Задачи на работу и производительность
На это уроке мы рассмотрим разные способы решения задач на работу, чтобы сэкономит время на экзамене!
Мы разберем более 11 примеров (и этого будет достаточно, чтобы решить любую задачу на работу на ЕГЭ)
Let’s do it! (Сделаем это!)
Задачи на работу — коротко о главном
Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени: \( \displaystyle P=\frac{A}{t}\)
или \( \displaystyle \text{производительность}=\frac{\text{работа}}{\text{время}}\).
При совместной работе производительности складываются.
Основная формула задач на работу
Ты уже освоил тему «Задачи на движение»? Задачи на работу – это то же самое.
Основная формула здесь выглядит так:
\( \displaystyle P=\frac{A}{t}\)
или:
\( \displaystyle \text{производительность}=\frac{\text{работа}}{\text{время}}\)
Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени (например, за час или за день).
По-другому, скорость выполнения работы. Вася решает \( \displaystyle 5\) задач в час. Это и есть производительность.
Как у тебя дела с физикой? В физике эта величина называется мощностью.
Как и в задачах на движение, нам нужно не зазубрить эти формула, а уметь выражать все эти три величины друг через друга:
| \( \displaystyle P=\frac{A}{t}\) | \( \displaystyle t=\frac{A}{P}\) | \( \displaystyle A=P\cdot t\) |
Пример:
Заказ на \( \displaystyle 112\) деталей первый рабочий выполняет на \( \displaystyle 2\) часа дольше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий, если известно, что второй за час делает на одну деталь больше, чем первый?
Решение:
Пусть производительность первого равна \( \displaystyle x\) (ее нам и нужно найти). Тогда второго — \( \displaystyle (x+1)\). Если первый сделал заказ за время \( \displaystyle t\), тогда второй – за время \( \displaystyle t-2\). Работа равна \( \displaystyle 112\).
1-й способ решения — с помощью таблицы
| Работа \( \displaystyle A\) | Производительность \( \displaystyle P\) | Время \( \displaystyle t\) | |
I рабочий | \( \displaystyle 112\) | \( \displaystyle x\) | \( \displaystyle t\)\( \displaystyle t-2\) |
| II рабочий | \( \displaystyle 112\) | \( \displaystyle x+1\) |
Для каждой строки можем написать формулу:
I. \( \displaystyle P=\frac{A}{t}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=\frac{112}{t}\text{ }\Rightarrow \text{ }t=\frac{112}{x}\)
II. \( \displaystyle P=\frac{A}{t}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x+1=\frac{112}{t-2}\text{ }\Rightarrow \text{ }t-2=\frac{112}{x+1}\text{ }\Rightarrow \text{ }t=\frac{112}{x+1}+2\)
Почему я выразил именно время?
У нас здесь система уравнений. А что происходит в системе, если выразить одну неизвестную через другую?
Мы таким образом можем от нее избавиться! Именно это я и собираюсь сделать!
Время нам известно? Нет. Его нам нужно найти? Нет.
Поэтому от неизвестного \( \displaystyle t\) надо избавиться!
Для этого теперь достаточно просто приравнять полученные выражения для \( \displaystyle t\):
\( \displaystyle \frac{112}{x}=\frac{112}{x+1}+2\Leftrightarrow \frac{2x\left( x+1 \right)+112x-112\left( x+1 \right)}{x\left( x+1 \right)}=0\Leftrightarrow \)
\( \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}+x-56=0\\x\ne 0\\x\ne -1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=7\\x=-8\end{array} \right.\)
Из этих двух ответов, естественно, выбираем положительный: \( \displaystyle x=7\).
2-й способ решения — без таблицы
Как обойтись без составления таблицы?
Сразу составить уравнение.
Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять.
Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.
Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго.
Напомню, что первый работал на \( \displaystyle 2\) часа дольше, поэтому к времени второго надо будет прибавить \( \displaystyle 2\):
\( \displaystyle \frac{112}{x}=\frac{112}{x+1}+2\)
То же самое уравнение, что и в первом способе, только без таблицы и системы уравнений.
А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давай проверим, есть ли аналогия.
Во-первых, сравним формулы:
| Движение | Работа |
| \( \displaystyle v=\frac{S}{t}\) | \( \displaystyle P=\frac{A}{t}\) |
| Скорость движения | Скорость выполнения работы, т.е. производительность |
| Пройденный путь | Выполненная работа |
| Потраченное на движение время | Потраченное на работу время |
Теперь рассмотрим задачу:
Пример №1
Расстояние \( \displaystyle 112\) км первый велосипедист проезжает на \( \displaystyle 2\) часа дольше, чем второй.
Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?
Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).
Пусть скорость первого \( \displaystyle x\), тогда второго \( \displaystyle x+1\). Сколько времени едет первый? \( \displaystyle \frac{112}{x}\). Сколько времени едет второй? \( \displaystyle \frac{112}{x+1}\). На сколько время первого больше, чем второго? На \( \displaystyle 2\) часа:
\( \displaystyle \frac{112}{x}=\frac{112}{x+1}+2\).
То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.
Как решать задачи на совместную работу
Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).
Пример №2
Первая труба заполняет бассейн за \( \displaystyle 6\) часов, а вторая – за \( \displaystyle 4\).
За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?
Решение
Во-первых, давай придумаем аналогию с движением.
Придумал?
Бассейн – это путь. Допустим, из \( \displaystyle A\) в \( \displaystyle B\). Итак, первый автомобиль проезжает путь \( \displaystyle AB\) за \( \displaystyle 6\) часов, второй – за \( \displaystyle 4\).
А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь, двигаясь вместе? Бред.
Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу!
Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.
Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.
Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время: \( \displaystyle {{P}_{1}}=\frac{A}{{{t}_{1}}}=\frac{A}{6}\). А второго? \( \displaystyle {{P}_{2}}=\frac{A}{{{t}_{2}}}=\frac{A}{4}\).
С какой производительностью работают две трубы вместе (не забывай, это задачи на совместную работу)? Берем количество литров, которое налила в бассейн первая труба за один час, прибавляем количество литров, которое налила в бассейн вторая труба за один час, – именно столько наливают в бассейн обе трубы за один час. То есть производительности складываются:
\( \displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}\)
То же самое, что и относительная скорость: с какой скоростью второй автомобиль приближается к первому? Со скоростью, равной сумме скоростей: \( \displaystyle v={{v}_{1}}+{{v}_{2}}\).
Итак,
\( \displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=\frac{A}{6}+\frac{A}{4}=\frac{5A}{12}\).
Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа \( A\):
\( \displaystyle t=\frac{A}{P}=\frac{A}{\frac{5A}{12}}=\frac{12}{5}=2,4\) (ч)
Итак, правило:
При совместной работе производительности складываются
Еще немного задач
Пример №3
Заказ на \( \displaystyle 80\) деталей первый рабочий выполняет на \( \displaystyle 2\) часа дольше, чем второй.
Сколько деталей за \( \displaystyle 1\) час делает первый рабочий, если известно, что второй делает за час на две детали больше, чем первый?
Решение. Обычный способ
Заказ на \( \displaystyle 80\) деталей первый рабочий выполняет на \( \displaystyle 2\) часа дольше, чем второй.
Сколько деталей за \( \displaystyle 1\) час делает первый рабочий, если известно, что второй делает за час на две детали больше, чем первый?
\( \displaystyle P+2=\frac{80}{t-2}\).
Мы получили систему уравнений:
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}P=\frac{80}{t}\\P+2=\frac{80}{t-2}\end{array} \right.\)
Решим её:
Решение. Альтернативный (продвинутый) способ
Можно решить эту задачу быстрее, сразу перейдя к конечному уравнению, без составления системы.
Мы уже знаем, что время в этой задаче нам находить не нужно. В условии есть \( \displaystyle A\) (работа), а нужно найти \( \displaystyle P\) (производительность).
Так давай сразу выразим время!
Предположим, рабочие начали делать работу одновременно, и после окончания хотят вместе пойти домой.
Сколько на нее потратит первый?
Пример №4
Первая труба пропускает на \( \displaystyle 5\) литров воды в минуту больше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом \( \displaystyle 450\) литров она заполняет на \( \displaystyle 3\) минуты дольше, чем первая?
Решение:
У нас есть объем работы (\( \displaystyle 450\) литров) и нужно найти производительность. Давай выразим время, как и в предыдущей задаче.
Время, за которое первая труба заполняет резервуар (\( \displaystyle {{t}_{1}}\)) на \( \displaystyle 3\) минуты больше, чем время, за которое это делает вторая труба (\( \displaystyle {{t}_{2}}\)). То есть \( \displaystyle {{t}_{1}}+3={{t}_{2}}\).
Поскольку нам нужно найти производительность второй трубы, обозначим её за \( \displaystyle x\) (давай привыкать делать так, как большинство математиков, а не использовать буквы из формулы). Тогда производительность первой трубы – \( \displaystyle x+5\).
За сколько минут первая труба заполнит резервуар?
\( \displaystyle {{t}_{1}}=\frac{450}{x+5}\). А вторая? \( \displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+3=\frac{450}{x}\)
Выражаем \( \displaystyle {{t}_{1}}\) во втором уравнении и приравниваем:
Разбор задач на совместную работу
Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).
В ЕГЭ задачи на совместную работу встречаются чаще, чем обычные, поэтому давай разбираться.
Пример 5
Возьмем последнюю нашу задачу. Вторая труба пропускает \( \displaystyle 25\) литров в час, а первая \( \displaystyle \left( x+5 \right)=30\) литров в час. А за сколько времени они заполнят тот же резервуар, работая вместе?
Первая труба пропускает \( \displaystyle 30\) литров в час, а вторая \( \displaystyle 25\) литров. За какое время они заполнят резервуар, объемом \( \displaystyle 450\) литров, работая вместе?
Решение:
Чему равна производительность первой трубы? \( \displaystyle 30\) литров в час.
А второй? \( \displaystyle 25\).
А сколько они будут наливать воды, если будут работать вместе? Очевидно что \( \displaystyle 30+25=55\). Ведь за \( \displaystyle 1\) час первая труба нальет \( \displaystyle 30\) литров, и за этот же час вторая нальет \( \displaystyle 25\) литров.
Теперь мы можем легко найти искомое время:
Ответ: \( \displaystyle \frac{90}{11}\)
На этом простом примере мы вывели главное правило совместной работы:
При совместной работе производительности складываются.
Теперь давай рассмотрим задачи посложнее.
Пример 6
Две бригады, работая вместе, вспахали поле за \( \displaystyle 6\) часов. За сколько часов может вспахать поле первая бригада, работая самостоятельно, если ей необходимо на \( \displaystyle 5\) часов меньше, чем второй?
Решение:
Примем всю работу за \( \displaystyle 1\) (распространенный прием, ведь работа фиксированная, и не важно чему она равна).
Пусть первая бригада может вспахать поле за \( \displaystyle x\) часов (обозначим именно этот показатель иксом, ведь именно его нас просят найти в задаче), тогда вторая вспашет это поле за \( \displaystyle \left( x+5 \right)\) часов.
Производительность первой бригады, таким образом: \( \displaystyle \frac{1}{x}\) , а второй — \( \displaystyle \frac{1}{x+5}\).
То есть их общая производительность была \( \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}\).
По условию сказано, что работая вместе, они вспахали поле за \( \displaystyle 6\) часов. То есть:
Пример 7
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за \( \displaystyle 15\) дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу первый рабочий, если он за \( \displaystyle 4\) дня делает столько же, сколько второй за \( \displaystyle 5\) дней?
Решение:
Обозначим за \( \displaystyle {{x}_{1}}\) и \( \displaystyle {{x}_{2}}\) – производительность первого и второго рабочего соответственно. А всю работу обозначим за \( \displaystyle 1\).
Нам нужно найти \( \displaystyle \frac{1}{{{x}_{1}}}\).
Тогда по условию задачи:
\( \displaystyle 15\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1\)Кроме того, в условии сказано, что за \( \displaystyle 4\) дня первый рабочий делает столько же, сколько и второй за \( \displaystyle 5\) дней, то есть:
\( \displaystyle 4{{x}_{1}}=5{{x}_{2}}\)Составим и решим систему:
А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.
Пример 8
На изготовление \( \displaystyle 600\) деталей первый рабочий тратит на \( \displaystyle 10\) часов меньше, чем второй рабочий на изготовление \( \displaystyle 500\) таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в \( \displaystyle 1000\) деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на \( \displaystyle 5\) деталей больше?
Решение:
Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят \( \displaystyle 1000\) деталей, то есть: \( \displaystyle \frac{1000}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}\).
Значит, нужно найти \( \displaystyle {{P}_{1}}\) и \( \displaystyle {{P}_{2}}\).
Первый рабочий за час делает на \( \displaystyle 5\) деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – \( \displaystyle x-5\).
\( \displaystyle 600\) деталей первый рабочий делает за \( \displaystyle {{t}_{1}}\) часов, а \( \displaystyle 500\) таких же деталей второй рабочий делает за \( \displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10\) часов.
То есть: \( \displaystyle {{t}_{1}}=\frac{600}{x},\ a\ {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10=\frac{500}{x-5}\).
Приравняв \( \displaystyle {{t}_{1}}\), получаем уравнение:
Задачи для самостоятельного решения
А теперь сам попробуй решить несколько задач, а затем проверь себя по ответам.
- Две трубы, включённые одновременно, наполняют бассейн за 12 часов. За сколько часов наполнит бассейн одна труба, если известно, что другая делает это на 10 часов дольше?
- Автоматизированная мойка обслуживает \( \displaystyle 20\) машин на \( \displaystyle 5\) часов быстрее, чем ручная мойка обслуживает \( \displaystyle 45\) автомобилей. За сколько часов ручная мойка обслужит \( \displaystyle 126\) машин, если известно, что автоматизированная мойка обслуживает за \( \displaystyle 1\) час на \( \displaystyle 7\) автомобилей больше, чем ручная?
- Первая труба пропускает на \( \displaystyle 3\) литра воды в минуту больше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом \( \displaystyle 30\) литров она заполняет на \( \displaystyle 1\) минуту дольше, чем первая труба заполняет резервуар объемом \( \displaystyle 40\) литров?
- На изготовление \( \displaystyle 312\) деталей мастер тратит на \( \displaystyle 6\) часов меньше, чем ученик на изготовление \( \displaystyle 240\) таких же деталей. Сколько деталей в час делает ученик, если известно, что мастер делает на \( \displaystyle 5\) деталей в час больше?
- Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за \( \displaystyle 18\) дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу второй рабочий, если он за \( \displaystyle 6\) дней делает столько же, сколько первый за \( \displaystyle 4\) дня?
Ответы:
- \( \displaystyle 20\)
- \( \displaystyle 18\)
- \( \displaystyle 5\)
- \( \displaystyle 8\)
- \( \displaystyle 45\)
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Сдай ЕГЭ на 90+ с автором этого учебника
Алексей Шевчук — учитель с 20-летним стажем
математика, информатика, физика
Запишитесь на занятия:
+7 (905) 541-39-06
alexei.shevchuk@youclever.org
6 задание не доделано ,а жаль, оно довольно проблемное
Добрый день, все задания доделаны, у вас не отображается решение? Такое изредка случается. Попробуйте нажать Ctrl+F5, это перезагрузит страницу с очисткой кэша. Если всё равно не получится, пишите
Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
Елена
16 января 2020
очень интересное изложение материала
Дамели
17 января 2020
Все очень понятно спасибо
Владимир Путин
05 февраля 2020
Спасибо за вклад в развитие математики, Александр.
Александр (админ)
05 февраля 2020
Да не за что, Владимир 🙂
Софья
03 июня 2020
Все просто и кратко. Благодаря вам я наконец изучила и закрепила то, что до этого не понимала. Спасибо за труд! Объяснение лучше математички 🙂
Анастасия
05 июня 2020
спасибо за прекрасное объяснение! как будто сидела перед Вами, когда задавали вопросы