Тригонометрическая окружность. Коротко о главном.

Главный инструмент тригонометрии - это тригонометрическая окружность, она позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

Есть два способа измерять углы.

1. Через градусы
2. Через радианы

 

Чтобы пересчитать угол из градусов в радианы, нужно применить вот такую незамысловатую формулу:

 

И наоборот: от радиан к градусам:

 

 

Чтобы найти синус и косинус угла нужно:

1. Провести единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла.
2. Найти точку пересечения этого угла с окружностью.
3. Её «иксовая» координата – это косинус искомого угла.
4. Её «игрековая» координата – это синус искомого угла.

Формулы приведения

Это формулы, позволяющие упростить сложные выражения тригонометрической функции.

Эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу:

Привет! Сегодня я научу тебя делать универсальную шпаргалку по тригонометрии. Она называется

Тригонометрическая окружность.

Ты только оцени преимущества. Все, что тебе надо знать:

1. Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс (острого угла в прямоугольном треугольнике)
2. Теорема Пифагора
3. Система координат

А что же ты получаешь взамен?

1. Обобщение всех тригонометрических функций на произвольные (абсолютно произвольные!) положительные углы (отрицательные – во второй части статьи)
2. Градусная и радианная меры углов, связь между ними
3. Знаки тригонометрических функций для всех углов по четвертям
4. Способ вычисления значений тригонометрических функций (не нужно помнить никаких таблиц, вообще никаких!)

Тебе не кажется, что, приложив совсем немного своих знаний, ты приобретешь огромное количество новых умений? Самое главное: если ты поймешь, что же такое эта самая тригонометрическая окружность и с чем ее едят, то вся дальнейшая тригонометрия тебе покажется не более чем легкой прогулкой.

 

Открою секрет: с помощью окружности даже можно решать уравнения и неравенства!

 

 

Итак, давай приступим. Как я уже говорил, все, что тебе нужно знать – это что такое синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике. Да, и теорему Пифагора тоже (куда уж нам без нее). Вот картинка, которая кратко напомнит тебе, что такое эти синусы, косинусы и т. д.

Также давай вспомним основные соотношения между синусами, косинусами, тангенсами одного и второго острых углов прямоугольного треугольника:

 

 

 

 

То есть: синус одного острого угла равен косинусу другого (и наоборот), тангенс одного острого угла равен котангенсу другого (и наоборот). Данные утверждения были доказаны в других статьях. Мы же здесь с тобой уже будем почивать на лаврах, пожиная эти плоды.

 

Тригонометрическая окружность и ее построение

 

А теперь сделай вот что: возьми-ка в руки циркуль и нарисуй любую (самую любую, но лучше достаточно немаленькую) окружность. Получилось?

Ну да ладно, задачка не самая сложная. Теперь ты не потерял ту точку, в которой у тебя был центр (куда ты прикладывал острую ножку циркуля)? Я вот у себя потерял, растяпа! Ну ладно, найду! А что пока делать тебе? А вот что: Проведи через эту точку две линии, которые пересекаются «прямым крестиком», то есть под прямым углом. И пусть их точка пересечения – это центр (который ты не потерял!) окружности. Нарисовал? У меня получилось что-то вроде вот этого.

Правда я чуть-чуть поторопился и сразу «обозвал» эти прямые   и   и точку пересечения через  , а что такое в таком случае  ? Это радиус нашей окружности. Как называлась наша тема? Единичная окружность. Тогда будем считать ( но не будем так рисовать!), что  . А рисовать мы так не будем, потому что на такой крошечной картинке ты ничего не разберешь! Ты же понимаешь, что когда инженеры проектируют самолеты, скажем, они не рисуют его в натуральную величину? Так и мы не будем рисовать единичную окружность в самом деле единичной. Это нам нужно исключительно для удобства. Теперь отмечаем:  . Что же мы с тобой на самом деле сделали? А вот что:

мы поместили нашу окружность в систему координат  , сделав центр окружности началом координат!

Это позволит изучать свойства такой окружности уже не с геометрической, а с математической точки зрения. Этот подход был придуман хитрым математиком и философом Рене Декартом еще в 17 веке! Перегнать фигуру в цифры, каково, а? Но допустим, мы поместили нашу окружность в координаты. В скольких точках она пересекается с осями системы координат? В  . Вот они:

Эти точки   имеют координаты:

 ;  ;  ;  .

Теперь вспомни, как называются области, на которые этот «координатный крестик» делит всю плоскость? Они называются координатные четверти. Тогда посмотри на рисунок. Наша окружность тоже оказалась разрезанной на 4 равные дольки. Давай пронумеруем каждую из этих долек против часовой стрелки:

Ты уже можешь догадаться, как называются эти самые дольки:

1 четверть, 2 четверть, 3 четверть, 4 четверть

(Прямо как четверти в школе!).

 

Углы на тригонометрической окружности

 

Теперь давай сделаем еще вот что. Снова посмотрим на предыдущую картинку. Чему на ней равен  ? Он равен  . Также, как и  , как и угол  , и угол  .

 

Тогда чему равна их сумма? Она равна  . Вместе же эти 4 угла составляют всю окружность целиком!

Градусная мера окружности равна  !

Что еще можно вытянуть? А вот что:

 

 

Отметим эти значения также на нашей окружности:

Однако, ты нередко можешь увидеть и вот такую картинку:

Где вместо привычных нам градусов появляются некие буковки «пи»   с цифрами. В чем же тут дело, кто прав и кто виноват? Ну так вот, кто прав, кто виноват, решать, увы, не нам. Но чтобы «воз не был поныне там», нам нужно уделить этому моменту пару минут времени. В самом деле, есть два способа измерять углы.

1. Через градусы
2. Через радианы

Как измерять углы через градусы мы все знаем. Это нам привычно. Однако, в некоторых случаях их измеряют по-другому (как в градуснике есть несколько шкал: цельсий, кельвин, фаренгейт и т. д.) а именно, через радианы. Для того, чтобы перейти от одной формы записи к другой, используется вот такое основное соотношение:

 

И все, больше знать ничего не надо! По пропорции ты легко получишь, что для того, чтобы пересчитать угол из градусов в радианы, нужно применить вот такую незамысловатую формулу:

 

И наоборот: от радиан к градусам:

 

Ты должен уметь ориентироваться и в той, и в другой форме записи. Потренируйся на следующих примерах:

1. Перевести угол в   градусов в радианы
2. Перевести угол   радиан в градусы
3. Перевести угол в   градусов в радианы
4. Перевести угол в   радиан в градусы
5. Перевести угол в   градусов в радианы
6. Перевести угол в   радиан в градусы
7. Перевести угол в   градусов в радианы

Я сделаю только первые два:

1.  , тогда угол в   градусов равен углу в   радиан
2.  , тогда угол в   радиан равен углу в   градусов…

Все очень просто, не так ли? Остальные значения ты можешь найти в следующей таблице:

Так что впредь не удивляйся, когда ты увидишь вместо привычных градусов углы в радианах. Теперь ты знаешь, что это такое, и с чем его едят!

Подведем предварительные, но очень важные итоги:

1. В первой четверти лежат углы от   до   градусов (от   до   радиан)
2. Во второй четверти лежат углы от   до   градусов (от   до   радиан)
3. В третьей четверти лежат углы от   до   градусов (от   до   радиан)
4. В четвертой четверти лежат углы от   до   градусов (от   до   радиан)

 

Синус, косинус, тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

 

Но мы с тобой итак слишком увлеклись. Ты давно уже, наверное, заждался обещанных синусов и косинусов на тригонометрической окружности. Не смею более отвлекаться! Давай сделаем вот что: совместим два знакомых нам объекта: тригонометрическую окружность (пока в том виде, в котором она у нас есть) и прямоугольный треугольник. Что нам нужно, чтобы наш треугольник «целиком влез» в окружность? Его гипотенуза должна быть не более единицы. Пусть же она у нас в точности будет равна единице. Совместим мы их вот так:

Я нарисовал прямоугольный треугольник с центром в начале координат и гипотенузой равной  . Это так потому, что окружность-то у меня единичная! Тогда по определению синуса и косинуса:

 

 

А что же такое отрезки   и  ? Чему равны их длины? Смотри, сейчас будет самое главное: мы взяли угол   и провели луч, соединяющий этот угол с точкой на окружности. Обозначим эту точку через  . Пусть   имеет координаты  . Тогда длина отрезка   равна  , а длина отрезка  –равна  . Но мы с тобой помним, что  ,  , тогда:

 

 

Ух ты! Это надо еще раз обдумать, что же мы такое получили. Давай проговорим еще раз: мы выбрали некоторый угол   и хотим найти его синус и косинус. Что мы делаем?

1. Проводим единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла
2. Ищем точку пересечения нашего угла с окружностью
3. Её «иксовая» координата – это косинус нашего угла
4. Её «игрековая» координата – это синус нашего угла

Вот и все! Теперь синус и косинус искать стало намного проще! Допустим, мы хотим найти синус, косинус   градусов.

1. Отмечаем   градусов на окружности и «достраиваем» этот угол до треугольника (как показано на рисунке выше). Как найти   и  ?

2. Да очень просто: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в   градусов равен половине гипотенузы (это известный факт из геометрии 7 класса). Так как гипотенуза равна  , то противолежащий ей катет равен  , откуда:

 

Что касается косинуса: для этого нам потребуется заметить, что выполняется тривиальное утверждение (основное тригонометрическое тождество):

 

Как ты думаешь, откуда оно берется? Да это же пресловутая теорема Пифагора! Наши катеты в треугольничке равны   и  , которые в свою очередь совпадают с   и  . Гипотенуза в треугольнике равна  . Тогда:

  или, что то же самое,

 

Эта формула позволит по известному синусу вычислить неизвестный косинус и наоборот. В частности, если:

  и  , то

 

 

 

Теперь нужно выбрать знак. Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла   градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

 

Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов:   и  

Можно схитрить: в частности для угла в   градусов. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен   градусам, то второй –   градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:

 

 

Тогда так как  , то и  . Так как  , то и  . C   градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен   градусам, то и другой тоже равен   градусам, а значит такой треугольник равнобедренный. Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус. Тогда:

 

 

Откуда:  

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в   градусов и   градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

 ,  ,  ,  .

Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:

 ,  

Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти. Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса   градусов. Это неспроста! В частности:

 

Поэтому мы с тобой будем считать, что тангенс   градусов и котангенс нуля просто-напросто не определены!

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

1. Угол лежит в пределах от   до   градусов
2. Угол больше   градусов

Вообще говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим в другой статье. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали. Теперь же пусть наш угол больше   градусов и не больше чем  . Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти. Как мы поступаем? Да точно так же! Давай рассмотрим вместо вот такого случая

Вот такой:

То есть рассмотрим угол  , лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него? У точки  , которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты   и  . Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен! Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника. Кстати, подумай, у каких углов косинус равен  ? А у каких   равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!). Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой. Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Синус – это игрек Косинус – это икс Тангенс – это синус деленный на косинус Котангенс – это косинус деленный на синус

Давай мы с тобой немного потренируемся. Совсем простые задачки:

Выяснить, какой знак имеют следующие величины:

1.  
2.  

Проверим?

1.   градусов – это угол, больший   и меньший  , а значит лежит в 3 четверти. Нарисуй любой угол в 3 четверти и посмотри, какой у него игрек. Он окажется отрицательным. Тогда  .
     градусов – угол 2 четверти. Синус там положительный, а косинус – отрицательный. Плюс делить на минус – будет минус. Значит  .
     градусов – угол, больший   и меньший  . Значит, он лежит в 4 четверти. У любого угла четвертой четверти «икс» будет положительным, значит  
2. C радианами работаем аналогично:   это угол второй четверти (так как   и  . Синус второй четверти положительный.
    .
    , это угол четвертой четверти. Там косинус положительный  .
     – угол снова четвертой четверти. Там косинус положительный, а синус – отрицательный. Тогда тангенс будет меньше нуля:  

Быть может, тебе сложно определять четверти по радианам. В таком случае, ты всегда можешь перейти к градусам. Ответ, разумеется, будет точно таким же. Теперь я хотел бы очень кратко остановиться вот еще на каком моменте. Давай снова вспомним основное тригонометрическое тождество.

 

Как я уже говорил, из него мы можем выразить синус через косинус или наоборот:

 

 

На выбор знака же будет влиять только та четверть, в которой находится наш угол альфа. На последние две формулы существует масса задач в ЕГЭ, например, вот таких:

Задача

Най­ди­те  , если   и  .

На самом деле, это задача на четверть! Смотри, как она решается:

Решение:

Так как  , то подставим сюда значение  , тогда  . Теперь дело за малым: разобраться со знаком. Что нам для этого нужно? Знать, в какой четверти находится наш угол. По условию задачи:  . Какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса в четвертой четверти? Косинус в четвертой четверти положительный. Тогда и нам остается выбрать знак «плюс» перед  .  , тогда  .

Я не буду сейчас подробно останавливаться на таких задачах, их подробный разбор ты можешь найти в статье «формулы тригонометрии». Я лишь хотел указать тебе на важность того, какой знак принимает та или иная тригонометрическая функция в зависимости от четверти.

 

Углы больше   градусов

 

Последнее, что я бы хотел отметить в этой статье – это как быть с углами, большими чем   градусов? Что это такое и с чем это можно есть, чтобы не подавиться? Возьму, я скажем, угол в   градусов (  радиан) и пойду от него против часовой стрелки…

На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность. Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг (  градусов или   радиан)? Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!

Это же, конечно, справедливо и для любого другого угла:

Взяв произвольный угол   и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол  .

Что же нам это даст? А вот что: если  , то

 ,  , откуда окончательно получим:

 

 

Для любого целого  . Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом  . Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол. Например:

Найти знак:

 ,  ,  ,  

Проверяем:

1. В   градусов умещается   раза по   градусов ( градусов):
   осталось   градусов. Это угол 4 четверти. Там синус отрицательный, значит  
2.  .   градусов. Это угол 3 четверти. Там косинус отрицательный. Тогда  
3.  .  . Так как  , то   - угол первой четверти. Там косинус положителен. Тогда cos 
4.  .  . Так как  , то наш угол лежит во второй четверти, где синус положительный.  

Аналогичным образом мы можем поступать для тангенса и котангенса. Однако на самом деле с ними еще проще: они также являются периодическими функциями, только вот период у них в 2 раза меньше:

 

 

Итак, ты понял что такое тригонометрическая окружность и для чего она нужна.

Но у нас осталось еще очень много вопросов:

1. А что такое отрицательные углы?
2. Как вычислять значения тригонометрических функций в этих углах
3. Как по известным значениям тригонометрических функций 1 четверти искать значения функций в других четвертях (неужто надо зубрить таблицу?!)
4. Как с помощью круга упрощать решения тригонометрических уравнений?

На всем этом я не остановился здесь с вполне корыстной целью. Я хочу, чтобы ты прочитал и другие статьи, посвященные тригонометрическому кругу. Так что мы с тобой не прощаемся!

 

Лучшие ресурсы на тему "Тригонометрическая окружность"

 

1. Тригонометрический круг.  -  Если ты привык воспринимать информацию визуально, вот тебе прекрасное видео от Анны Георгиевны Малковой. 6 минут твоего времени и ты сможешь решать многие задачи гораздо быстрее и без ошибок!
2. Числовая окружность №1. -  Если ты все пропустил или ничего не понял в школе по этой теме, вот тебе 3 видео от Андрея Андреевича. Более подробно, чем у Анны Георгиевны: 13 минут...  Но посмотри на благодарные комментарии  тех, кто учился по этому видео и ты все поймешь.
3. Числовая окружность #2. -   Продолжение темы от Андрея Андреевича.
4. Числовая окружность №3. - И еще продолжение от Андрея Андреевича.

Подведение итогов:

 

• Ты научился делать универсальную шпору по тригонометрии.
• Ты научился решать задачи намного легче и быстрее и, самое главное, без ошибок.
• Ты понял, что тебе не надо зубрить никакие таблицы и вообще мало что нужно зубрить!

 

Теперь я хочу услышать тебя внизу в комментариях!

 

• Что тебе понравилось? Что не понравилось?
• Может быть ты нашел ошибку?
• Или знаешь другой хороший материал на эту тему? Приведи, пожалуйста, ссылку.

 

А здесь ты можешь скачать весь текст "Тригонометрическая окружность. Начальный уровень" в pdf формате:

 

 

 

 

Ну что же, в этой статье мы с тобой продолжим изучение тригонометрической окружности и обсудим следующие моменты:

1. Что такое отрицательные углы?
2. Как вычислять значения тригонометрических функций в этих углах?
3. Как по известным значениям тригонометрических функций 1 четверти искать значения функций в других четвертях?
4. Что такое ось тангенсов и ось котангенсов?

Никаких дополнительных знаний, кроме как базовых навыков работы с единичной окружностью (предыдущая статья) нам не понадобится. Ну что же, давай приступим к первому вопросу: что такое отрицательные углы?

Отрицательные углы

Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:

Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности: Мы шли от положительного направления оси   против часовой стрелки:

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный  . Аналогичным образом мы строили все углы. Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси   по часовой стрелке. Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными:

На следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку:

В целом правило можно сформулировать вот так:

• Идем против часовой стрелки – получаем положительные углы
• Идем по часовой стрелке – получаем отрицательные углы

Схематично правило изображено вот на этом рисунке:

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда – отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть. Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном. Посмотри на следующую картинку:

Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях. Что мы с тобой видим? А вот что:

• Синусы у углов   и   противоположны по знаку! Тогда если

   , то  
   

• Косинусы у углов   и   совпадают! Тогда если

   ,то и  
   

• Так как  , то:

   

• Так как  , то:

 

Таким образом, мы всегда можем избавиться от отрицательного знака внутри любой тригонометрической функции: либо просто уничтожив его, как у косинуса, либо поставив его перед функцией, как у синуса, тангенса и котангенса. Кстати, вспомни-ка, как называется функция  , у которой для любого допустимого   выполняется: ? Такая функция называется нечетной. А если же для любого допустимого   выполняется:  ? То в таком случае функция называется четной. Таким образом, мы с тобой только что показали, что:

Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная.

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей. Можно ли это сделать? Конечно, можно! У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый – строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти), а второй – запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей. Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:

Итак, данный способ (или правило) называется - формулы приведения.

Формулы приведения

Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу (она между прочим содержит 98 чисел!) :

если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел):

То есть ты сможешь не забивать себе голову совершенно ненужными 78 числами! Пусть, например, нам нужно вычислить  . Ясно, что в маленькой таблице такого нет. Что же нам делать? А вот что:

Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

1. Синус и косинус имеют период   (  градусов), то есть

    
    

   Тангенс (котангенс) имеют период   (  градусов)

    
    
     – любое целое число

2. Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

    
    
    

Первое утверждение мы доказали с тобой в предыдущей статье, а справедливость второго установили совсем недавно. Непосредственно правило приведения выглядит вот так:

1. Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул (2). Например:

    ,
    .

2. Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды:   (по   градусов), а для тангенса –   (  градусов). Например:

      

3. Если оставшийся «уголок» меньше   градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице».
4. Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол  : это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!
5. Представляем угол   в одной из следующих форм:

     (если во второй четверти)
     (если во второй четверти)
     (если в третьей четверти)
     (если в третьей четверти)
     (если в четвертой четверти)
     (если в четвертой четверти)

   так, чтобы оставшийся угол   был больше нуля и меньше   градусов. Например:

    
    
    
    
    
   ...

   В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

6. Теперь смотрим, что у нас получилось: если ты выбрал запись через   или   градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь   или   и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла. Если же ты выбрал запись через   или   градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс – на тангенс.
7. Ставим перед получившимся выражением знак из пункта 4.

Давай продемонстрируем все вышесказанное на примерах:

1. Вычислить  
2. Вычислить  
3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:  

Начнем по порядку:

1. Действуем согласно нашему алгоритму. Выделяем целое число кругов для  :

    

   В общем, делаем вывод, что в угол   помещается целиком 5 раз по  , а сколько осталось? Осталось  . Тогда

    

   Ну вот, лишнее мы отбросили. Теперь разбираемся со знаком.   лежит в 4 четверти. Синус четвертой четверти имеет знак «минус», его я и не должен забыть поставить в ответе. Далее, представляем   согласно одной из двух формул пункта 5 правил приведения. Я выберу:  

    

   Теперь смотрим, что получилось: у нас случай с   градусами, тогда отбрасываем   и синус меняем на косинус. И ставим перед ним знак «минус»!

    

     градусов – угол в первой четверти. Мы знаем (ты мне обещал выучить малую таблицу!!) его значение:

    

   Тогда получим окончательный ответ:

    

   Ответ:  

2.   все то же самое, но вместо градусов – радианы. Ничего страшного. Главное помнить, что

    

   Но можно и не заменять радианы на градусы. Это вопрос твоего вкуса. Я не буду ничего менять. Начну опять-таки с отбрасывания целых кругов:

    

   Отбрасываем   - это два целых круга. Осталось вычислить  . Данный угол находится в третьей четверти. Косинус третьей четверти отрицательный. Не забудем поставить знак «минус» в ответе.   можно представить как  . Снова вспоминаем правило: у нас случай «целого» числа   (  или  ), тогда функция не меняется:

    

   Тогда  .
   Ответ:  .

3.  . Нужно проделать все то же самое, но уже с двумя функциями. Я буду несколько более краток:   и   градусов – углы второй четверти. Косинус второй четверти имеет знак «минус», а синус – «плюс».   можно представить как:  , а   как  , тогда

    

   Оба случая – «половинки от целого  ». Тогда синус меняется на косинус, а косинус – на синус. Причем перед косинусом стоит знак «минус»:

 

 

Ответ:  .

Теперь потренируйся самостоятельно на следующих примерах:

1.  
2.  
3.  

А вот и решения:

1.  
   Вначале избавимся от минуса, вынеся его перед синусом (поскольку синус – функция нечетная!!!). Затем рассмотрим углы:

    

   Отбрасываем целое количество кругов – то есть три круга ( ).
   Остается вычислить:  .
   Также поступаем и со вторым углом:

    

   Удаляем целое число кругов – 3 круга ( ) тогда:

    

   Теперь думаем: в какой четверти лежит оставшийся угол? Он «не дотягивает» до   всего  . Тогда какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса четвертой четверти? Положительный. Теперь представим  . Так как вычитаем мы из целого количества  , то знак косинуса не меняем:

    

   Подставляем все полученные данные в формулу:

    .

   Ответ:  .

2.  
   Стандартно: убираем минус из косинуса, пользуясь тем, что  .
   Осталось сосчитать косинус   градусов. Уберем целые круги:  . Тогда

    

   Тогда  .
   Ответ:  .

3.   Действуем, как в предыдущем примере.

    

   Поскольку ты помнишь, что период у тангенса –   (или  ) в отличие от косинуса или синуса, у которых он в 2 раза больше, то удалим целое количество  .

    

     градусов – угол во второй четверти. Тангенс второй четверти отрицательный, тогда не забудем в конце о «минусе»!   можно записать как  . Тангенс меняется на котангенс. Окончательно получим:

    

   Тогда  .
   Ответ:  .

Ну что же, осталось совсем немного!

Ось тангенсов и ось котангенсов

Последнее, на чем бы мне хотелось здесь остановиться – это на двух дополнительных осях. Как мы уже обсуждали, у нас есть две оси:

1. Ось   – ось косинусов
2. Ось   – ось синусов

На самом деле, координатные оси у нас закончились, не так ли? Но а как же быть с тангенсами и котангенсами? Неужели, для них нет никакой графической интерпретации? На самом деле, она есть, ее ты можешь увидеть на вот этой картинке: В частности, по этим картинкам можно сказать вот что:

1. Тангенс и котангенс имеют одинаковые знаки по четвертям
2. Они положительны в 1 и 3 четверти
3. Они отрицательны во 2 и 4 четверти
4. Тангенс не определен в углах  
5. Котангенс не определен в углах  

Для чего еще нужны эти картинки? Узнаешь в следующей статье, где я расскажу, как с помощью тригонометрического круга можно упрощать решения тригонометрических уравнений!

В этой статье я опишу, как единичная окружность (тригонометрическая окружность) может пригодиться при решении тригонометрических уравнений. Я могу выделить два случая, когда она может оказаться полезной:

1. В ответе у нас не получается «красивый» угол, но тем не менее надо производить отбор корней
2. В ответе получается уж слишком много серий корней

Никаких специфических знаний тебе не требуется, кроме:

«Тригонометрические уравнения» (все три уровня)

Тему «тригонометрические уравнения» я старался писать, не прибегая к окружности. Многие бы меня за такой подход не похвалили. Но мне милее формулы, уж что тут поделать. Однако в некоторых случаях формул оказывается мало. Написать эту статью меня мотивировал следующий пример:

Решите уравнение:

 

Ну что же. Решить само уравнение несложно. Замена  .

 

Корни:

 

Обратная замена:

 , откуда

  или  

Или же:

 

Откуда

  или  

Отсюда наше исходное уравнение равносильно аж четырем простейшим уравнениям! Неужели нам нужно будет записывать 4 серии корней:

 

 

 

 

В принципе, на этом можно было бы и остановиться. Но только не читателям данной статьи, претендующей на некую «усложненность»! Вначале рассмотрим первую серию корней. Итак, берется единичная окружность, теперь давай нанесем эти корни на окружность (отдельно для   и для  ):

Обрати внимание: какой угол получился между углами   и  ? Это угол  . Теперь проделаем то же самое и для серии:  .

Между корнями уравнения снова получился угол в  . А теперь совместим эти две картинки:

Что же мы видим? А то, все углы между нашими корнями равны  . А что это значит? Если мы стартуем от угла   и будем брать углы, равные   (для любого целого  ), то мы всегда попадем в одну из четырех точек на верхней окружности! Таким образом, 2 серии корней:

 

 

Можно объединить в одну:

 

Увы, для серий корней:

 

 

Данные рассуждения уже не будут справедливы. Сделай чертеж и пойми, почему это так. Однако, их можно объединить следующим образом:

 

Тогда исходное уравнение имеет корни:

  или  

Что является довольно кратким и лаконичным ответом. А о чем говорит краткость и лаконичность? Об уровне твоей математической грамоты. Это был первый пример, в котором использование тригонометрической окружности дало полезные плоды. Второй пример – уравнения, которые имеют «некрасивые корни». Например:

1. Решите уравнение  .
2. Найдите его корни, принадлежащие промежутку  .

Первая часть не представляет из себя ничего сложного. Поскольку ты уже знаком с темой «Тригонометрические уравнения», то я позволю себе быть кратким в моих выкладках.

 

 

 

 

тогда   или  

  или  

  или  

Так мы нашли корни нашего уравнения. Ничего сложного. Сложнее решить вторую часть задания, не зная, чему в точности равен арккосинус от минус одной четверти (это не табличное значение). Однако мы можем изобразить найденные серии корней на единичной окружности:

Что мы видим? Во-первых, рисунок дал нам понять, в каких пределах лежит арккосинус:

 

Эта визуальная интерпретация поможет нам найти корни, принадлежащие отрезку: .

Во-первых, в него попадает само число  , затем   (см. рис). Далее, так как:

 , то

 , откуда

 , тогда

  также принадлежит отрезку  .

Таким образом, единичная окружность помогает определить, в какие пределы попадают «некрасивые» углы.

У тебя должен был остаться по крайней мере еще один вопрос: а как нам быть с тангенсами и котангенсами? На самом деле, для них тоже есть свои оси, правда они имеют немного специфический вид:

В остальном же способ обращения с ними будет такой же, как с синусом и косинусом.

Напоследок рекомендую тебе самостоятельно решить вот этот пример, прибегая к помощи единичной окружности

Пример

Дано уравнение  .

• Решите данное уравнение.
• Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку  .

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 ,  

 ,  

Рисуем единичную окружность и отмечаем на ней наши решения:

Из рисунка можно понять, что:

 

Или даже более того: так как  , то

 :

Тогда найдем корни, принадлежащие отрезку  .

 ,   (так как  )

Предоставляю тебе самостоятельно убедиться, что других корней, принадлежащих промежутку  , наше уравнение не имеет.