессия

  и т.д.
Такая числовая последовательность называется арифметической прогрессией.
Термин «прогрессия» был введен римским автором Боэцием еще в 6 веке и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Название «арифметическая» было перенесено из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.
 

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается  .

Попробуй определить, какие числовые последовательности являются арифметической прогрессией, а какие нет:

a)  
b)  
c)  
d)  

Разобрался? Сравним наши ответы:
Является арифметической прогрессией – b, c.
Не является арифметической прогрессией – a, d.

Вернемся к заданной прогрессии ( ) и попробуем найти значение ее  -го члена. Существует два способа его нахождения.

 

1. Способ

Мы можем прибавлять к предыдущему значению числа прогрессии   , пока не дойдем до  -го члена прогрессии. Хорошо, что суммировать нам осталось немного – всего три значения:

 

Итак,  -ой член описанной арифметической прогрессии равен  .

 

2. Способ

А что если нам нужно было бы найти значение  -го члена прогрессии? Суммирование заняло бы у нас не один час, и не факт, что мы не ошиблись бы при сложении чисел.
Разумеется, математики придумали способ, при котором не нужно прибавлять разность арифметической прогрессии к предыдущему значению. Присмотрись внимательно к нарисованному рисунку… Наверняка ты уже заметил некую закономерность, а именно:

Если нам нужно найти значение числа прогрессии с порядковым номером, мы прибавляем к первому члену арифметической прогрессии количество  , которое на одно значение меньше порядкового номера искомого числа.

Например, посмотрим, из чего складывается значение  -го члена данной арифметической прогрессии:
Нахождение n члена арифметической прогрессии
Иными словами:
 

Попробуй самостоятельно найти таким способом значение члена   данной арифметической прогрессии.

Рассчитал? Сравни свои записи с ответом:
 

Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно прибавляли   к предыдущему значению членов арифметической прогрессии.
Попробуем «обезличить» данную формулу – приведем ее в общий вид и получим:

  - уравнение арифметической прогрессии.

Кстати, таким образом мы можем посчитать и  -ой член данной арифметической прогрессии (да и  -ый тоже можем, да и любой другой вычислить совсем несложно). Попробуй посчитать значения  -го и  -го членов, применив полученную формулу.

 

Арифметические прогрессии бывают возрастающие, а бывают убывающие.

 

Возрастающие – прогрессии, в которых каждое последующее значение членов больше предыдущего.
Например:
 
 

Убывающие – прогрессии, в которых каждое последующее значение членов меньше предыдущего.
Например:
 

Выведенная формула применяется в расчете членов как в возрастающих, так и в убывающих членах арифметической прогрессии.
Проверим это на практике.
Нам дана арифметическая прогрессия, состоящая из следующих чисел:   Проверим, какое получится  -ое число данной арифметической прогрессии, если при его расчете использовать нашу формулу:
 

Заметим, что так как арифметическая прогрессия убывающая, то значение   будет отрицательным, ведь каждый последующий член меньше предыдущего.

 

Нахождение n члена арифметической прогрессии
 

Так как  , то:
 
Таким образом, мы убедились, что формула действует как в убывающей, так и в возрастающей арифметической прогрессии.
Попробуй самостоятельно найти  -ой и  -ый члены этой арифметической прогрессии.

Сравним полученные результаты:

 

 

Свойство арифметической прогрессии

Усложним задачу - выведем свойство арифметической прогрессии.
Допустим, нам дано такое условие:
  - арифметическая прогрессия, найти значение  .
Легко, скажешь ты и начнешь считать по уже известной тебе формуле:
 

Пусть  , а  , тогда:

 

Абсолютно верно. Получается, мы сначала находим  , потом прибавляем его к первому числу и получаем искомое  . Если прогрессия представлена маленькими значениями, то ничего сложного в этом нет, а если нам в условии даны числа  ? Согласись, есть вероятность ошибиться в вычислениях.
А теперь подумай, можно ли решить эту задачу в одно действие с использованием какой-либо формулы? Конечно да, и именно ее мы попробуем сейчас вывести.

Обозначим искомый член арифметической прогрессии как  , формула его нахождения нам известна – это та самая формула, выведенная нами в начале:
 , тогда:

  • предыдущий член прогрессии это  :  
  • последующий член прогрессии это  :  

Просуммируем предыдущий и последующий члены прогрессии:
 
Получается, что сумма предыдущего и последующего членов прогрессии – это удвоенное значение члена прогрессии, находящегося между ними. Иными словами, чтобы найти значение члена прогрессии при известных предыдущих и последовательных значениях, необходимо сложить их и разделить на  .

  - свойство членов арифметической прогрессии.

Попробуем посчитать значение  , используя выведенную формулу:
 
Все верно, мы получили это же число. Закрепим материал. Посчитай значение   для прогрессии   самостоятельно, ведь это совсем несложно.

 

Молодец! Ты знаешь о прогрессии почти все! Осталось узнать только одну формулу, которую по легендам без труда вывел для себя один из величайших математиков всех времен, «король математиков» - Карл Гаусс...

 

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Когда Карлу Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от   до   (по другим источникам до  ) включительно». Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это и был Карл Гаусс) через минуту дал правильный ответ на поставленную задачу, при этом, большинство одноклассников смельчака после долгих подсчетов получили неправильный результат…

Юный Карл Гаусс заметил некоторую закономерность, которую без труда заметишь и ты.
Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия, состоящая из  -ти членов:   Нам необходимо найти сумму данных   членов арифметической прогрессии. Конечно, мы можем вручную просуммировать все значения, но что делать, если в задании необходимо будет найти сумму   ее членов, как это искал Гаусс?

Изобразим заданную нам прогрессию. Присмотрись внимательно к выделенным числам и попробуй произвести с ними различные математические действия.

Попробовал? Что ты заметил? Правильно! Их суммы равны

Сумма первых n членов арифметической прогрессии
А теперь ответь, сколько всего наберется таких пар в заданной нам прогрессии? Конечно, ровно половина всех чисел, то есть  .
Исходя из того, что сумма двух членов арифметической прогрессии равна  , а подобных равных пар  , мы получаем, что общая сумма равна:
 .
Таким образом, формула для суммы первых   членов любой арифметической прогрессии будет такой:

 , где   – количество значений.

В некоторых задачах нам неизвестен  -й член, но известна разность прогрессии. Попробуй подставить в формулу суммы, формулу  -го члена.  
Что у тебя получилось?

 , где   – количество значений.

Молодец! Теперь вернемся к задаче, которую задали Карлу Гауссу: посчитай самостоятельно, чему равна сумма   чисел, начиная от  -го, и сумма   чисел начиная от  -го.

Сколько у тебя получилось?
У Гаусса получилось, что сумма   членов равна  , а сумма  членов  . Так ли ты решал?
 

 

На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.
Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени – строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.

Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.

Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется   блочных кирпичей. Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?

В данном случае прогрессия выглядит следующим образом:  .
Разность арифметической прогрессии  .
Количество членов арифметической прогрессии  .
Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Способ 1.

 

Способ 2.

 

 

А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде. Сошлось? Молодец, ты освоил сумму  -ных членов арифметической прогрессии.
Конечно, из   блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из  ? Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.
Справился?
Верный ответ –   блоков:

 

 

Тренировка

Задачи:

  1. Маша приходит в форму к лету. Ежедневно она увеличивает количество приседаний на  . Сколько раз будет приседать Маша через   недели, если на первой тренировке она сделала   приседаний.
  2. Какова сумма всех нечетных чисел, содержащихся в  .
  3. Лесорубы при хранении бревен укладывают их таким образом, что каждый верхний слой содержит на одно бревно меньше, чем предыдущий. Сколько бревен находится в одной кладке, если основанием кладки служат   бревен.

Ответы:

  1. Определим параметры арифметической прогрессии. В данном случае
      (  недели =   дней).
     
     
    Ответ: Через две недели Маша должна приседать   раз в день.
  2. Первое нечетное число  , последнее число  .
    Разность арифметической прогрессии  .
    Количество нечетных чисел в   – половина, однако, проверим этот факт, используя формулу нахождения  -ного члена арифметической прогрессии:
     
     
    В   числах действительно содержится   нечетных чисел.
    Имеющиеся данные подставим в формулу:
     
    Ответ: Сумма всех нечетных чисел, содержащихся в  , равна  .
  3. Вспомним задачу про пирамиды. Для нашего случая  , a  , так как каждый верхний слой уменьшается на одно бревно, то всего в кучке   слоев, то есть  .
    Подставим данные в формулу:
     
    Ответ: В кладке находится   бревен.

 

Подведем итоги

  1. Арифметическая прогрессия – числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна  . Она бывает возрастающей   и убывающей  .
  2. Формула нахождения  -го члена арифметической прогрессии записывается формулой -   , где   – количество чисел в прогрессии.
  3. Свойство членов арифметической прогрессии -   - где   – количество чисел в прогрессии.
  4. Сумму членов арифметической прогрессии можно найти двумя способами:
     , где   – количество значений.
     , где   – количество значений.

Комментарии

Алена
29 марта 2018

спасибо за вашу работу. все предельно ясно. В примере с пирамидами опечатка. Верный ответ 1830, а в формуле 1800.

ответить

Александр (админ)
29 марта 2018

Алена, спасибо за замечание и отзыв. Сейчас исправим! Удачи на экзамене!

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги сделать так, чтобы его не закрыли... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника.

Всего 199 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть