Окружность. Вписанный угол. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Основные термины.

Хорошо ли ты помнишь все названия, связанные с окружностью? На всякий случай напомним – смотри на картинки – освежай знания.

Ну, во-первых – центр окружности – такая точка, расстояния от которой до всех точек окружности одинаковые.

650z1

Во-вторых – радиусотрезок, соединяющий центр и точку на окружности.

650z2

Радиусов очень много (столько же, сколько и точек на окружности), но длина у всех радиусов – одинаковая.

Иногда для краткости радиусом называют именно длину отрезка «центр – точка на окружности», а не сам отрезок.

А вот что получится, если соединить две точки на окружности? Тоже отрезок?

Так вот, этот отрезок называется «хорда».

650z3

Тут есть ещё одно принятое выражение: «хорда стягивает дугу». Вот, здесь на рисунке, например, хорда   стягивает дугу  . А если хорда вдруг проходит через центр, то у неё есть специальное название: «диаметр».

650z4

Так же, как и в случае с радиусом, диаметром часто называют длину отрезка, соединяющего две точки на окружности и проходящего через центр. Кстати, а как связаны диаметр и радиус? Посмотри внимательно. Конечно же, радиус равен половине диаметра.

650z5

Кроме хорд бывают еще и секущие.

650zh6

Вспомнили самое простое?

А теперь – названия для углов.

Центральный угол – угол между двумя радиусами.

Естественно, не правда ли? Стороны угла выходят из центра – значит, угол – центральный.

650z6

А теперь – вписанный угол

Вписанный угол – угол между двумя хордами, которые пересекаются в точке на окружности.

650zh8

При этом говорят, что вписанный угол   опирается на дугу (или на хорду)  .

Вот здесь иногда возникают сложности. Обрати внимание – НЕ ЛЮБОЙ угол внутри окружности – вписанный, а только такой, у которого вершина «сидит» на самой окружности.

Смотри на картинку:

650zh9

650zh10

Измерения дуг и углов.

Длина окружности. Дуги и углы измеряются в градусах и радианах. Сперва о градусах. Для углов проблем нет – нужно научиться измерить дугу в градусах.

650zh11

Градусная мера (величина дуги) – это величина (в градусах) соответствующего центрального угла

Что здесь значит слово «соответствующего»? Смотрим внимательно:

650zh12

Видишь две дуги   и два центральных угла? Ну вот, большей дуге соответствует больший угол (и ничего страшного, что он больше  ), а меньшей дуге соответствует меньший угол.

Итак, договорились: в дуге содержится столько же градусов, сколько в соответствующем центральном угле.

А теперь о страшном – о радианах!

Что же это за зверь такой «радиан»?

Представь себе: радианы – это способ измерения угла … в радиусах!

Угол величиной   радиан – такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Тогда возникает вопрос – а сколько же радиан в развёрнутом угле?

650zh14

Иными словами: сколько радиусов «помещается» в половине окружности? Или ещё по-другому: во сколько раз длина половины окружности больше радиуса?

Этим вопросом задавались учёные ещё в Древней Греции.

И вот, после долгих поисков они обнаружили, что отношение длины окружности к радиусу никак не хочет выражаться «человеческими» числами вроде    и т.п.

И даже не получается выразить это отношение через корни. То есть, оказывается, нельзя сказать, что половина окружности в   раза или в   раз больше радиуса! Представляешь, как удивительно это было обнаружить людям впервые?! Для отношения длины половины окружности к радиусу на хватило «нормальных» чисел. Пришлось вводить букву  .

Итак,   – это число, выражающее отношение длины полуокружности к радиусу.

Теперь мы можем ответить на вопрос: сколько радиан в развёрнутом угле? В нём   радиан. Именно оттого, что половина окружности в   раз больше радиуса.

Древние (и не очень)  люди на протяжении веков (!) попытались поточнее подсчитать это загадочное число  , получше выразить его (хоть приблизительно) через «обыкновенные» числа. А мы сейчас до невозможности ленивы – нам достаточно двух знаков после занятой,  мы привыкли, что

 

Задумайся, это значит, например, что y окружности с радиусом единица длина приблизительно равна  , а точно эту длину просто невозможно записать «человеческим» числом – нужна буква  . И тогда эта длина окружности окажется равной  . И конечно, длина окружности радиуса   равна  .

Вернёмся к радианам.

Мы выяснили уже, что в развёрнутом угле содержится   радиан.

650zh15

Исходя из этого, можно пересчитать любые углы «в градусах» на углы «в радианах». Для этого нужно просто решить пропорцию! Давай попробуем. Возьмём угол в  .

Что имеем:

  рад.

  рад.

Значит,  рад., то есть   рад. Таким же образом получается табличка с наиболее популярными углами. 

   
   
   
   
   
   

Итак, осознай и не бойся: если ты видишь букву  или выражение   и т.п., то речь идёт об угле и, по сути, запись через букву    всегда выражает, какую часть от развёрнутого угла составляет тот угол, о котором идёт речь. А для убедительности ещё раз взгляни на табличку

      от  , то есть от  
      от  , то есть от  
      от  , то есть от  
    это и есть  
      в   раза больше, чем  
    А это   раза по  , то есть  

Соотношение между величинами вписанного и центрального углов.

Имеет место удивительный факт:

Величина вписанного угла вдвое меньше, чем величина соответствующего центрального угла.

650zh16

Посмотри, как это утверждение выглядит на картинке. «Соответствующий» центральный угол такой, у которого концы совпадают с концами вписанного угла, а вершина в центре. И при этом «соответствующий» центральный угол должен «смотреть» на ту же хорду ( ), что и вписанный угол.

Почему же так? Давай разберёмся сначала на простом случае. Пусть одна из хорд проходит через центр. Ведь бывает же так иногда, верно?

650zh17

Что же тут получается? Рассмотрим  . Он равнобедренный – ведь   и   – радиусы. Значит,   (обозначили их  ).

Теперь посмотрим на  . Это же внешний угол для  ! Вспоминаем, что внешний угол равен сумм двух внутренних, не смежных с ним, и записываем:

 

То есть  ! Неожиданный эффект. Но   и есть центральный угол для вписанного  .

650zh18

Значит, для этого случая доказали, что центральный угол вдвое больше вписанного. Но уж больно частный случай: правда ведь, далеко не всегда хорда   проходит прямиком через центр? Но ничего, сейчас этот частный случай нам здорово поможет. Смотри: второй случай: пусть центр лежит внутри  .

650zh19

Давай сделаем вот что: проведём диаметр  . И тогда … видим две картинки, которые уже разбирали в первом случае. Поэтому уже имеем, что

  и  

Но ведь

  и  

Значит,   (на чертеже  , а  )

Ну вот, и остался последний случай: центр вне угла  .

650zh20

Делаем то же самое: проводим диаметр через точку  . Все то же самое, но вместо суммы – разность.

 , а  

 

Вот и всё!

Давай теперь сформируем два главных и очень важных следствия из утверждения о том, что вписанный угол вдвое меньше центрального.

Следствие 1

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

Иллюстрируем:

650zh21

Вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу (у нас эта дуга  ) – бесчисленное множество, они могут выглядеть совсем по-разному, но у них у всех один и тот же центральный угол ( ), а значит, все эти вписанные углы равны между собой.

Следствие 2

Угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Смотри:  какой угол является центральным для  ?

650zh22

Конечно,  . Но он равен  ! Ну вот, поэтому   (а так же ещё множество вписанных углов, опирающихся на  ) и равен  .

Угол между двумя хордами и секущими

А что, если интересующий нас угол НЕ вписанный и НЕ центральный, а, например, такой:

650zh23

или такой?

650zh24

Можно ли его как-то выразить всё-таки через какие-то центральные углы? Оказывается, можно. Смотри: нас интересует  .

a)   ( как внешний угол для  ). Но   - вписанный, опирается на дугу   -  .    – вписанный, опирается на дугу   .

650zh25

Значит,  .

Для красоты говорят:

650zh26

Угол между хордами равен полусумме угловых величин дуг, заключённых в этот угол.

  – так пишут для краткости, но конечно, при использовании этой формулы нужно иметь в виду центральные углы

b) А теперь   - «снаружи»! Как же быть? Да почти так же! Только теперь   (снова применяем свойство внешнего угла для  ). То есть теперь  .

650zh27

И опять

 

 

И значит,  . Наведём красоту и краткость в записях и формулировках:

650zh28

Угол между секущими равен полуразности угловых величин дуг, заключённых в этот угол.

 

Ну вот, теперь ты вооружён всеми основными знаниями об углах, связанных с окружностью. Вперёд, на штурм задач!

Комментарии

Елена
22 октября 2017

Очень полезная информация. Доступные объяснения. Здорово! Спасибо!

ответить

Александр (админ)
22 октября 2017

Спасибо, Елена! Попробуйте так же наш пробные ОГЭ и ЕГЭ. Он так же хорош.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok