Задачи на работу. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Для начала рекомендуем тебе освоить раздел «Задачи на движение». Потому что задачи на работу – это почти то же самое!

Основная формула

Все задачи на работу сводятся к применению одной формулы:

 

Или, если записать математическим языком:

 

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени. Или скорость выполнения работы. Вася решает   задач в час. Это и есть производительность.

Как и в задачах на движение, нужно уметь выражать переменные из этой формулы. Это легко.

Что такое объем произведенной работы? Это производительность (то, сколько работы производится в час) умноженное на количество часов. Или:

 

А сколько времени потребуется, чтобы сделать определенное количество работы? Нужно взять это количество и разделить на скорость её выполнения:

 

Главное запомнить, что есть три фактора, а формулы можно вывести исходя из здравого смысла.

Давай попробуем решить какую-нибудь задачу.

Пример 1.

Заказ на   деталей первый рабочий выполняет на   часа дольше, чем второй. Сколько деталей за   час делает первый рабочий, если известно, что второй делает за час на две детали больше, чем первый.

Решение.

Давай разбираться.

  1. Нам известно, что всего деталей  . Это вся работа ( ). И на эту работу первый рабочий тратит на   часа больше времени, чем второй. То есть первый тратит   часов, а второй –   часов.
  2. Нас просят найти, сколько делает первый рабочий в час. Это производительность  . И у второго рабочего она больше на   детали в час. То есть производительность первого рабочего  , а у второго  .
  3. Поскольку нам известно, что производительность – количество работы выполняемой за определенный промежуток времени  , то мы можем совместить пункты 1. и 2. в системы уравнений.
    Производительность первого рабочего -  , а второго -
     .
    Мы получили систему уравнений:
     
    Решим её:
     
    Почему мы выражаем  ? Потому что нас интересует производительность
     , а находить   нам не нужно. И теперь, приравняв правые части, мы избавляемся от   и получаем уравнение с одной неизвестной! Подробнее о решениях систем уравнений читай в теме «Системы уравнений».
     
    По теореме Виета:
     
    Очевидно, что производительность не может быть меньше  , поэтому
     . Это как раз то, что мы искали.

Альтернативный (продвинутый) способ решения.
Можно решить эту задачу быстрее, сразу перейдя к конечному уравнению, без составления системы.
Мы уже знаем, что время в этой задаче нам находить не нужно. В условии есть   (работа), а нужно найти   (производительность). Так давай сразу выразим время!
Предположим, рабочие начали делать работу одновременно, и после окончания хотят вместе пойти домой.
Сколько на нее протратит первый? Вся работа – это   деталей, а делает он   деталей в час:  .
А за сколько второй сделает эту работу? Учитывая, что  , то за  часов.
Но из условия нам известно, что первый рабочий потратит на всю работу на   часа больше, чем второй. Значит, второму придется еще   часа подождать, пока закончит первый, то есть ко времени работы второго надо добавить   часа, и тогда получится, что они провели на работе одинаковое количество времени:
 , или
 .
Видишь?! Мы получили то же уравнение, что и в первом случае, однако сделали это с помощью меньшего количества действий – а значит снизили возможность ошибки!

Ответ .

Пример 2.

Первая труба пропускает на   литров воды в минуту больше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом   литров она заполняет на   минуты дольше, чем первая?

Решение.

У нас есть объем работы (  литров) и нужно найти производительность. Давай выразим время, как и в предыдущей задаче.

Время, за которое первая труба заполняет резервуар ( ) на   минуты больше, чем время, за которое это делает вторая труба ( ). То есть  .

Поскольку нам нужно найти производительность второй трубы, обозначим её за   (давай привыкать делать так, как большинство математиков, а не использовать буквы из формулы). Тогда производительность первой трубы –  .

За сколько минут первая труба заполнит резервуар?  . А вторая?  

Выражаем   во втором уравнении и приравниваем:

 

Хоть уравнение и приведенное, но решать его по теореме Виета будет сложно. Поэтому решим с помощью дискриминанта:

 

Чтобы проще было извлекать корень, разложим   на множители:

 

Очевидно, что производительность не может быть меньше нуля, а значит искомый   равен  .

Ответ 

Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

В ЕГЭ задачи на совместную работу встречаются чаще, чем обычные, поэтому давай разбираться.

Пример 3.

Возьмем последнюю нашу задачу. Вторая труба пропускает   литров в час, а первая   литров в час. А за сколько времени они заполнят тот же резервуар, работая вместе?

Первая труба пропускает   литров в час, а вторая   литров. За какое время они заполнят резервуар, объемом   литров, работая вместе?

Решение.

Чему равна производительность первой трубы?   литров в час. А второй?  .

А сколько они будут наливать воды, если будут работать вместе? Очевидно что  . Ведь за   час первая труба нальет   литров, и за этот же час вторая нальет   литров. Теперь мы можем легко найти искомое время:

 

Ответ:  

На этом простом примере мы вывели главное правило совместной работы:

При совместной работе производительности складываются.

Теперь давай рассмотрим задачи посложнее.

Пример 4.

Две бригады, работая вместе, вспахали поле за   часов. За сколько часов может вспахать поле первая бригада, работая самостоятельно, если ей необходимо на   часов меньше, чем второй?

Решение.

Примем всю работу за   (распространенный прием, ведь работа фиксированная, и не важно чему она равна).

Пусть первая бригада может вспахать поле за   часов (обозначим именно этот показатель иксом, ведь именно его нас просят найти в задаче), тогда вторая вспашет это поле за   часов.

Производительность первой бригады, таким образом:   , а второй -  .

То есть их общая производительность была  .

По условию сказано, что работая вместе, они вспахали поле за   часов. То есть:

 

Теперь, решив это уравнение, мы можем найти  :

 

По теореме Виета:

 

Получается, что первая бригада вспахала бы поле за   часов, если работала в одиночку.

Ответ:  .

Пример 5.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за   дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу первый рабочий, если он за   дня делает столько же, сколько второй за   дней?

Решение.

Обозначим за   и   – производительность первого и второго рабочего соответственно. А всю работу обозначим за  . Нам нужно найти  .

Тогда по условию задачи:

 

Кроме того, в условии сказано, что за   дня первый рабочий делает столько же, сколько и второй за   дней, то есть:

 

Составим и решим систему:

 

Подставим из второго уравнения системы   в первое и решим его:

 

Нам нужно найти  . Так выразим его!

 

Ответ:  .

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

Пример 6.

На изготовление   деталей первый рабочий тратит на   часов меньше, чем второй рабочий на изготовление   таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в   деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на   деталей больше?

Решение.

  1. Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят   деталей, то есть:  .
  2. Значит нужно найти   и  . Первый рабочий за час делает на   деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго –  .
  3.   деталей первый рабочий делает за   часов, а   таких же деталей второй рабочий делает за   часов. То есть:  .
    Приравняв  , получаем уравнение:
     .
    По теореме Виета подобрать корни не просто, поэтому решим через дискриминант:  .
  4. Производительность первого рабочего –   деталей в час, а второго –   деталей в час. Значит их общая производительность   деталей в час. И партию на   деталей они изготовят за   часов.

Ответ 

Тренировка.

А теперь сам попробуй решить несколько задач, а затем проверь себя по ответам.

  1. Две трубы, включённые одновременно, наполняют бассейн за 12 часов. За сколько часов наполнит бассейн одна труба, если известно, что другая делает это на 10 часов дольше?
  2. Автоматизированная мойка обслуживает   машин на   часов быстрее, чем ручная мойка обслуживает   автомобилей. За сколько часов ручная мойка обслужит   машин, если известно, что автоматизированная мойка обслуживает за   час на   автомобилей больше, чем ручная?
  3. Первая труба пропускает на   литра воды в минуту больше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом   литров она заполняет на   минуту дольше, чем первая труба заполняет резервуар объемом   литров?
  4. На изготовление   деталей мастер тратит на   часов меньше, чем ученик на изготовление   таких же деталей. Сколько деталей в час делает ученик, если известно, что мастер делает на   деталей в час больше?
  5. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за   дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу второй рабочий, если он за   дней делает столько же, сколько первый за   дня?

Ответы:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Комментарии

Семён
28 января 2018

В разделе "тренировка" , посмотрите первую задачу , не корректно соствалена

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть