Задачи на работу. Исчерпывающее руководство (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

В этом уроке, ты научишься разбираться с любыми задачами на работу.

Рассмотришь разные способы решения задач (что сэкономит время на экзамене!)

Разберешь более 11 примеров (и этого будет достаточно, чтобы решить любую задачу на ЕГЭ)

Let's do it!  (Давай начнем!)

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ:


Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Для этого нужно нажать CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).

Основная формула​​​ задач на работу

Ты уже освоил тему «Задачи на движение»

Задачи на работу – это то же самое.

Основная формула здесь выглядит так:

 

или

 

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени (например, за час или за день). По-другому, скорость выполнения работы. Как у тебя дела с физикой? В физике эта величина называется мощностью.

Как и в задачах на движение, нам нужно уметь выражать все эти три величины друг через друга:

     

Пример.

Заказ на   деталей первый рабочий выполняет на   часа дольше, чем второй. Сколько Деталей за час делает первый рабочий, если известно, что второй за час делает на одну деталь больше, чем первый?

Решение:

Пусть производительность первого равна   (ее нам и нужно найти). Тогда второго -  . Если первый сделал заказ за время  , тогда второй – за время  . Работа равна  .

I способ. С помощью таблицы.

Составим таблицу:

  Работа   Производительность   Время  
I рабочий      
II рабочий      

Для каждой строки можем написать формулу:

I.  
II.  

Почему я выразил именно время? У нас здесь система уравнений. А что происходит в системе, если выразить одну неизвестную через другую? Мы таким образом можем от нее избавиться! Именно это я и собираюсь сделать: время нам известно? Нет. Его нам нужно найти? Нет. Поэтому от неизвестного   надо избавиться! Для этого теперь достаточно просто приравнять полученные выражения для  :

 

 

Из этих двух ответов, естественно, выбираем положительный:  .

II способ. Без таблицы.

Как обойтись без составления таблицы?

Сразу составить уравнение.

Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять.

Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.

Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго.

Напомню, что первый работал на   часа дольше, поэтому к времени второго надо будет прибавить  :

 

То же самое уравнение, что и в первом способе, только без таблицы и системы уравнений.

А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давайте проверим, есть ли аналогия?

Во-первых, сравним формулы:

Движение Работа
   
Скорость движения Скорость выполнения работы, т.е. производительность
Пройденный путь Выполненная работа
Потраченное на движение время Потраченное на работу время

Теперь рассмотрим задачу:

Расстояние   км первый велосипедист проезжает на   часа дольше, чем второй. Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?

Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).

Пусть скорость первого  , тогда второго  . Сколько времени едет первый?  . Сколько времени едет второй?  . На сколько время первого больше, чем второго? На   часа:

 .

То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.

Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

Пример.

Первая труба заполняет бассейн за   часов, а вторая – за  . За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?

Решение:

Во-первых, давай придумаем аналогию с движением.

Придумал?

Бассейн – это путь. Допустим, из   в  . Итак, первый автомобиль проезжает путь   за   часов, второй – за  .

А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь двигаясь вместе? Бред.

Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу!

Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.

Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.

Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время:  . А второго?  .

С какой производительностью работают две трубы вместе (не забывай, это задачи на совместную работу)? Берем количество литров, которое налила в бассейн первая труба за один час, прибавляем количество литров, которое налила в бассейн вторая труба за один час – именно столько наливают в бассейн обе трубы за один час. То есть, производительности складываются:

 

То же самое, что и относительная скорость: с какой скоростью второй автомобиль приближается к первому? Со скоростью, равной сумме скоростей:  .

Итак,

 

Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа  :

  (ч)

Итак, правило:

При совместной работе производительности складываются.

ЗАДАЧИ НА РАБОТУ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Для начала рекомендуем тебе освоить предыдущий раздел, а так же раздел «Задачи на движение».

Потому что задачи на работу – это почти то же самое!

Все задачи на работу сводятся к применению одной формулы:

 

Или, если записать математическим языком:

 

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени. 

Или скорость выполнения работы. Вася решает   задач в час. Это и есть производительность.

Как и в задачах на движение, нужно уметь выражать переменные из этой формулы. Это легко.

Что такое объем произведенной работы? Это производительность (то, сколько работы производится в час) умноженное на количество часов. Или:

 

А сколько времени потребуется, чтобы сделать определенное количество работы? Нужно взять это количество и разделить на скорость её выполнения:

 

Главное запомнить, что есть три фактора, а формулы можно вывести исходя из здравого смысла.

Давай попробуем решить какую-нибудь задачу.

Пример 1.

Заказ на   деталей первый рабочий выполняет на   часа дольше, чем второй. Сколько деталей за   час делает первый рабочий, если известно, что второй делает за час на две детали больше, чем первый.

Решение. Обычный способ.

Давай разбираться.

 

Альтернативный (продвинутый) способ решения.
 

 

Пример 2.

Первая труба пропускает на   литров воды в минуту больше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом   литров она заполняет на   минуты дольше, чем первая?

Решение.

У нас есть объем работы (  литров) и нужно найти производительность. Давай выразим время, как и в предыдущей задаче.

Время, за которое первая труба заполняет резервуар ( ) на   минуты больше, чем время, за которое это делает вторая труба ( ). То есть  .

 

Задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

В ЕГЭ задачи на совместную работу встречаются чаще, чем обычные, поэтому давай разбираться.

Пример 3.

Возьмем последнюю нашу задачу. Вторая труба пропускает   литров в час, а первая   литров в час. А за сколько времени они заполнят тот же резервуар, работая вместе?

Первая труба пропускает   литров в час, а вторая   литров. За какое время они заполнят резервуар, объемом   литров, работая вместе?

Решение.

На этом простом примере мы вывели главное правило совместной работы:

При совместной работе производительности складываются.

 

Теперь давай рассмотрим задачи посложнее.

Пример 4.

Две бригады, работая вместе, вспахали поле за   часов. За сколько часов может вспахать поле первая бригада, работая самостоятельно, если ей необходимо на   часов меньше, чем второй?

Решение.

Примем всю работу за   (распространенный прием, ведь работа фиксированная, и не важно чему она равна).

 

Пример 5.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за   дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу первый рабочий, если он за   дня делает столько же, сколько второй за   дней?

Решение.

 

Обозначим за   и   – производительность первого и второго рабочего соответственно. А всю работу обозначим за  .

Нам нужно найти  .

 

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

Пример 6.

На изготовление   деталей первый рабочий тратит на   часов меньше, чем второй рабочий на изготовление   таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в   деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на   деталей больше?

Решение.

 

Тренировка.

А теперь сам попробуй решить несколько задач, а затем проверь себя по ответам.

  1. Две трубы, включённые одновременно, наполняют бассейн за 12 часов. За сколько часов наполнит бассейн одна труба, если известно, что другая делает это на 10 часов дольше?
  2. Автоматизированная мойка обслуживает   машин на   часов быстрее, чем ручная мойка обслуживает   автомобилей. За сколько часов ручная мойка обслужит   машин, если известно, что автоматизированная мойка обслуживает за   час на   автомобилей больше, чем ручная?
  3. Первая труба пропускает на   литра воды в минуту больше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом   литров она заполняет на   минуту дольше, чем первая труба заполняет резервуар объемом   литров?
  4. На изготовление   деталей мастер тратит на   часов меньше, чем ученик на изготовление   таких же деталей. Сколько деталей в час делает ученик, если известно, что мастер делает на   деталей в час больше?
  5. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за   дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту же работу второй рабочий, если он за   дней делает столько же, сколько первый за   дня?

Ответы:

 

ЗАДАЧИ НА РАБОТУ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени:  

или  .

Задачи на совместную работу

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

Семён
28 января 2018

В разделе "тренировка" , посмотрите первую задачу , не корректно соствалена

ответить

Ilya
22 мая 2018

всё нормально

ответить

Марта
10 ноября 2018

В разделе "тренировка" ответы у меня такие: 1- 20; 2 -18; 3 - 5; 4 - 8; 5 - 45.

ответить

Алексей Шевчук
24 ноября 2018

Марта, спасибо, неверные ответы исправил.

ответить

D15³
20 мая 2019

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Добрый день!

Закрытые части учебника - только для учеников YouClever.

Оставьте Email и я расскажу вам как им стать и пришлю в качестве бесплатного бонуса доступ к разделу учебника «Базовые темы» (стоимость раздела - 497 руб).

Значимость этого раздела для ЕГЭ - 14 из 100! Он состоит из 15 тем:

  1. НОК и НОД, признаки делимости и методы группировки;
  2. Степень и ее свойства;
  3. 7 волшебных формул сокращенного умножения;
  4. 5 способов разложения многочлена на множители;
  5. Дроби. Рациональные числа. Операции с дробями;
  6. Все о десятичных дробях;
  7. Задачи на проценты. Как найти процент от числа;
  8. Преобразование выражений. Подробная теория;
  9. Сравнение чисел;
  10. Квадратный корень;
  11. Корень и его свойства. Подробная теория с примерами;
  12. Свойства логарифмов и примеры их решений;
  13. Замена переменных;
  14. Модуль числа;
  15. ОДЗ - область допустимых значений.

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть