Задачи на работу. Начальный уровень.

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени:  

или  .

Задачи на совместную работу

При совместной работе производительности складываются.

Для начала рекомендуем тебе освоить раздел «Задачи на движение». Потому что задачи на работу – это почти то же самое!

Основная формула

Все задачи на работу сводятся к применению одной формулы:

 

Или, если записать математическим языком:

 

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени. Или скорость выполнения работы. Вася решает   задач в час. Это и есть производительность.

Как и в задачах на движение, нужно уметь выражать переменные из этой формулы. Это легко.

Что такое объем произведенной работы? Это производительность (то, сколько работы производится в час) умноженное на количество часов. Или:

 

А сколько времени потребуется, чтобы сделать определенное количество работы? Нужно взять это количество и разделить на скорость её выполнения:

 

Главное запомнить, что есть три фактора, а формулы можно вывести исходя из здравого смысла.

Давай попробуем решить какую-нибудь задачу.

Пример 1.

Заказ на   деталей первый рабочий выполняет на   часа дольше, чем второй. Сколько деталей за   час делает первый рабочий, если известно, что второй делает за час на две детали больше, чем первый.

Решение.

Давай разбираться.

1. Нам известно, что всего деталей  . Это вся работа ( ). И на эту работу первый рабочий тратит на   часа больше времени, чем второй. То есть первый тратит   часов, а второй –   часов.
2. Нас просят найти, сколько делает первый рабочий в час. Это производительность  . И у второго рабочего она больше на   детали в час. То есть производительность первого рабочего  , а у второго  .
3. Поскольку нам известно, что производительность – количество работы выполняемой за определенный промежуток времени  , то мы можем совместить пункты 1. и 2. в системы уравнений.
   Производительность первого рабочего -  , а второго -
    .
   Мы получили систему уравнений:
    
   Решим её:
    
   Почему мы выражаем  ? Потому что нас интересует производительность
    , а находить   нам не нужно. И теперь, приравняв правые части, мы избавляемся от   и получаем уравнение с одной неизвестной! Подробнее о решениях систем уравнений читай в теме «Системы уравнений».
    
   По теореме Виета:
    
   Очевидно, что производительность не может быть меньше  , поэтому
    . Это как раз то, что мы искали.

Альтернативный (продвинутый) способ решения.
Можно решить эту задачу быстрее, сразу перейдя к конечному уравнению, без составления системы.
Мы уже знаем, что время в этой задаче нам находить не нужно. В условии есть   (работа), а нужно найти   (производительность). Так давай сразу выразим время!
Предположим, рабочие начали делать работу одновременно, и после окончания хотят вместе пойти домой.
Сколько на нее протратит первый? Вся работа – это   деталей, а делает он   деталей в час:  .
А за сколько второй сделает эту работу? Учитывая, что  , то за  часов.
Но из условия нам известно, что первый рабочий потратит на всю работу на   часа больше, чем второй. Значит, второму придется еще   часа подождать, пока закончит первый, то есть ко времени работы второго надо добавить   часа, и тогда получится, что они провели на работе одинаковое количество времени:
 , или
 .
Видишь?! Мы получили то же уравнение, что и в первом случае, однако сделали это с помощью меньшего количества действий – а значит снизили возможность ошибки!

Ответ:  .

Пример 2.

Первая труба пропускает на   литров воды в минуту больше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом   литров она заполняет на   минуты дольше, чем первая?

Решение.

У нас есть объем работы (  литров) и нужно найти производительность. Давай выразим время, как и в предыдущей задаче.

Время, за которое первая труба заполняет резервуар ( ) на   минуты больше, чем время, за которое это делает вторая труба ( ). То есть  .

Поскольку нам нужно найти производительность второй трубы, обозначим её за   (давай привыкать делать так, как большинство математиков, а не использовать буквы из формулы). Тогда производительность первой трубы –  .

За сколько минут первая труба заполнит резервуар?  . А вторая?  

Выражаем   во втором уравнении и приравниваем:

 

Хоть уравнение и приведенное, но решать его по теореме Виета будет сложно. Поэтому решим с помощью дискриминанта:

 

Чтобы проще было извлекать корень, разложим   на множители:

 

Очевидно, что производительность не может быть меньше нуля, а значит искомый   равен  .

Ответ:  

Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

В ЕГЭ задачи на совместную работу встречаются чаще, чем обычные, поэтому давай разбираться.

Пример 3.

Возьмем последнюю нашу задачу. Вторая труба пропускает   литров в час, а первая   литров в час. А за сколько времени они заполнят тот же резервуар, работая вместе?

Первая труба пропускает   литров в час, а вторая   литров. За какое время они заполнят резервуар, объемом   литров, работая вместе?

Решение.

Чему равна производительность первой трубы?   литров в час. А второй?  .

А сколько они будут наливать воды, если будут работать вместе? Очевидно что  . Ведь за   час первая труба нальет   литров, и за этот же час вторая нальет   литров. Теперь мы можем легко найти искомое время:

 

Ответ:  

На этом простом примере мы вывели главное правило совместной работы:

При совместной работе производительности складываются.

Теперь давай рассмотрим задачи посложнее.

Пример 4.

Две бригады, работая вместе, вспахали поле за   часов. За сколько часов может вспахать поле первая бригада, работая самостоятельно, если ей необходимо на   часов меньше, чем второй?

Решение.

Примем всю работу за   (распространенный прием, ведь работа фиксированная, и не важно чему она равна).

Пусть первая бригада может вспахать поле за   часов (обозначим именно этот показатель иксом, ведь именно его нас просят найти в задаче), тогда вторая вспашет это поле за   часов.

Производительность первой бригады, таким образом:   , а второй -  .

То есть их общая производительность была  .

По условию сказано, что работая вместе, они вспахали поле за   часов. То есть:

 

Теперь, решив это уравнение, мы можем найти  :

 

По теореме Виета:

 

Получается, что первая бригада вспахала бы поле за   часов, если работала в одиночку.

Ответ:  .

Пример 5.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за   дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу первый рабочий, если он за   дня делает столько же, сколько второй за   дней?

Решение.

Обозначим за   и   – производительность первого и второго рабочего соответственно. А всю работу обозначим за  . Нам нужно найти  .

Тогда по условию задачи:

 

Кроме того, в условии сказано, что за   дня первый рабочий делает столько же, сколько и второй за   дней, то есть:

 

Составим и решим систему:

 

Подставим из второго уравнения системы   в первое и решим его:

 

Нам нужно найти  . Так выразим его!

 

Ответ:  .

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

Пример 6.

На изготовление   деталей первый рабочий тратит на   часов меньше, чем второй рабочий на изготовление   таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в   деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на   деталей больше?

Решение.

1. Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят   деталей, то есть:  .
2. Значит нужно найти   и  . Первый рабочий за час делает на   деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго –  .
3.   деталей первый рабочий делает за   часов, а   таких же деталей второй рабочий делает за   часов. То есть:  .
   Приравняв  , получаем уравнение:
    .
   По теореме Виета подобрать корни не просто, поэтому решим через дискриминант:  .
4. Производительность первого рабочего –   деталей в час, а второго –   деталей в час. Значит их общая производительность   деталей в час. И партию на   деталей они изготовят за   часов.

Ответ:  

Тренировка.

А теперь сам попробуй решить несколько задач, а затем проверь себя по ответам.

1. Две трубы, включённые одновременно, наполняют бассейн за 12 часов. За сколько часов наполнит бассейн одна труба, если известно, что другая делает это на 10 часов дольше?
2. Автоматизированная мойка обслуживает   машин на   часов быстрее, чем ручная мойка обслуживает   автомобилей. За сколько часов ручная мойка обслужит   машин, если известно, что автоматизированная мойка обслуживает за   час на   автомобилей больше, чем ручная?
3. Первая труба пропускает на   литра воды в минуту больше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом   литров она заполняет на   минуту дольше, чем первая труба заполняет резервуар объемом   литров?
4. На изготовление   деталей мастер тратит на   часов меньше, чем ученик на изготовление   таких же деталей. Сколько деталей в час делает ученик, если известно, что мастер делает на   деталей в час больше?
5. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за   дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу второй рабочий, если он за   дней делает столько же, сколько первый за   дня?

Ответы:

1.  
2.  
3.  
4.  
5.  

Ты уже освоил тему «Задачи на движение»? Задачи на работу – это то же самое.

Основная формула

Основная формула здесь выглядит так:

или

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени (например, за час или за день). По-другому, скорость выполнения работы. Как у тебя дела с физикой? В физике эта величина называется мощностью.

Как и в задачах на движение, нам нужно уметь выражать все эти три величины друг через друга:

Пример.

Заказ на   деталей первый рабочий выполняет на   часа дольше, чем второй. Сколько Деталей за час делает первый рабочий, если известно, что второй за час делает на одну деталь больше, чем первый?

Решение:

Пусть производительность первого равна   (ее нам и нужно найти). Тогда второго -  . Если первый сделал заказ за время  , тогда второй – за время  . Работа равна  .

I способ

Составим таблицу:

	Работа	Производительность	Время
I рабочий
II рабочий

Для каждой строки можем написать формулу:

I.  
II.  

Почему я выразил именно время? У нас здесь система уравнений. А что происходит в системе, если выразить одну неизвестную через другую? Мы таким образом можем от нее избавиться! Именно это я и собираюсь сделать: время нам известно? Нет. Его нам нужно найти? Нет. Поэтому от неизвестного   надо избавиться! Для этого теперь достаточно просто приравнять полученные выражения для  :

 

 

Из этих двух ответов, естественно, выбираем положительный:  .

II способ

Как обойтись без составления таблицы? Сразу составить уравнение. Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять. Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.

Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго. Напомню, что первый работал на   часа дольше, поэтому к времени второго надо будет прибавить  :

 

То же самое уравнение, что и в первом способе, только без таблицы и системы уравнений.

А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давайте проверим, есть ли аналогия?

Во-первых, сравним формулы:

Движение	Работа
Скорость движения	Скорость выполнения работы, т.е. производительность
Пройденный путь	Выполненная работа
Потраченное на движение время	Потраченное на работу время

Теперь рассмотрим задачу:

Расстояние   км первый велосипедист проезжает на   часа дольше, чем второй. Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?

Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).

Пусть скорость первого  , тогда второго  . Сколько времени едет первый?  . Сколько времени едет второй?  . На сколько время первого больше, чем второго? На   часа:

 .

То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.

Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

Пример.

Первая труба заполняет бассейн за   часов, а вторая – за  . За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?

Решение:

Во-первых, давай придумаем аналогию с движением. Придумал? Бассейн – это путь. Допустим, из   в  . Итак, первый автомобиль проезжает путь   за   часов, второй – за  . А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь двигаясь вместе? Бред. Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу! Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.

Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.

Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время:  . А второго?  .

С какой производительностью работают две трубы вместе (не забывай, это задачи на совместную работу)? Берем количество литров, которое налила в бассейн первая труба за один час, прибавляем количество литров, которое налила в бассейн вторая труба за один час – именно столько наливают в бассейн обе трубы за один час. То есть, производительности складываются:

 

То же самое, что и относительная скорость: с какой скоростью второй автомобиль приближается к первому? Со скоростью, равной сумме скоростей:  .

Итак,

 

Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа  :

  (ч)

Итак, правило:

При совместной работе производительности складываются.