Задачи на работу. Исчерпывающее руководство (2020)
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
В этом уроке, ты научишься разбираться с любыми задачами на работу.
Рассмотришь разные способы решения задач (что сэкономит время на экзамене!)
Разберешь более 11 примеров (и этого будет достаточно, чтобы решить любую задачу на ЕГЭ)
Let's do it! (Давай начнем!)
Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Для этого нужно нажать CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).
СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ
Основная формула задач на работу
Ты уже освоил тему «Задачи на движение»?
Задачи на работу – это то же самое.
Основная формула здесь выглядит так:
или
Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени (например, за час или за день). По-другому, скорость выполнения работы. Как у тебя дела с физикой? В физике эта величина называется мощностью.
Как и в задачах на движение, нам нужно уметь выражать все эти три величины друг через друга:
Пример.
Заказ на
Решение:
Пусть производительность первого равна
I способ. С помощью таблицы.
Составим таблицу:
Работа |
Производительность |
Время |
|
I рабочий | |||
II рабочий |
Для каждой строки можем написать формулу:
I.
II.
Почему я выразил именно время?
У нас здесь система уравнений. А что происходит в системе, если выразить одну неизвестную через другую? Мы таким образом можем от нее избавиться!
Именно это я и собираюсь сделать: время нам известно? Нет. Его нам нужно найти? Нет. Поэтому от неизвестного
Из этих двух ответов, естественно, выбираем положительный:
II способ. Без таблицы.
Как обойтись без составления таблицы?
Сразу составить уравнение.
Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять.
Производительность? Ее и надо найти.
Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться.
Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.
Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго.
Напомню, что первый работал на
То же самое уравнение, что и в первом способе, только без таблицы и системы уравнений.
А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давайте проверим, есть ли аналогия?
Во-первых, сравним формулы:
Движение | Работа |
Скорость движения | Скорость выполнения работы, т.е. производительность |
Пройденный путь | Выполненная работа |
Потраченное на движение время | Потраченное на работу время |
Теперь рассмотрим задачу:
Расстояние
Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).
Пусть скорость первого
То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.
Задачи на совместную работу
Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).
Пример.
Первая труба заполняет бассейн за
Решение:
Во-первых, давай придумаем аналогию с движением.
Придумал?
Бассейн – это путь. Допустим, из
А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь двигаясь вместе? Бред.
Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу!
Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.
Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.
Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время:
С какой производительностью работают две трубы вместе (не забывай, это задачи на совместную работу)? Берем количество литров, которое налила в бассейн первая труба за один час, прибавляем количество литров, которое налила в бассейн вторая труба за один час – именно столько наливают в бассейн обе трубы за один час. То есть, производительности складываются:
То же самое, что и относительная скорость: с какой скоростью второй автомобиль приближается к первому? Со скоростью, равной сумме скоростей:
Итак,
Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа
Итак, правило:
При совместной работе производительности складываются.
ЗАДАЧИ НА РАБОТУ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Для начала рекомендуем тебе освоить предыдущий раздел, а так же раздел «Задачи на движение».
Потому что задачи на работу – это почти то же самое!
Все задачи на работу сводятся к применению одной формулы:
Или, если записать математическим языком:
Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени.
Или скорость выполнения работы. Вася решает
Как и в задачах на движение, нужно уметь выражать переменные из этой формулы. Это легко.
Что такое объем произведенной работы? Это производительность (то, сколько работы производится в час) умноженное на количество часов. Или:
А сколько времени потребуется, чтобы сделать определенное количество работы? Нужно взять это количество и разделить на скорость её выполнения:
Главное запомнить, что есть три фактора, а формулы можно вывести исходя из здравого смысла.
Давай попробуем решить какую-нибудь задачу.
Пример № 1.
Заказ на
Решение примера №1 . Обычный способ.
Давай разбираться.
- Нам известно, что всего деталей
- Нас просят найти, сколько делает первый рабочий в час. Это производительность
- Поскольку нам известно, что производительность – количество работы выполняемой за определенный промежуток времени
Производительность первого рабочего -
Мы получили систему уравнений:
Решим её:
Почему мы выражаем
По теореме Виета:
Очевидно, что производительность не может быть меньше
Решение примера №1. Альтернативный (продвинутый) способ решения.
Можно решить эту задачу быстрее, сразу перейдя к конечному уравнению, без составления системы.
Мы уже знаем, что время в этой задаче нам находить не нужно. В условии есть
Так давай сразу выразим время!
Предположим, рабочие начали делать работу одновременно, и после окончания хотят вместе пойти домой.
Сколько на нее протратит первый?
Вся работа – это
А за сколько второй сделает эту работу? Учитывая, что
Но из условия нам известно, что первый рабочий потратит на всю работу на
Значит, второму придется еще
Видишь?! Мы получили то же уравнение, что и в первом случае, однако сделали это с помощью меньшего количества действий – а значит снизили возможность ошибки!
Ответ:
Пример 2.
Первая труба пропускает на
Решение примера №2
У нас есть объем работы (
Время, за которое первая труба заполняет резервуар (
Поскольку нам нужно найти производительность второй трубы, обозначим её за
За сколько минут первая труба заполнит резервуар?
Выражаем
Хоть уравнение и приведенное, но решать его по теореме Виета будет сложно. Поэтому решим с помощью дискриминанта:
Чтобы проще было извлекать корень, разложим
Очевидно, что производительность не может быть меньше нуля, а значит искомый
Ответ:
Задачи на совместную работу
Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).
В ЕГЭ задачи на совместную работу встречаются чаще, чем обычные, поэтому давай разбираться.
Пример № 3.
Возьмем последнюю нашу задачу. Вторая труба пропускает
Первая труба пропускает
Решение примера №3
Чему равна производительность первой трубы?
А второй?
А сколько они будут наливать воды, если будут работать вместе? Очевидно что
Ответ:
На этом простом примере мы вывели главное правило совместной работы:
При совместной работе производительности складываются. |
Теперь давай рассмотрим задачи посложнее.
Пример 4
Две бригады, работая вместе, вспахали поле за
Решение примера №4
Примем всю работу за
Пусть первая бригада может вспахать поле за
Производительность первой бригады, таким образом:
То есть их общая производительность была
По условию сказано, что работая вместе, они вспахали поле за
Теперь, решив это уравнение, мы можем найти
По теореме Виета:
Получается, что первая бригада вспахала бы поле за
Ответ:
Пример №5
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за
Решение примера №5
Обозначим за
Нам нужно найти
Тогда по условию задачи:
Кроме того, в условии сказано, что за
Составим и решим систему:
Подставим из второго уравнения системы
Нам нужно найти
Ответ:
Пример №6 (Самый сложный пример. Научись его решать и ты справишься с любой задачей на ЕГЭ.
На изготовление
Решение.
- Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят
- Значит нужно найти
Приравняв
По теореме Виета подобрать корни не просто, поэтому решим через дискриминант:- Производительность первого рабочего –
Ответ:
Самостоятельная работа. 5 задач.
А теперь сам попробуй решить несколько задач, а затем проверь себя по ответам.
- Две трубы, включённые одновременно, наполняют бассейн за 12 часов. За сколько часов наполнит бассейн одна труба, если известно, что другая делает это на 10 часов дольше?
- Автоматизированная мойка обслуживает
- Первая труба пропускает на
- На изготовление
- Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за
Ответы на самостоятельную работу
ЗАДАЧИ НА РАБОТУ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени:
или
Задачи на совместную работу
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER
Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:
ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!
В разделе "тренировка" , посмотрите первую задачу , не корректно соствалена
ответить