Рациональные числа

Рациональные числа – это целые и дробные числа (простые дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби).

Рациональные числа – подробнее

С простыми дробями понятно, а конечными десятичными называют дроби, у которых после запятой какое-то определенное число знаков, даже если их много.

А вот бесконечные периодические дроби – это дроби с периодически повторяющимися знаками после запятой. Не все обыкновенные дроби можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Любое рациональное число можно представить как дробь, с числителем принадлежащим целым числам \( \displaystyle  \left( \ldots -2,-1,\text{ }0,\text{ }1\ldots \right)\), а знаменателем – натуральным \( \displaystyle  (1, 2, 3…)\).

Так при делении одного на три десятичная дробь получится бесконечной, но знаки после запятой будут повторяться, \( \displaystyle  1/3=0,333333\)… или как это еще записывают \( \displaystyle  0,(3)\), читается это как «ноль целых и три в периоде».

А бывает и так \( \displaystyle  85/63=1,(349206)\).

Так вот, периодические десятичные дроби тоже относятся к рациональным числам. Но не относятся к ним бесконечные непериодические десятичные дроби.

Это дроби, типа числа \( \displaystyle  \pi \) \( \displaystyle  (3,1415926535…)\), которые имеют бесконечное число знаков после запятой.

Такие дроби называются иррациональными. Так же к ним относятся корни, например: \( \displaystyle  \sqrt{3}=1,732\).

Подведем итог:

Пять видов иррациональных чисел

  • непериодические десятичные дроби \( \displaystyle  (22,353335333335…)\);
  • \( \displaystyle  \sqrt{n}\) для любого натурального \(\displaystyle n\), не являющегося точным квадратом;
  • \( \displaystyle  {{e}^{x}}\) для любого рационального, где \( \displaystyle  e =2,7182818…\);
  • \( \displaystyle  ln\text{ }x\) для любого положительного рационального; \(\displaystyle\text{x}\ne \text{1}\)
  • \( \displaystyle  \pi \), а также \( \displaystyle  {{\pi }^{n}}\) для любого целого \(\displaystyle\text{n}\ne \text{0}\).

Все остальные смело можешь считать рациональными!

Пять видов рациональных чисел

Попробуй, отличи, какие числа тут рациональные, а какие – нет:

  • \( \displaystyle  3/5\)
  • \( \displaystyle  3\pi /2\)
  • \( \displaystyle  0,18\)
  • \( \displaystyle  0,666\ldots \)
  • \( \displaystyle  4,10110011100011110000\ldots \)
  • \( \displaystyle  \sqrt{8}\)
  • \( \displaystyle  \sqrt{9}\)

Ответы:

  • Рациональное
  • Иррациональное
  • Рациональное
  • Рациональное
  • Иррациональное
  • Иррациональное
  • Рациональное

Для закрепления пройденного материала предлагаю тебе прорешать еще несколько примеров.

  • \( \displaystyle  \frac{3}{5}:2\frac{2}{3}+3\frac{3}{8}-\frac{7}{5}\)
  • \( \displaystyle  \frac{3}{2}+1\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}-1\frac{2}{3}\)
  • \( \displaystyle  0,75\cdot 2-0,2:\frac{1}{5}\)

Ответы

  • \(\displaystyle\frac{3}{5}:2\frac{2}{3}+3\frac{3}{8}-\frac{7}{5}=\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{8}+\frac{27}{8}-\frac{7}{5}=\frac{9}{40}+\frac{135}{40}-\frac{56}{40}=\)

\( \displaystyle  \displaystyle=\frac{88}{40}=\frac{11}{5}=2\frac{1}{5}\)

  • 2. \( \displaystyle  \frac{3}{2}+1\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}-1\frac{2}{3}=\frac{3}{2}+\frac{9}{10}-\frac{5}{3}=\frac{45}{30}+\frac{27}{30}-\frac{50}{30}=\frac{22}{30}=\frac{11}{15}\)
  • \( \displaystyle  0,75\cdot 2-0,2:\frac{1}{5}=1,5-1=0,5\)

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук – ведущий курсов

  • тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
  • автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
  • закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
  • репетиторский стаж – 19 лет (c 2003 года);
  • в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
  • отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.