Коротко о главном Начальный уровень

Равносторонний треугольник. Коротко о главном.

Равносторонний треугольник - треугольник, у которого все стороны равны:  .

  • В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны  .
  • В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины
  • Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров равностороннего треугольника совпадают.
  • Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают: точка  .
  • В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной:  .

В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны  :

  • Высота=медиане=биссектрисе 
  • Радиус описанной окружности 
  • Радиус вписанной окружности 
  • Площадь 
  • Периметр 
Равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник - треугольник, у которого все стороны равны.

Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?

Прежде чем говорить о свойствах напомним, что у нас ты можешь сдать пробный ЕГЭ в онлайне и получить результаты немедленно.

Равносторонний треугольник. Свойства.

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны  .

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме  , значит, каждый по  .

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник:

Центр равностороннего треугольника. Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром! В равностороннем треугольнике оказалось не   особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Итак, ещё раз:

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.
Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной.
Описанная и вписанная окружности в равностороннем треугольнике.  

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Посмотри на рисунок: точка   – центр треугольника. Значит,   – радиус описанной окружности (обозначили его  ), а   – радиус вписанной окружности (обозначим  ). Но ведь точка   – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении  , считая от вершины. Поэтому  , то есть  .

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.

Равносторонний треугольник. Высота

Равносторонний треугольник. Высота.  

Почему?

Рассмотрим   – он прямоугольный.

 .

Равносторонний треугольник. Радиус описанной окружности

Равносторонний треугольник. Радиус описанной окружности.  

А это почему? Мы уже выяснили, что точка   – не только центр описанной окружности, но и точка пересечения медиан. Значит,  .

Величину   мы уже находили. Теперь подставляем:

 

Равносторонний треугольник. Радиус вписанной окружности

Равносторонний треугольник. Радиус вписанной окружности.  

Это уже теперь должно быть совсем ясно

 .

Ну вот, все основные сведения обсудили. Конечно, можно задавать сотни вопросов про всякие длины всяких отрезков в равностороннем треугольнике. Но главное, что следует иметь в виду, решая задачки о равностороннем треугольнике, – это то, что все его углы известны – равны   и все высоты являются и биссектрисами, и медианами, и серединными перпендикулярами.

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть