Коротко о главном Средний уровень

Теорема синусов. Коротко о главном.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Для любого  :

 

(здесь   – радиус описанной окружности)

Теорема синусов: формулировка

Что же нам сообщает теорема синусов? Вероятнее всего, что-нибудь о синусах, не правда ли? Давай сформулируем.

Теорема синусов: формулировка

Для любого  

 

(здесь   – радиус описанной окружности).

Первый вопрос, который возникает при взгляде на эту формулу: «Но при чём же здесь вообще  ?». Вот давай именно с него и начнём.

Теорема синусов: доказательство

Тебе уже известно, что около каждого треугольника можно описать окружность. Мы это и сделаем. А потом проведём диаметр  . Пусть этот диаметр пересекает окружность в точке  . Давай рассмотрим  . Что же это за треугольник?

Теорема синусов: доказательство

Ну, конечно же, прямоугольный, ведь в   угол   опирается на диаметр   (вспоминаем тему «Окружность. Вписанный угол»).

Но и кроме того,   в   равен   в  , потому что эти углы опираются на одну дугу   (опять вспоминаем ту же тему…).

А теперь просто запишем выражение для синуса   в прямоугольном    .

Но ведь   – диаметр  , и  .

Вспомним, что   и получим  .

Вот и всё! Провели одну линию, рассмотрели один прямоугольный треугольник – и доказательство готово.

Но как же быть с углами   и  ? – спросишь ты. Да, точно также. Давай рассмотрим  .

Теорема синусов: доказательство 2.

Теперь проведём диаметр   и соединим точки   и  . Как-то тут немного по-другому получается, ты заметил?  , конечно, прямоугольный, так как   опирается на диаметр  . Но теперь  , потому что четырехугольник   – вписанный. (Надеюсь, ты ещё помнишь, что для угла   у нас было  .) В чём же дело? Ну, просто   – тупой, поэтому и получилось такое различие. Но, к счастью, для теоремы синусов это различие не играет роли. Сейчас мы в этом убедимся. Итак, запишем выражение для синуса   в прямоугольном  .

 ; то есть  

Но   (читаем или вспоминаем формулы приведения в тригонометрии.)

Значит,  .

Ну вот, мы рассмотрели и острый, и тупой угол. Если ты все ещё беспокоишься об угле  , то проделай все те же действия самостоятельно и убедись, что все получается. Обрати внимание, что мы доказали «четверное равенство».

 

в такой последовательности:

 

А теперь внимание! Обсудим пользу этой теоремы.

Понимаешь, теорема синусов – единственный разумный способ для нахождения радиуса описанной окружности.

Почему я так говорю? А ты вспомни сам: ну где ещё в формулах участвует  ?! Возможно, правда, ты знаком с формулой  , то есть  , но!

Давай – ка сравним:

Из теоремы синусов:  

Из формулы площади:  .

Чувствуешь разницу? В первой формуле нужно знать только одну сторону и один угол, а во второй формуле – все стороны, да ещё и площадь! Ну и какую формулу легче применить? А кроме того, открою тебе маленький секрет: формула   как раз и доказывается именно с применением теоремы синусов. Чтобы убедиться в этом, читай темы «Площадь круга и его частей, Площадь треугольника и четырехугольника». Итак, теорема синусов бывает полезна и для нахождения синуса какого – то угла, если известны две стороны и один угол, но в основном теорема синусов – главный инструмент для нахождения радиуса описанной окружности. Запомни это очень хорошо!

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть