Окружность. Вписанный угол. Коротко о главном.

1. Основные понятия.

2. Вписанный и центральный углы

Центральный угол – угол между двумя радиусами.

Вписанный угол – угол между двумя хордами, которые пересекаются в точке на окружности.

3. Измерения дуг и углов.

Градусная мера (величина дуги) – это величина (в градусах) соответствующего центрального угла Большей дуге соответствует больший угол, а меньшей дуге соответствует меньший угол.

Угол величиной   радиан – такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

  – это число, выражающее отношение длины полуокружности к радиусу.

 

 

Длина окружности радиуса   равна  .

		от  , то есть от
		от  , то есть от
		от  , то есть от
		это и есть
		в   раза больше, чем
		А это   раза по  , то есть

4. Соотношение между величинами вписанного и центрального углов.

Теорема Величина вписанного угла вдвое меньше, чем величина соответствующего центрального угла.

Следствие 1 Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

Следствие 2 Угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Что такое окружность, знает и пятилетний ребёнок, не правда ли? У математиков, как всегда, на этот счёт есть заумное определение, но мы его приводить не будем (смотри следующие уровни теории), а лучше вспомним, как называются точки, линии и углы, связанные с окружностью.

Важные термины

Ну, во-первых:

центр окружности – такая точка, расстояния от которой до всех точек окружности одинаковые.

Во–вторых:

радиус – отрезок, соединяющий центр и точку на окружности.

Радиусов очень много (столько же, сколько и точек на окружности), но длина у всех радиусов – одинаковая.

Иногда для краткости радиусом называют именно длину отрезка «центр – точка на окружности», а не сам отрезок.

А вот что получится, если соединить две точки на окружности? Тоже отрезок?

Так вот, этот отрезок называется «хорда».

Тут есть ещё одно принятое выражение: «хорда стягивает дугу». Вот, здесь на рисунке, например, хорда   стягивает дугу  . А если хорда вдруг проходит через центр, то у неё есть специальное название: «диаметр».

Так же, как и в случае с радиусом, диаметром часто называют длину отрезка, соединяющего две точки на окружности и проходящего через центр.

Кстати, а как связаны диаметр и радиус? Посмотри внимательно. Конечно же,

радиус равен половине диаметра.

А теперь – названия для углов.

Угол между двумя радиусами называется центральным.

Естественно, не правда ли? Стороны угла выходят из центра – значит, угол – центральный.

Угол между двумя хордами, которые пересекаются в точке на окружности, называется вписанным углом.

Вот здесь иногда возникают сложности. Обрати внимание – НЕ ЛЮБОЙ угол внутри окружности – вписанный, а только такой, у которого вершина «сидит» на самой окружности.

Давай увидим разницу на картинках:

Измерение дуг и углов

Помнишь мультик «38 попугаев»? Там удава измеряли в попугаях, мартышках и слонах. А дуги и углы измеряются в градусах и радианах. О радианах смотри в следующих уровнях теории, а здесь поговорим о градусах. Начнём?

Ты скажешь: углы в градусах я умею измерять уже давно. И правильно! В градусах нам нужно научиться измерять дугу.

Смотри: вот окружность и дуга на ней.

Точка   – центр. Что такое «градусная мера» дуги? Это просто величина угла  ! (В градусах, естественно…).

Итак:

Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла.

По-другому ещё говорят:

Дуга измеряется величиной своего центрального угла.

Тут есть один хитрый момент. Что такое «соответствующий» или «свой» центральный угол? Просто угол с вершиной в центре окружности и концами в концах дуги? Не совсем так. Посмотри-ка на рисунок.

Замечаешь, что есть две дуги  ? (маленькая и большая?). И два! Центральных угла  .

Один из них, правда, и на угол-то не похож – он больше  . Но это в треугольнике не может быть углов больше  , а в окружности – вполне может! Так вот: меньшей дуге AB соответствует меньший угол (оранжевый), а большей – больший. Просто как  , не правда ли?

Соотношение между величинами вписанного и центрального угла

Запомни очень важное утверждение:

Величина вписанного угла вдвое меньше, чем величина соответствующего центрального угла

В учебниках этот же факт любят записывать так:

Величина вписанного угла измеряется половиной градусной меры дуги, на которую этот угол опирается.

Правда, с центральным углом формулировка проще?

Но всё же давай найдём соответствие между двумя формулировками, а заодно научимся находить на рисунках «соответствующий» центральный угол и дугу, на которую «опирается» вписанный угол.

Смотри: вот окружность и вписанный угол:

Видишь,   вроде бы как «стоит» на дуге  ? Вот и появилось название «угол опирается на дугу». Значит, у нас   опирается на дугу  .

Где же его «соответствующий» центральный угол?

Снова смотрим:

Углу   соответствует угол  .

Какое же правило?

Чтобы получить «соответствующий» центральный угол, нужно в качестве вершины взять центр окружности, а концы оставить.

Но! При этом важно, чтобы вписанный и центральный угол «смотрели» с одной стороны на дугу. Вот, например:

какой из углов, оранжевый или голубой, будет «соответствующим» для вписанного угла  ?

Как ни странно, голубой! Потому что дуга-то длинная, длиннее половины окружности! Вот и не путай никогда!

Какое же следствие можно вывести из «половинчатости» вписанного угла?

А вот, например:

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

Смотри:

дуга одна, центральный угол один, а вписанных углов – хоть миллион! И они все равны между собой и равны половине центрального (половине дуги).

Угол, опирающийся на диаметр

Ты уже успел заметить, что математики очень любят об одном и том же говорить разными словами? Зачем это им? Понимаешь, язык математики хоть и формальный, но живой, а поэтому, как и в обычном языке, каждый раз хочется сказать так, как удобнее. Ну вот, что такое «угол опирается на дугу» мы уже видели. И представь себе, та же самая картина называется «угол опирается на хорду». На какую? Да конечно на ту, которая стягивает эту дугу!

Смотри:

опирается на дугу   и на хорду   – смотря, как удобнее в конкретном случае сказать.

Когда же опираться на хорду удобнее, чем на дугу?

Ну, в частности, когда эта хорда – диаметр.

Для такой ситуации есть удивительно простое, красивое и полезное утверждение!

Угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Смотри: вот окружность, диаметр   и угол  , который на него опирается.

Какой же центральный угол соответствует углу  ? Ну, конечно,  ! Но он же … равен  ! Правильно, и вот именно поэтому  .

Опять как  . Если интересно, почему же вписанный угол равен половине центрального, и какие углы ещё можно как посчитать, читай следующие «серии»! Удачи!

Основные термины.

Хорошо ли ты помнишь все названия, связанные с окружностью? На всякий случай напомним – смотри на картинки – освежай знания.

Ну, во-первых – центр окружности – такая точка, расстояния от которой до всех точек окружности одинаковые.

Во-вторых – радиус – отрезок, соединяющий центр и точку на окружности.

Радиусов очень много (столько же, сколько и точек на окружности), но длина у всех радиусов – одинаковая.

Иногда для краткости радиусом называют именно длину отрезка «центр – точка на окружности», а не сам отрезок.

А вот что получится, если соединить две точки на окружности? Тоже отрезок?

Так вот, этот отрезок называется «хорда».

Тут есть ещё одно принятое выражение: «хорда стягивает дугу». Вот, здесь на рисунке, например, хорда   стягивает дугу  . А если хорда вдруг проходит через центр, то у неё есть специальное название: «диаметр».

Так же, как и в случае с радиусом, диаметром часто называют длину отрезка, соединяющего две точки на окружности и проходящего через центр. Кстати, а как связаны диаметр и радиус? Посмотри внимательно. Конечно же, радиус равен половине диаметра.

Кроме хорд бывают еще и секущие.

Вспомнили самое простое?

А теперь – названия для углов.

Центральный угол – угол между двумя радиусами.

Естественно, не правда ли? Стороны угла выходят из центра – значит, угол – центральный.

А теперь – вписанный угол

Вписанный угол – угол между двумя хордами, которые пересекаются в точке на окружности.

При этом говорят, что вписанный угол   опирается на дугу (или на хорду)  .

Вот здесь иногда возникают сложности. Обрати внимание – НЕ ЛЮБОЙ угол внутри окружности – вписанный, а только такой, у которого вершина «сидит» на самой окружности.

Смотри на картинку:

Измерения дуг и углов.

Длина окружности. Дуги и углы измеряются в градусах и радианах. Сперва о градусах. Для углов проблем нет – нужно научиться измерить дугу в градусах.

Градусная мера (величина дуги) – это величина (в градусах) соответствующего центрального угла

Что здесь значит слово «соответствующего»? Смотрим внимательно:

Видишь две дуги   и два центральных угла? Ну вот, большей дуге соответствует больший угол (и ничего страшного, что он больше  ), а меньшей дуге соответствует меньший угол.

Итак, договорились: в дуге содержится столько же градусов, сколько в соответствующем центральном угле.

А теперь о страшном – о радианах!

Что же это за зверь такой «радиан»?

Представь себе: радианы – это способ измерения угла … в радиусах!

Угол величиной   радиан – такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Тогда возникает вопрос – а сколько же радиан в развёрнутом угле?

Иными словами: сколько радиусов «помещается» в половине окружности? Или ещё по-другому: во сколько раз длина половины окружности больше радиуса?

Этим вопросом задавались учёные ещё в Древней Греции.

И вот, после долгих поисков они обнаружили, что отношение длины окружности к радиусу никак не хочет выражаться «человеческими» числами вроде    и т.п.

И даже не получается выразить это отношение через корни. То есть, оказывается, нельзя сказать, что половина окружности в   раза или в   раз больше радиуса! Представляешь, как удивительно это было обнаружить людям впервые?! Для отношения длины половины окружности к радиусу на хватило «нормальных» чисел. Пришлось вводить букву  .

Итак,   – это число, выражающее отношение длины полуокружности к радиусу.

Теперь мы можем ответить на вопрос: сколько радиан в развёрнутом угле? В нём   радиан. Именно оттого, что половина окружности в   раз больше радиуса.

Древние (и не очень)  люди на протяжении веков (!) попытались поточнее подсчитать это загадочное число  , получше выразить его (хоть приблизительно) через «обыкновенные» числа. А мы сейчас до невозможности ленивы – нам достаточно двух знаков после занятой,  мы привыкли, что

 

Задумайся, это значит, например, что y окружности с радиусом единица длина приблизительно равна  , а точно эту длину просто невозможно записать «человеческим» числом – нужна буква  . И тогда эта длина окружности окажется равной  . И конечно, длина окружности радиуса   равна  .

Вернёмся к радианам.

Мы выяснили уже, что в развёрнутом угле содержится   радиан.

Исходя из этого, можно пересчитать любые углы «в градусах» на углы «в радианах». Для этого нужно просто решить пропорцию! Давай попробуем. Возьмём угол в  .

Что имеем:

  рад.

  рад.

Значит,  рад., то есть   рад. Таким же образом получается табличка с наиболее популярными углами. 

Итак, осознай и не бойся: если ты видишь букву  или выражение   и т.п., то речь идёт об угле и, по сути, запись через букву    всегда выражает, какую часть от развёрнутого угла составляет тот угол, о котором идёт речь. А для убедительности ещё раз взгляни на табличку

		от  , то есть от
		от  , то есть от
		от  , то есть от
		это и есть
		в   раза больше, чем
		А это   раза по  , то есть

Соотношение между величинами вписанного и центрального углов.

Имеет место удивительный факт:

Величина вписанного угла вдвое меньше, чем величина соответствующего центрального угла.

Посмотри, как это утверждение выглядит на картинке. «Соответствующий» центральный угол такой, у которого концы совпадают с концами вписанного угла, а вершина в центре. И при этом «соответствующий» центральный угол должен «смотреть» на ту же хорду ( ), что и вписанный угол.

Почему же так? Давай разберёмся сначала на простом случае. Пусть одна из хорд проходит через центр. Ведь бывает же так иногда, верно?

Что же тут получается? Рассмотрим  . Он равнобедренный – ведь   и   – радиусы. Значит,   (обозначили их  ).

Теперь посмотрим на  . Это же внешний угол для  ! Вспоминаем, что внешний угол равен сумм двух внутренних, не смежных с ним, и записываем:

 

То есть  ! Неожиданный эффект. Но   и есть центральный угол для вписанного  .

Значит, для этого случая доказали, что центральный угол вдвое больше вписанного. Но уж больно частный случай: правда ведь, далеко не всегда хорда   проходит прямиком через центр? Но ничего, сейчас этот частный случай нам здорово поможет. Смотри: второй случай: пусть центр лежит внутри  .

Давай сделаем вот что: проведём диаметр  . И тогда … видим две картинки, которые уже разбирали в первом случае. Поэтому уже имеем, что

  и  

Но ведь

  и  

Значит,   (на чертеже  , а  )

Ну вот, и остался последний случай: центр вне угла  .

Делаем то же самое: проводим диаметр через точку  . Все то же самое, но вместо суммы – разность.

 , а  

 

Вот и всё!

Давай теперь сформируем два главных и очень важных следствия из утверждения о том, что вписанный угол вдвое меньше центрального.

Следствие 1

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

Иллюстрируем:

Вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу (у нас эта дуга  ) – бесчисленное множество, они могут выглядеть совсем по-разному, но у них у всех один и тот же центральный угол ( ), а значит, все эти вписанные углы равны между собой.

Следствие 2

Угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Смотри:  какой угол является центральным для  ?

Конечно,  . Но он равен  ! Ну вот, поэтому   (а так же ещё множество вписанных углов, опирающихся на  ) и равен  .

Угол между двумя хордами и секущими

А что, если интересующий нас угол НЕ вписанный и НЕ центральный, а, например, такой:

или такой?

Можно ли его как-то выразить всё-таки через какие-то центральные углы? Оказывается, можно. Смотри: нас интересует  .

a)   ( как внешний угол для  ). Но   - вписанный, опирается на дугу   -  .    – вписанный, опирается на дугу   -  .

Значит,  .

Для красоты говорят:

Угол между хордами равен полусумме угловых величин дуг, заключённых в этот угол.

  – так пишут для краткости, но конечно, при использовании этой формулы нужно иметь в виду центральные углы

b) А теперь   - «снаружи»! Как же быть? Да почти так же! Только теперь   (снова применяем свойство внешнего угла для  ). То есть теперь  .

И опять

 

 

И значит,  . Наведём красоту и краткость в записях и формулировках:

Угол между секущими равен полуразности угловых величин дуг, заключённых в этот угол.

 

Ну вот, теперь ты вооружён всеми основными знаниями об углах, связанных с окружностью. Вперёд, на штурм задач!