Медиана. Коротко о главном.

1. Медиана делит сторону пополам.

Медиана - линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

2. Теорема: медиана делит площадь пополам

Но  , значит,

3. Три медианы треугольника

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении  , считая от вершины.

4. Формула длины медианы

5. Медиана в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Обратная теорема: если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный и эта медиана проведена к гипотенузе.

1. Что такое медиана?

Это очень просто!

Возьми треугольник:

Отметь на какой-нибудь его стороне середину  .

И соедини с противоположной вершиной!

Получившаяся линия   и есть медиана.

Медиана – линия, проведённая из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

2. Свойства медианы.

Какие же хорошие свойства есть у медианы?

1) Вот представим, что треугольник   – прямоугольный. Бывают же такие, верно?

Тогда медиана равна половине гипотенузы!

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на ... прямоугольник. Зачем, спросишь?

А вот ты ходишь по Земле – ты видишь, что она круглая? Нет, конечно, для этого на Землю нужно смотреть из космоса. Вот и мы посмотрим на наш прямоугольный треугольник «из космоса».

Итак, рассмотрим прямоугольник  .

Ты заметил, что наш треугольник   – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ  :

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб...»)
Но одна из диагоналей –   – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы  . Она называлась у нас  .

Значит, половина второй диагонали – наша медиана  . Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим  

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

И….( доказываем это в следующем уровне теории, а пока запомни!):

•   – вдвое больше, чем  ;
•   – вдвое больше, чем  ;
•   – вдвое больше, чем  .

Не устал ещё? На следующий пример сил хватит? Сейчас мы применим всё, о чём говорили!

Задача: В треугольнике   проведены медианы   и  , которые пересекаются в точке  . Найти  , если  

Решение   - треугольник прямоугольный! Значит,  . (Применили то, что медиана, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы).

Найдём   по теореме Пифагора:

 
 

Значит,  .

А теперь применим знания про точку пересечения медиан.

Давай обозначим  . Отрезок  , а  . Если не все понятно – посмотри на рисунок.

Мы уже нашли, что  .

Значит,  ;  .

В задаче нас спрашивают об отрезке  .

В наших обозначениях  .

Значит,  .

Ответ:  .

Понравилось? Старайся теперь сам применять знания про медиану!

1. Медиана делит сторону пополам.

Медиана - линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.

Посмотри на рисунок. Линия   – медиана.

Итак,

Медиана делит сторону пополам.

И все? А может, она ещё что-нибудь делит пополам? Представь себе, что это так!

2. Теорема: медиана делит площадь пополам.

Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника.

И применим эту формулу аж два раза!

Посмотри, медиана   разделила   на два треугольника:   и  . Но! Высота-то у них одна и та же –  ! Только в   эта высота   опускается на сторону  , а в   – на продолжение стороны  . Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота – одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу  .

1) B  :

" " – это   " " – это

2) B  :

" " – это   " " – это опять

Запишем ещё раз:

 ;  

Но  ! (Посмотри на рисунок или вспомни, что   – медиана).

Значит,   - площадь   разделилась на две равные части. Ура! Доказали теорему. И получилось совсем несложно - всего-то одна формула площади.

3. Три медианы треугольника

Теорема. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении  , считая от вершины.

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

Первое утверждение: медианы пересекаются в одной точке.

Второе утверждение: точкой пересечения медианы делятся в отношении  , считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы:

Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой  .

Соединим точки   и  . Что получилось?

Конечно,   - средняя линяя  . Ты помнишь, что это значит?   - параллельна  ;  .

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину   – поставим точку  , отметим середину   - поставим точку  .

Теперь   – средняя линия  . То есть

1.   параллельна  ;
2.  .

Заметил совпадения? И   , и   – параллельны  . И  , и  .

Что из этого следует?

1.   параллельна  ;
2.  

Посмотри теперь на четырехугольник  . У какого четырехугольника противоположные стороны (  и  ) параллельны и равны?

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит,   – параллелограмм. Ну и что? А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

Получилось, что   (мы так выбирали точку  )   (из-за того, что   – параллелограмм)

То есть   - медиана   разделена точками   и   на три равные части. И точно так же  .

Значит, точкой   обе медианы разделились именно в отношении  , то есть   и  .

Что же будет происходить с третьей медианой? Давай вернемся в начало. О, ужас?! Нет, сейчас будет все гораздо короче. Давай выбросим медиану   и проведем медианы   и  .

А теперь представим, что мы провели точно такие же рассуждения, как для медиан   и  . Что тогда?

Получится, что медиана   разделит медиану   абсолютно точно так же: в отношении  , считая от точки  .

Но сколько же может быть точек на отрезке  , которые делят его в отношении  , считая от точки  ?

Конечно же, только одна! И мы её уже видели – это точка  .

Что же получилось в итоге?

Медиана   точно прошла через  ! Все три медианы через неё прошли. И все разделились в отношении  , считая от вершины.

Вот и разгадали (доказали) теорему. Разгадкой оказался параллелограмм, сидящий внутри треугольника.

4. Формула длины медианы

Как же найти длину медианы, если известны стороны? А ты уверен, что тебе это нужно? Откроем страшную тайну: эта формула не очень полезная. Но всё-таки мы её напишем, а доказывать не будем (если интересно доказательство – смотри следующий уровень).

Итак,

5. Медиана в прямоугольном треугольнике.

Теорема:

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Как бы понять, отчего так выходит?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на прямоугольник.

Итак, рассмотрим прямоугольник  .

Ты заметил, что наш треугольник   – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ  

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ...»)
Но одна из диагоналей –   – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы  . Она называлась у нас  .

Значит, половина второй диагонали – наша медиана  . Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим  

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить подумай сам: разве бывает какой – нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике. Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача:

В   стороны  ;  . Из вершины   проведена медиана  . Найти  , если  .

Рисуем:

Сразу вспоминаем, это если  , то  !

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

Вот и ответ!