Окружность и вписанный угол. Визуальный гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Основные термины.

Хорошо ли ты помнишь все названия, связанные с окружностью? На всякий случай напомним – смотри на картинки – освежай знания.

Ну, во-первых – центр окружности – такая точка, расстояния от которой до всех точек окружности одинаковые.

650z1

Во-вторых – радиусотрезок, соединяющий центр и точку на окружности.

650z2

Радиусов очень много (столько же, сколько и точек на окружности), но длина у всех радиусов – одинаковая.

Иногда для краткости радиусом называют именно длину отрезка «центр – точка на окружности», а не сам отрезок.

А вот что получится, если соединить две точки на окружности? Тоже отрезок?

Так вот, этот отрезок называется «хорда».

650z3

Тут есть ещё одно принятое выражение: «хорда стягивает дугу». Вот, здесь на рисунке, например, хорда   стягивает дугу  . А если хорда вдруг проходит через центр, то у неё есть специальное название: «диаметр».

650z4

Так же, как и в случае с радиусом, диаметром часто называют длину отрезка, соединяющего две точки на окружности и проходящего через центр. Кстати, а как связаны диаметр и радиус? Посмотри внимательно. Конечно же, радиус равен половине диаметра.

650z5

Кроме хорд бывают еще и секущие.

650zh6

Вспомнили самое простое?

А теперь – названия для углов.

Центральный угол – угол между двумя радиусами.

Естественно, не правда ли? Стороны угла выходят из центра – значит, угол – центральный.

650z6

А теперь – вписанный угол

Вписанный угол – угол между двумя хордами, которые пересекаются в точке на окружности.

650zh8

При этом говорят, что вписанный угол   опирается на дугу (или на хорду)  .

Вот здесь иногда возникают сложности. Обрати внимание – НЕ ЛЮБОЙ угол внутри окружности – вписанный, а только такой, у которого вершина «сидит» на самой окружности.

Смотри на картинку:

650zh9

650zh10

Измерения дуг и углов.

Длина окружности. Дуги и углы измеряются в градусах и радианах. Сперва о градусах. Для углов проблем нет – нужно научиться измерить дугу в градусах.

650zh11

Градусная мера (величина дуги) – это величина (в градусах) соответствующего центрального угла

Что здесь значит слово «соответствующего»? Смотрим внимательно:

650zh12

Видишь две дуги   и два центральных угла? Ну вот, большей дуге соответствует больший угол (и ничего страшного, что он больше  ), а меньшей дуге соответствует меньший угол.

Итак, договорились: в дуге содержится столько же градусов, сколько в соответствующем центральном угле.

А теперь о страшном – о радианах!

Что же это за зверь такой «радиан»?

Представь себе: радианы – это способ измерения угла … в радиусах!

Угол величиной   радиан – такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Тогда возникает вопрос – а сколько же радиан в развёрнутом угле?

650zh14

Иными словами: сколько радиусов «помещается» в половине окружности? Или ещё по-другому: во сколько раз длина половины окружности больше радиуса?

Этим вопросом задавались учёные ещё в Древней Греции.

И вот, после долгих поисков они обнаружили, что отношение длины окружности к радиусу никак не хочет выражаться «человеческими» числами вроде    и т.п.

И даже не получается выразить это отношение через корни. То есть, оказывается, нельзя сказать, что половина окружности в   раза или в   раз больше радиуса! Представляешь, как удивительно это было обнаружить людям впервые?! Для отношения длины половины окружности к радиусу на хватило «нормальных» чисел. Пришлось вводить букву  .

Итак,   – это число, выражающее отношение длины полуокружности к радиусу.

Теперь мы можем ответить на вопрос: сколько радиан в развёрнутом угле? В нём   радиан. Именно оттого, что половина окружности в   раз больше радиуса.

Древние (и не очень)  люди на протяжении веков (!) попытались поточнее подсчитать это загадочное число  , получше выразить его (хоть приблизительно) через «обыкновенные» числа. А мы сейчас до невозможности ленивы – нам достаточно двух знаков после занятой,  мы привыкли, что

 

Задумайся, это значит, например, что y окружности с радиусом единица длина приблизительно равна  , а точно эту длину просто невозможно записать «человеческим» числом – нужна буква  . И тогда эта длина окружности окажется равной  . И конечно, длина окружности радиуса   равна  .

Вернёмся к радианам.

Мы выяснили уже, что в развёрнутом угле содержится   радиан.

650zh15

Исходя из этого, можно пересчитать любые углы «в градусах» на углы «в радианах». Для этого нужно просто решить пропорцию! Давай попробуем. Возьмём угол в  .

Что имеем:

  рад.

  рад.

Значит,  рад., то есть   рад. Таким же образом получается табличка с наиболее популярными углами. 

   
   
   
   
   
   

Итак, осознай и не бойся: если ты видишь букву  или выражение   и т.п., то речь идёт об угле и, по сути, запись через букву    всегда выражает, какую часть от развёрнутого угла составляет тот угол, о котором идёт речь. А для убедительности ещё раз взгляни на табличку

      от  , то есть от  
      от  , то есть от  
      от  , то есть от  
    это и есть  
      в   раза больше, чем  
    А это   раза по  , то есть  

Соотношение между величинами вписанного и центрального углов.

Имеет место удивительный факт:

Величина вписанного угла вдвое меньше, чем величина соответствующего центрального угла.

650zh16

Посмотри, как это утверждение выглядит на картинке. «Соответствующий» центральный угол такой, у которого концы совпадают с концами вписанного угла, а вершина в центре. И при этом «соответствующий» центральный угол должен «смотреть» на ту же хорду ( ), что и вписанный угол.

Почему же так? Давай разберёмся сначала на простом случае. Пусть одна из хорд проходит через центр. Ведь бывает же так иногда, верно?

650zh17

Что же тут получается? Рассмотрим  . Он равнобедренный – ведь   и   – радиусы. Значит,   (обозначили их  ).

Теперь посмотрим на  . Это же внешний угол для  ! Вспоминаем, что внешний угол равен сумм двух внутренних, не смежных с ним, и записываем:

 

То есть  ! Неожиданный эффект. Но   и есть центральный угол для вписанного  .

650zh18

Значит, для этого случая доказали, что центральный угол вдвое больше вписанного. Но уж больно частный случай: правда ведь, далеко не всегда хорда   проходит прямиком через центр? Но ничего, сейчас этот частный случай нам здорово поможет. Смотри: второй случай: пусть центр лежит внутри  .

650zh19

Давай сделаем вот что: проведём диаметр  . И тогда … видим две картинки, которые уже разбирали в первом случае. Поэтому уже имеем, что

  и  

Но ведь

  и  

Значит,   (на чертеже  , а  )

Ну вот, и остался последний случай: центр вне угла  .

650zh20

Делаем то же самое: проводим диаметр через точку  . Все то же самое, но вместо суммы – разность.

 , а  

 

Вот и всё!

Давай теперь сформируем два главных и очень важных следствия из утверждения о том, что вписанный угол вдвое меньше центрального.

Следствие 1

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

Иллюстрируем:

650zh21

Вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу (у нас эта дуга  ) – бесчисленное множество, они могут выглядеть совсем по-разному, но у них у всех один и тот же центральный угол ( ), а значит, все эти вписанные углы равны между собой.

Следствие 2

Угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Смотри:  какой угол является центральным для  ?

650zh22

Конечно,  . Но он равен  ! Ну вот, поэтому   (а так же ещё множество вписанных углов, опирающихся на  ) и равен  .

Угол между двумя хордами и секущими

А что, если интересующий нас угол НЕ вписанный и НЕ центральный, а, например, такой:

650zh23

или такой?

650zh24

Можно ли его как-то выразить всё-таки через какие-то центральные углы? Оказывается, можно. Смотри: нас интересует  .

a)   ( как внешний угол для  ). Но   - вписанный, опирается на дугу   -  .    – вписанный, опирается на дугу   .

650zh25

Значит,  .

Для красоты говорят:

650zh26

Угол между хордами равен полусумме угловых величин дуг, заключённых в этот угол.

  – так пишут для краткости, но конечно, при использовании этой формулы нужно иметь в виду центральные углы

b) А теперь   - «снаружи»! Как же быть? Да почти так же! Только теперь   (снова применяем свойство внешнего угла для  ). То есть теперь  .

650zh27

И опять

 

 

И значит,  . Наведём красоту и краткость в записях и формулировках:

650zh28

Угол между секущими равен полуразности угловых величин дуг, заключённых в этот угол.

 

Ну вот, теперь ты вооружён всеми основными знаниями об углах, связанных с окружностью. Вперёд, на штурм задач!

 

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене "чашка кофе в месяц", 

А также получить бессрочный доступ к учебнику "YouClever", Программе подготовки (решебнику) "100gia", неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

 

 

 

 

Комментарии

Елена
22 октября 2017

Очень полезная информация. Доступные объяснения. Здорово! Спасибо!

ответить

Александр (админ)
22 октября 2017

Спасибо, Елена! Попробуйте так же наш пробные ОГЭ и ЕГЭ. Он так же хорош.

ответить

Руслан
10 декабря 2019

В разделе "Соотношение между величинами вписанного и центрального углов." при попытке доказать что вписанный угол равен половине центрального угла намутили полную ересь... "проведём диаметр BK"... где на картинке чуть выше записи диаметр ВК? Там есть диаметр ВС, логично что читающий придет к выводу, что написанное здесь и далее будет относиться к картинке ниже, где диаметр ВК таки нарисован, ну тогда сопоставляя написанное и данную картинку мозг начинает кипеть "угол АВС = угол АВК + угол СВК", даже визуально видно, что это невозможно, ты о5 приходишь к выводу, что читая это ты должен смотреть на картинку выше, где отсутствует диаметр ВК, зато присутствует "хорда, проходящая через центр окружности" ВС, которую как бэ отменяется фразой, предшествующей рисунку "пусть центр лежит внутри АВС", но тот кто рисовал этого не понял, поэтому решил на парясь просто не рисовать диаметр ВК, неуверенно придя к выводу что это относится к следующему рисунку... короче походу тот, кто пишет доказательства и тот, кто рисует чертежи - разные люди... хотели как попроще, получилась муть...

ответить

Александр ; (админ)
11 декабря 2019

Спасибо за замечания, Руслан. Действительно тот, кто писал доказательства и тот, кто рисовал - разные люди. Одна математик, вторая - дизайнер. Видимо есть ошибка. Алексей посмотрит и исправит.

ответить

Алексей Шевчук
19 декабря 2019

Да, рисунок был с ошибкой, я исправил.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Привет!

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Если вы хотите им стать, пройдите по ссылке и ознакомьтесь с условиями.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть