29 июля

1 comments

Дроби и рациональные числа (ЕГЭ – 2021)

Что такое дроби?

Вспоминаются примеры из начальной школы. Представьте себе пирог вкусный такой, и 4 голодных ребенка.

Как бы им так сделать, чтоб пирога досталось всем?

Верно, надо его поделить, поделить один пирог на 4 человека:

На рисунке ты видишь пирог, разрезанный на 4 дольки.

Так вот, как раз дробь – это и есть доля от целого.

Сегодня мы разберем подробно, что такое дроби. Как их ПРАВИЛЬНО делить, умножать, вычитать, складывать, преобразовывать...

В общем, сегодня ты узнаешь о дробях ВСЕ, что нужно знать для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ.

Ну что, начнём? 🙂

В данном случае от целого куска в сторонке отделенная одна доля, одна из четырех, одна четвертая.

Это простая дробь.

Простые дроби принято записывать одним из следующих способов: \(\displaystyle \frac{1}{4}\), \(\displaystyle {1}/{4}\;.\)

Ты не поверишь, все эти записи означают одно и то же – одна четвертая. А что останется если забрать эту \(\displaystyle 1/4?\) Было \(\displaystyle 4\) из \(\displaystyle 4\), или \(\displaystyle 4/4\), забрали \(\displaystyle 1/4\).

Верно, останется \(\displaystyle 3\) дольки, \(\displaystyle 3\) из \(\displaystyle 4\). Запишем, как полагается, \(\displaystyle 3/4\).

Можно даже вот так: \(\displaystyle 4/4-1/4=3/4\)

То, что находится выше черты – это числитель (ну или слева от черты в такой записи как тут), то, что ниже – знаменатель.

Можно запомнить так: Ч – чердак. Числитель сверху 🙂

Примеры простых дробей: \(\displaystyle 1/5,\text{ }2/4,\text{ }3/10,\text{ }17/3.\)

В этом ряду все дроби правильные, в них числитель меньше знаменателя. Кроме одной. Да-да, ты не ошибся, бывает и такое, что числитель больше знаменателя, как в этой дроби, например: \(\displaystyle 17/3\).

Если числитель больше знаменателя, то дробь называется неправильной.

Вне зависимости от того правильная дробь или неправильная, она будет простой.

Давай остановимся на неправильной дроби \(\displaystyle 17/3\). Что же это она неправильная?

Вспоминай пример с пирогом, там была \(\displaystyle 1/4\) – одна часть из четырех, а тут что получается? \(\displaystyle 17\) частей из \(\displaystyle 3\)?

Бред какой-то! У нас в знаменателе число, которое означает, что весь пирог состоит из стольки частей! Берем \(\displaystyle 4\) части и поучаем целый ровненький пирог. Но числитель говорит, что на данный момент у нас есть лишь одна из этих частей.

А \(\displaystyle 17/3\)?

Что же, у нас есть \(\displaystyle 17\) частей, а для целого пирога в данном случае надо \(\displaystyle 3\) части. Ну так давай соберем из кусочков целые пироги и отдельно их поставим.

Как узнать сколько пирогов мы можем получить из \(\displaystyle 17\) частей? Верно, надо на \(\displaystyle 3\) как раз и поделить.

Если попробовать составить \(\displaystyle 6\) пирогов, т.е. \(\displaystyle 3\cdot 6=18\), надо \(\displaystyle 18\) частей. Не хватает. А \(\displaystyle 3\cdot 5=15\), о, хватило! Получается \(\displaystyle 5\) целых пирогов собрали, положили в сторону. Осталось \(\displaystyle 17-3\cdot 5=2,2\), \( \displaystyle  2\) куска.

А для целого пирога надо \( \displaystyle  3\) части. В итоге у нас \( \displaystyle  5\) целых и \( \displaystyle  2/3\) (две третьих) пирога.

Много места занимает такое обозначение. А что если убрать лишние слова и оставить только \( \displaystyle  5\frac{2}{3}\) (пять целых и две третьих).

То, что у нас получилось (\( \displaystyle  5\frac{2}{3}\)),называют смешанная дробь – дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби и понимается как сумма этого числа и дроби.

То, что между \( \displaystyle  5\) пирогами и \( \displaystyle  2/3\) пирога нет никакого знака не говорит о том, что там знак умножения, как если бы мы писали \( \displaystyle  2x\)!!! Запомни, между целой и дробной частями можно поставить знак плюс, вот так: \( \displaystyle  5\frac{2}{3}=5+\frac{2}{3}\).

Так же можно проделать и обратное действие, т.е. преобразование из смешанной дроби в неправильную дробь. Ты же знаешь, как это сделать? Конечно, нужно умножить знаменатель дроби (в случае с , \(\displaystyle5\frac{2}{3}\) знаменатель равен \( \displaystyle  3\)), умножить знаменатель…, верно, на \(\displaystyle5\) и прибавить нецелую часть, а именно – \( \displaystyle  2\) . В результате получим исходное \( \displaystyle  17/3\).

Преобразуй следующие неправильные дроби:

  1. 1
    \( \displaystyle  \frac{20}{10}\)
  2. 2
    \( \displaystyle  \frac{19}{5}\)
  3. 3
    \( \displaystyle  \frac{3}{2}\)

Ответы:

  1. 1
    \( \displaystyle  \frac{20}{10}=2\)
  2. 2
    \( \displaystyle  \frac{19}{5}=3\frac{4}{5}\)
  3. 3
    \( \displaystyle  \frac{3}{2}=1\frac{1}{2}\)

Существует еще один вид дробей, уверен ты его знаешь. Бери калькулятор и дели \( \displaystyle  11\) на \( \displaystyle  2\), например. Что пишет, \( \displaystyle  5,5\)? Что за штука такая?

Читается это как пять целых и пять десятых, равносильно \(\displaystyle5\frac{5}{10}\). Иными словами \( \displaystyle  11/2=5,5=5\frac{5}{10}\), все это одно и то же.

Дроби типа \( \displaystyle  5,5;\text{ }42,02;\text{ }0,122\) – все это десятичные дроби – это те же самые обыкновенные дроби, но в так называемой десятичной записи.

Десятичная запись используется для дробей со знаменателями \( \displaystyle  10\), \( \displaystyle  100\), \( \displaystyle  1000\) и т. д. В десятичных дробях так же есть целая и дробная части.

Для ясности возьмем вот такую дробь \( \displaystyle  12,856\):

  • до запятой – целая часть (\( \displaystyle  12\));
  • первый знак после запятой – десятые доли (\( \displaystyle  8/10\));
  • второй – сотые доли (\( \displaystyle  5/100\))
  • третий – (\( \displaystyle  6/1000\)).

И так далее. В зависимости от того на каком месте после запятой находится последний знак читается число. Читается так: \( \displaystyle  1,2\) – одна целая, две десятых; \( \displaystyle  42,02\)- сорок две целых, две сотых; \( \displaystyle  0,122\) – ноль целых сто двадцать две тысячных.

Вот тебе дробь \( \displaystyle  4/6\) – при виде этой у тебя не возникает никаких мыслей? Ладно, давай так, и \( \displaystyle  4\) и \( \displaystyle  6\) делятся на… Да, делятся на \( \displaystyle  2\).

А что, если я скажу тебе, что ты можешь разделить \( \displaystyle  4\) на \( \displaystyle  2\) и разделить \( \displaystyle  6\) на \( \displaystyle  2\), и получившееся записать в таком виде как было до деления, а именно: \(\displaystyle\frac{4:2}{6:2}=\frac{2}{3}\), а проще говоря, \( \displaystyle  4/6=2/3\).

Это еще не все, ты так же можешь умножить на \( \displaystyle  3\), например, и \( \displaystyle  2\) и \( \displaystyle  3\), а результат записать так \(\displaystyle\frac{2\cdot 3}{3\cdot 3}=\frac{6}{9}\). По сути \(\displaystyle\frac{2}{3}=\frac{6}{9}\).

Все это вытекает из основного свойства дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. С помощью основного свойства дроби можно заменить данную дробь другой, равной данной, но с меньшими числителем и знаменателем. Такая замена называется сокращением дроби.

Попробуй сократить дроби сам:

  1. 1
    \( \displaystyle  4/8\)
  2. 2
    \( \displaystyle  12/9\)
  3. 3
    \( \displaystyle  10/100\)

Ответы:

  1. 1
    \( \displaystyle  4/8=1/2\)
  2. 2
    \( \displaystyle  12/9=4/3\)
  3. 3
    \( \displaystyle  1/10\)

Представляешь, любые две дроби можно привести к общему знаменателю! Ну, если тебя это не поразило, ты, наверное, не понял о чем я. Вот смотри. Есть две дроби \( \displaystyle  1/3\) и \( \displaystyle  3/5\).

Тебе надо изменить эти дроби так, чтоб значение дробей не поменялось, но в знаменателе у обеих стало одно и то же число. Подскажу лишь, что для этого нужно воспользоваться основным свойством дроби.

Ладно, так и быть, покажу сам: \( \displaystyle  1/3=5/15\); \( \displaystyle  3/5=9/15\). Как ты видишь в знаменателе у обеих дробей \( \displaystyle  15\), и при этом, если сократить дроби, первую на \( \displaystyle  5\), а вторую на \( \displaystyle  3\), то получатся те же \( \displaystyle  1/3\) и \( \displaystyle  3/5\)!

Сказать, как это делается? Так и быть, тебе сегодня везет, читай ниже.

  1. 1
    найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей (наименьший общий знаменатель);
  2. 2
    разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;
  3. 3
    умножить числитель и знаменатели каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Наименьшим общим знаменателем (наименьшее общее кратное) этих двух дробей является \( \displaystyle  15\), то есть наименьшее число, которое делится и на \( \displaystyle  3\) и на \( \displaystyle  5\) (их знаменатели).

В данном случае я просто перемножил их знаменатели – умножил \( \displaystyle  3\) на \( \displaystyle  5\), получив тем самым \( \displaystyle  15\).

Чтоб понять этот момент лучше, советую обратиться к теме Целые числа, там ты найдешь, что такое наименьшее общее кратное (НОК) и с чем его едят.

Далее, по основному свойству дроби мне нужно было умножить числитель на то же число, на которое я домножал знаменатель, чтоб получить \( \displaystyle  15\). В первом случае это число \( \displaystyle  5\), во втором \( \displaystyle  3\).

И, наконец, найдя для обеих дробей множители, умножение на которые приведет к нужному результату, я умножаю и числитель и знаменатель дробей на соответствующие множители.

\(\displaystyle\frac{1\cdot 5}{3\cdot 5}=\frac{5}{15}\); \(\displaystyle\frac{3\cdot 3}{5\cdot 3}=\frac{9}{15}\)

  1. 1
    поделить числитель дроби на ее знаменатель;
  2. 2
    остаток от деления записать в числитель знаменатель оставить прежним;
  3. 3
    результат от деления записать в качестве целой части.

Потренируйся:

  1. 1
    \( \displaystyle  11/2\)
  2. 2
    \( \displaystyle  12/3\)
  3. 3
    \(\displaystyle213/15\)

Ответы:

  1. 1
    \( \displaystyle  11/2=5\frac{1}{2}\)
  2. 2
    \( \displaystyle  12/3=4\)
  3. 3
    \( \displaystyle  213/15=14\frac{3}{15}\)

Все дроби перебрали, а что с ними теперь делать-то? – спросишь ты. А тут, как и везде в математике, складывай, вычитай, умножай, дели – в общем, заняться есть чем!

Самый простой вариант, когда дроби, которые надо сложить, имеют одинаковый знаменатель.

Ты же еще не забыл, что это такое, правда?

Например, \( \displaystyle  2/5+1/5\). Вспомнив пример с кусочками пирога, думаю, ты без проблем догадаешься, что если складывать равные дольки одного пирога, то знаменатель меняться не будет, а складываются лишь числители.

Сложение будет выглядеть следующим образом: \( \displaystyle  \frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2+1}{5}=\frac{3}{5}\). Не сложно догадаться и как складывать смешанные дроби.

Отдельно складываются целые и дробные части:

\( \displaystyle  2\frac{2}{3}+4\frac{1}{3}=6\frac{2+1}{3}=6\frac{3}{3}=7\).

А что, если знаменатели у дробей разные, а? Например, \( \displaystyle  2/3+1/2\).

И тут ты сразу вспоминаешь, что мы проходили приведение дробей к общему знаменателю, и, наконец, становится понятно, зачем это было учить!

В данном примере общим знаменателем будет число \( \displaystyle  6\), как наименьшее общее кратное чисел \( \displaystyle  2\) и \( \displaystyle  3\). \( \displaystyle  \frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{4}{6}+\frac{3}{6}=\frac{7}{6}=1\frac{1}{6}\).

Поскольку ты теперь умеешь приводить неправильную дробь к смешанной дроби, то открою тебе секрет, что это является не просто хорошим тоном, но и обязательным действием при упрощении выражений, после получения ответа избавиться от неправильных дробей.

С десятичными дробями все еще проще.

Сложение делается, как и с обычными числами, только не забывай про запятую. Вот тебе пример: \(\displaystyle15,2+2,91\).

Я предлагаю решать так: удобнее всего вычитать в столбик, расположив одну дробь под другой, но при этом запятая должна стоять строго под запятой вне зависимости от количества знаков до и после нее.

Как ты видишь, у второй дроби после запятой было на один знак больше. Для достижения одинакового количества знаков, я добавил еще один ноль в конце первой дроби.

Невероятно, но после последнего знака после запятой ты можешь добавить сколько угодно нулей, и это не изменит смысла дроби!

Вычитание дробей практически ни чем не отличается от сложения, ну разве что знаком. А так, вычитается знаменатель из знаменателя, при сохранении общего числителя неизменным, а в случае если знаменатели разные, дроби приводятся к общему знаменателю.

Но куда же без специфики, тут она тоже присутствует.

Если ты вычитаешь одну смешанную дробь из другой, то в случае, если дробная часть уменьшаемой дроби меньше, чем у той, которую ты вычитаешь, то нужно уменьшить целую часть дроби на один и перенести в дробную часть, и вычитать из целой части целую, а из дробной дробную.

Что-нибудь понятно хоть чуточку? – Ладно, смотри пример, сейчас разберешься!

\( \displaystyle  4\frac{1}{3}-2\frac{2}{3}=3\frac{4}{3}-2\frac{2}{3}=1\frac{2}{3}\) – как ты видишь, в дробной части, тут из \( \displaystyle  1/3\) вычитается \( \displaystyle  2/3\).

Но, очевидно, что, не привлекая «кусочки» от целого пирога, вычитание совершить нельзя. Для этого один пирог режут на куски и добавляют их к дробной части.

Получается, что уже из \( \displaystyle  4/3\) вычитают \( \displaystyle  2/3\), а тут уж нет проблем.

А с десятичными дробями все то же самое, что и было при сложении.

Вот тебе пример:

Есть вопросы по нему? Думаю, все логично и понятно, если нет, то еще раз посмотри, как делали сложение.

Умножать дробь на число - элементарно! \( \displaystyle  4\cdot \frac{2}{3}\ \) - вот пример, это произведение четырех и \( \displaystyle  2/3\), не путай с \( \displaystyle  4\frac{2}{3}\) - это четыре целых, две третьих!!! Ну, так вот, \( \displaystyle  4\cdot \frac{2}{3}\ =\frac{4\cdot 2}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\).

Просто умножаешь число на числитель, а знаменатель не трогаешь!

Умножение смешанной дроби на число: \( \displaystyle  4\cdot 2\frac{2}{5}\) . Умножаешь и целую, и дробную части на \( \displaystyle  4\). Вот как это выглядит: \( \displaystyle  4\cdot 3\frac{2}{5}=12\frac{8}{5}=13\frac{3}{5}\).

Все сложнее при умножении дроби на дробь. 

  1. 1
    Если дробь смешанная, привести ее к виду обыкновенной неправильной дроби;
  2. 2
    Перемножить числители дробей, перемножить знаменатели дробей;
  3. 3
    Записать результат умножения числителей в числитель, а знаменателей, в знаменатель.
Заметь, что для умножения дробей с разными знаменателями не нужно приводить их к общему знаменателю!

Вот как все делается: \( \displaystyle  3\frac{2}{5}\cdot 2\frac{1}{3}=\frac{17}{5}\cdot \frac{7}{3}=\frac{119}{15}=7\frac{14}{15}\).

Умножение десятичных дробей на число или на десятичную дробь делается просто в столбик, и без запятых. Главное не забыть что?

Правильно, после умножения поставить запятую, отсчитав справа столько знаков, сколько было в сумме у двух множителей до умножения.

Например: \( \displaystyle  17,3\cdot 5,1=88,23\). В множителях было в сумме два знака справа от запятой, можно просто перемножить \( \displaystyle  173\) и \( \displaystyle  51\), а потом к результату дописать запятую, отсчитав два знака справа.

Деление. А что деление? Деление это действие обратное умножению. Сейчас поясню, существует такое понятие, как «обратная дробь», или дробь обратная данной, иными словами, это попросту перевернутая дробь!

Деление дроби на дробь, по сути, это умножение на дробь обратную.

Смотри: \( \displaystyle  \frac{1}{7}:\frac{3}{5}=\frac{1}{7}\cdot \frac{5}{3}=\frac{5}{21}\)

Как ты видишь, дробь \( \displaystyle  3/5\) просто переворачивается, а знак деления меняется на умножение!

А деление дроби на число или наоборот особо не отличается от деления на дробь, ведь любое число можно представить виде дроби – как, спросишь ты?

А ты знаешь, сколько будет \( \displaystyle  7/1\), например? По сути это \( \displaystyle  7\) пирогов разделить на одного человека. Сколько пирогов получит он? Семь!

Таким образом, любое число можно представить в виде дроби, в которой это число разделено на \(\displaystyle1\).

Значит, \( \displaystyle  7:\frac{3}{5}=\frac{7}{1}\cdot \frac{5}{3}=\frac{35}{3}=11\frac{2}{3}\).

Деление десятичных дробей производится ровно, так же как и умножение, с тем же главным правилом, не забывать после деления поставить в частном запятую, отсчитав справа столько знаков, сколько было в сумме у делимого и делителя до самого деления!

Бывают ситуации, когда приходится преобразовывать десятичную дробь в обычную. Делается это очень просто.

Давай возьмем дробь \( \displaystyle  1,4\), например, запишем ее сначала как простую дробь, у нас будет ноль целых и четырнадцать десятых, так и напишем: \( \displaystyle  14/10\). Но дробь неправильная, ее можно сократить, а так же превратить в смешанную дробь:

\(\displaystyle\frac{14}{10}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\).

Рациональные числа - это целые и дробные числа (простые дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби).

С простыми дробями понятно, а конечными десятичными называют дроби, у которых после запятой какое-то определенное число знаков, даже если их много.

А вот бесконечные периодические дроби – это дроби с периодически повторяющимися знаками после запятой. Не все обыкновенные дроби можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Любое рациональное число можно представить как дробь, с числителем принадлежащим целым числам \( \displaystyle  \left( \ldots -2,-1,\text{ }0,\text{ }1\ldots \right)\), а знаменателем – натуральным \( \displaystyle  (1, 2, 3…)\). Так при делении одного на три десятичная дробь получится бесконечной, но знаки после запятой будут повторяться, \( \displaystyle  1/3=0,333333\)… или как это еще записывают \( \displaystyle  0,(3)\), читается это как «ноль целых и три в периоде».

А бывает и так \( \displaystyle  85/63=1,(349206)\).

Так вот, периодические десятичные дроби тоже относятся к рациональным числам. Но не относятся к ним бесконечные непериодические десятичные дроби.

Это дроби, типа числа \( \displaystyle  \pi \) \( \displaystyle  (3,1415926535…)\), которые имеют бесконечное число знаков после запятой.

Такие дроби называются иррациональными. Так же к ним относятся корни, например: \( \displaystyle  \sqrt{3}=1,732\).

Подведем итог. Далее следует эдакая шпаргалка для тебя, которая поможет тебе различать рациональные и иррациональные числа.

Пять видов иррациональных чисел

  • непериодические десятичные дроби \( \displaystyle  (22,353335333335…)\);
  • \( \displaystyle  \sqrt{n}\) для любого натурального \(\displaystyle n\), не являющегося точным квадратом;
  • \( \displaystyle  {{e}^{x}}\) для любого рационального, где \( \displaystyle  e =2,7182818…\);
  • \( \displaystyle  ln\text{ }x\) для любого положительного рационального; \(\displaystyle\text{x}\ne \text{1}\)
  • \( \displaystyle  \pi \), а также \( \displaystyle  {{\pi }^{n}}\) для любого целого \(\displaystyle\text{n}\ne \text{0}\).

Все остальные смело можешь считать рациональными!

Пять видов рациональных чисел

Примеры:

Попробуй, отличи, какие числа тут рациональные, а какие – нет:

  1. 1
    \( \displaystyle  3/5\)
  2. 2
    \( \displaystyle  3\pi /2\)
  3. 3
    \( \displaystyle  0,18\)
  4. 4
    \( \displaystyle  0,666\ldots \)
  5. 5
    \( \displaystyle  4,10110011100011110000\ldots \)
  6. 6
    \( \displaystyle  \sqrt{8}\)
  7. 7
    \( \displaystyle  \sqrt{9}\)
  1. 1
    Рациональное
  2. 2
    Иррациональное
  3. 3
    Рациональное
  4. 4
    Рациональное
  5. 5
    Иррациональное
  6. 6
    Иррациональное
  7. 7
     Рациональное

Для закрепления пройденного материала предлагаю тебе прорешать еще несколько примеров.

Примеры:

  1. 1
    \( \displaystyle  \frac{3}{5}:2\frac{2}{3}+3\frac{3}{8}-\frac{7}{5}\)
  2. 2
    \( \displaystyle  \frac{3}{2}+1\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}-1\frac{2}{3}\)
  3. 3
    \( \displaystyle  0,75\cdot 2-0,2:\frac{1}{5}\)

Ответы:

1. \(\displaystyle\frac{3}{5}:2\frac{2}{3}+3\frac{3}{8}-\frac{7}{5}=\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{8}+\frac{27}{8}-\frac{7}{5}=\frac{9}{40}+\frac{135}{40}-\frac{56}{40}=\)

\( \displaystyle  \displaystyle=\frac{88}{40}=\frac{11}{5}=2\frac{1}{5}\)

2. \( \displaystyle  \frac{3}{2}+1\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}-1\frac{2}{3}=\frac{3}{2}+\frac{9}{10}-\frac{5}{3}=\frac{45}{30}+\frac{27}{30}-\frac{50}{30}=\frac{22}{30}=\frac{11}{15}\)

3. \( \displaystyle  0,75\cdot 2-0,2:\frac{1}{5}=1,5-1=0,5\)

Простая дробь (обыкновенная дробь) – запись рационального числа в виде отношения двух чисел \(\displaystyle\frac{a}{b}\).

Делимое \(\displaystyle a\) – числитель дроби, а делитель \(\displaystyle b\) – знаменатель дроби.

Правильная дробь – дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например: \(\displaystyle\frac{2}{5}\), \(\displaystyle\frac{1}{7}\) и так далее.

Неправильная дробь  дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Например: \(\displaystyle\frac{9}{5}\), \(\displaystyle\frac{13}{2}\) и так далее.

Смешанная дробь – дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби и понимается как сумма этого числа и дроби. Например: \(\displaystyle2\frac{2}{5}\)\( \displaystyle  \displaystyle=\frac{2\cdot 5}{5}+\frac{2}{5}=\frac{10}{5}+\frac{2}{5}=\frac{12}{5}\).

Десятичная дробь – обыкновенная дробь со знаменателем \(\displaystyle10\), \(\displaystyle100\), \(\displaystyle1000\) и так далее, (т.е. \(\displaystyle{{10}^{n}}\), где \(\displaystyle n\) — натуральное число).

Например: \(\displaystyle\frac{9}{100}\) в виде десятичной дроби записывается как \(\displaystyle0,09\), \(\displaystyle\frac{225}{1000}\) записывается как \(\displaystyle0,225\).

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, дробь не изменится, несмотря на то, что выглядеть она будет по-другому. Например: \(\displaystyle\frac{1}{5}=\frac{1\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{2}{10}\).

Сокращение дроби: чтобы сократить дробь \(\displaystyle\frac{a}{b}\) нужно найти наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя. Если наибольший общий делитель равен \(\displaystyle1\), то дробь сократить нельзя. Например: \(\displaystyle\frac{5}{15}=\frac{5:5}{15:5}=\frac{1}{3}\).

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю:

  1. 1
    найдите наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей (наименьший общий знаменатель);
  2. 2
    разделите наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найдите для каждой дроби дополнительный множитель;
  3. 3
    умножьте числитель и знаменатели каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Например: \(\displaystyle\frac{1}{3}\) и \(\displaystyle\frac{3}{4}\). Наименьший общий знаменатель - \(\displaystyle12\). Дополнительный множитель первой дроби - \(\displaystyle12:3=4\), дополнительный множитель второй дроби - \(\displaystyle12:4=3\).

Следовательно: для первой дроби: \(\displaystyle\frac{1\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{4}{12}\), для второй дроби: \(\displaystyle\frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{9}{12}\).

Преобразования неправильной дроби в смешанную дробь:

  1. 1
    поделите числитель дроби на ее знаменатель;
  2. 2
    остаток от деления запишите в числитель, знаменатель оставьте прежним;
  3. 3
    результат от деления запишите в качестве целой части.

Например: \(\displaystyle\frac{17}{4}\) = \(\displaystyle4\frac{1}{4}\).

Сравнение дробей:

  • две дроби с одинаковыми знаменателями: больше та дробь, числитель которой больше
  • две дроби с одинаковыми числителями: больше та дробь, знаменатель которой меньше
  • две обыкновенные дроби: после приведения дробей к общему знаменателю, больше та дробь, числитель которой больше

Сложение/вычитание дробей:

  • две дроби с одинаковыми знаменателями: складываем/вычитаем их числители, а знаменатель оставляем без изменений: \(\displaystyle\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\)
  • две обыкновенные дроби с разными знаменателями: (1)приводим дроби к наименьшему общему знаменателю; (2) складываем/вычитаем числители дробей, а знаменатель оставляем без изменений; (3) сокращаем полученную дробь
  • две смешанные дроби с разными знаменателями: (1) приводим дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; (2) по-отдельности складываем/вычитаем целые части и дробные части; (3) если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем целую часть из этой дроби и прибавляем ее к полученной целой части / если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превращаем ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу, целую часть; (4) сокращаем полученную дробь.

Умножение дробей:

  • умножение дроби на натуральное число: числитель умножаем на число, а знаменатель оставляем неизменным
  • умножение двух обыкновенных дробей: (1) перемножаем числители и знаменатели дробей; (2) сокращаем полученную дробь
  • умножение двух смешанных чисел: (1) преобразовываем смешанные дроби в неправильные; (2) перемножаем числители и знаменатели дробей; (3) сокращаем полученную дробь; (4) если получилась неправильная дробь преобразовываем ее в смешанную.

Деление дробей:

  • деление дроби на натуральное число: знаменатель дроби умножаем на число, а числитель оставляем неизменным
  • деление натурального числа на дробь: число умножаем на дробь обратную данной
  • деление обыкновенных дробей: умножаем первую обыкновенную дробь на дробь, обратную второй
  • деление двух смешанных чисел: (1) преобразовываем смешанные дроби в неправильные; (2) умножаем первую дробь на дробь, обратную второй; (3) сокращаем полученную дробь; (4) если получилась неправильная дробь преобразовываем ее в смешанную.

Рациональные числа - это целые и дробные числа (простые дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби).

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Поделись своим мнением!

Я рассказал тебе все о дробях и рациональных числах. 

А теперь мы хотим услышать тебя. Чувствуешь ты себя увереннее? Было ли легко решать примеры вместе? Помогла ли тебе эта статья?

Напиши внизу в комментариях!

И задай вопросы, если есть.

Мы читаем все и обязательно ответим. 

Успехов!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Людмила
    25 февраля 2019
    Мне понравилась статья. Всё ясно и понятно, расписан каждый шаг. Спосиббо создателям сайта

    Александр (админ)
    25 февраля 2019
    Спасибо, Людмила! Нам очень приятно!)

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >