Замена переменных. Коротко о главном.

Замена переменных - метод решения сложных уравнений и неравенств, который позволяет упростить исходное выражение и привести его к стандартному виду.

Виды замены переменной:

  1. Степенная замена: за   принимается какое-то неизвестное, возведенное в степень -  .
  2. Дробно-рациональная замена: за   принимается какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную -  , где   и   - многочлены степеней n и m, соответственно.
  3. Замена многочлена: за   принимается целое выражение, содержащее неизвестное -   или  , где   - многочлен степени  .

После решения упрощенного уравнения/неравенства, необходимо произвести обратную замену.

Одним из самых важных методов решения уравнений и неравенств является метод замены переменной. Данная процедура позволяет упростить исходное выражение, тем самым приводя его к стандартному типу.

Метод замены переменной и его разновидности

Рассмотрим   основных вида замен переменных.

Степенная замена

Степенная замена:  .

Допустим, у нас есть выражение:  .

Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни? Правильно, данное уравнение необходимо привести к квадратному виду.

Введем новую переменную  .

Метод замены переменной подразумевает, чтобы старой переменной   не оставалось – в выражении должна остаться только одна переменная –  .

Наше выражение приобретет вид:

  – обычное квадратное уравнение

 

 

 

 

 

 

Нашли ли мы корни исходного уравнения? Правильно, нет.

На этом шаге не следует забывать, что нам необходимо найти значения переменной  , а мы нашли только  .

Следовательно, нам необходимо вернуться к исходному выражению, то есть сделать обратную замену - вместо   ставим  . Далее найдем

 

 

Решаем два новых простых уравнения, не забывая область допустимых значений!

При   у нас будет два корня:

 

 

А что у нас будет при  ? Правильно. Решений данного уравнения нет, так как квадрат любого числа – число положительное, а в нашем случае – отрицательное, соответственно, при   у нас будет пустое множество (решения нет).

В ответ следует записать необходимые нам корни, то есть  , которые существуют:

Ответ:  ; 

Точно таким же образом необходимо действовать при решении неравенств.

Выполняя замену переменных, необходимо помнить два простых правила:1. Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.

2. Уравнение (неравенство) относительно новой переменной необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

Попробуй самостоятельно применить метод замены переменной в уравнении  .

Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни?

Проверь свое решение:

Введем новую переменную  .

Наше выражение приобретет вид:

  – обычное квадратное уравнение

 

 

 

 

 

 

Возвращаемся к исходному выражению, то есть делаем обратную замену - вместо   ставим  

 

 

Оба значения   имеют право на существование. Решаем два получившихся уравнения:

При  

При  

Ответ:  

Дробно-рациональная замена

Дробно-рациональная замена -   многочлены степеней n и m соответственно.

При этом необходимо помнить, что область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения   (так как на ноль делить нельзя).

Приведем пример.

Допустим, у нас есть уравнение:

 

Так как на ноль делить нельзя, то в данном случае ОДЗ будет:  

Сгруппируем слагаемые:

 

Введем новую переменную  .

Пусть  , тогда

 

Сравни, что дает возведение   в квадрат, с первой сгруппированной скобкой в нашем примере. Что ты видишь?

метод замены переменной

Правильно. Разница между тем, что у нас в примере, и тем, что дает нам возведение в квадрат, заключается в удвоенном произведении слагаемых. Соответственно, его и следует вычесть, переписывая наш пример с переменной  .

 

В итоге мы получаем следующее выражение:

  – обычное квадратное уравнение.

Решаем получившееся уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

Как мы помним  , не является конечным решением уравнения. Возвращаемся к изначальной переменной:

 

Приводя к общему знаменателю  , мы приходим к совокупности 2-x квадратных уравнений:

 

Решим первое квадратное уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

На этой стадии не забываем про ОДЗ. Мы должны посмотреть, удовлетворяют ли найденные корни области допустимых значений? Если какой-то корень не удовлетворяет ОДЗ – он не включается в конечное решение уравнения.

Решим второе квадратное уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

Снова смотрим, удовлетворяют ли полученные корни ОДЗ? Далее записываем конечный ответ.

Ответ:  

У тебя получился такой же? Попробуй решить все с начала до конца самостоятельно.

 

Какой ответ у тебя получился? У меня   и  .

Сравним ход решения:

Пусть  , тогда выражение приобретает вид:

 

Приведем слагаемые к общему знаменателю:

 

Не забываем про ОДЗ -  !!!!!

Решаем квадратное уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

Как ты помнишь,   не является конечным решением уравнения. Возвращаемся к изначальной переменной:

 

Решим первое уравнение:

 

 

 

Решением первого уравнения являются корни   и  .

Решим второе уравнение:

 

Решения не существует. Подумай, почему? Правильно!   – число положительное,   - тоже всегда положительно, следовательно, при делении положительного числа на положительное никак не может получиться отрицательное!

Ответ:   

Замена многочлена

Замена многочлена   или  . Здесь   - многочлена степени  , например, выражение   – многочлен степени  .

Допустим, у нас есть пример:

 

Применим метод замены переменной. Как ты думаешь, что нужно принять за  ? Правильно,  . Уравнение приобретает вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производим обратную замену переменных:

 

 

Решим первое уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

Решим второе уравнение:

 

 

 

 … Что это означает? Правильно! Что решений не существует.

Таким образом, мы получили два ответа -  ;  .

Понял как применять метод замены переменной при многочлене? Потренируйся сделать подобное самостоятельно:

 

Решил? Теперь проверим с тобой основные моменты.

За   нужно взять  .

Мы получаем выражение:

 

Решая квадратное уравнение, мы получаем, что   имеет два корня:   и  .

Далее делаем обратную замену и решаем оба квадратных уравнения.

Решением первого квадратного уравнения являются числа   и  

Решением второго квадратного уравнения - числа   и  .

Ответ:  ;  ;   

Подведем итоги.

Метод замены переменной имеет   основных типа замен переменных в уравнениях и неравенствах:

1. Степенная замена, когда за   мы принимаем какое-то неизвестное, возведенное в степень.

2. Замена многочлена, когда за   мы принимаем целое выражение, содержащее неизвестное.

3. Дробно-рациональная замена, когда за   мы принимаем какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную.

Важные советы при введении новой переменной:

1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

2. Уравнение относительно новой переменно нужно решать до конца и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

3. При возврате к изначальному неизвестному (да и вообще на протяжении всего решения), не забывай проверять корни на ОДЗ.

Новая переменная вводится аналогичным образом, как в уравнениях, так и в неравенствах.

Тренировка.

Задачи:

1.  

2.  

3.  

Ответы:

1. Пусть  , тогда выражение приобретает вид  .

Так как  , то может быть как положительным, так и отрицательным.

  

  

Ответ:  

2. Пусть  , тогда выражение приобретает вид  .

 

  решения нет, так как  .

Ответ:  

3. Группировкой получаем:

 

Пусть  , тогда выражение приобретает вид
 .

 

 

Ответ:  

Замена переменных – это введение нового неизвестного, относительно которого уравнение или неравенство имеет более простой вид.

Перечислю основные типы замен.

Степенная замена  .

Например, с помощью замены   биквадратное уравнение   приводится к квадратному:  .

В неравенствах все аналогично. Например, в неравенстве   сделаем замену  , и получим квадратное неравенство:  .

Пример (реши самостоятельно):

 

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение (повтори «Рациональные уравнения»), но решать его обычным методом (приведение к общему знаменателю) неудобно, так как мы получим уравнение   степени, поэтому применяется замена переменных. Все станет намного проще после замены:  . Тогда  :

 

Теперь делаем обратную замену:

 

Ответ:  ;  .

Замена многочлена   или  .

Здесь   − многочлен степени  , т.е. выражение вида

 

(например, выражение   – многочлен степени  , то есть  ).

Чаще всего используется замена квадратного трехчлена:   или  .

Пример:

Решите уравнение  .

Решение:

И опять используется замена переменных  . Тогда уравнение примет вид:

 .

Корни этого квадратного уравнения:   и  . Имеем два случая. Сделаем обратную замену для каждого из них:

 ;

 .

Значит, это уравнение корней не имеет.

 

Корни этого уравнения:   и  .

Ответ.  .

Дробно-рациональная замена  .

  и   − многочлены степеней   и   соответственно.

Например, при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида

 ,

обычно используется замена  .

Сейчас покажу, как это работает.

Легко проверить, что   не является корнем этого уравнения: ведь если подставить   в уравнение, получим  , что противоречит условию.

Разделим уравнение на  :

 .

Перегруппируем:

 .

Теперь делаем замену:  .

Прелесть ее в том, что при возведении в квадрат в удвоенном произведении слагаемых сокращается x:

 

Отсюда следует, что  .

Вернемся к нашему уравнению:

 

Теперь достаточно решить квадратное уравнение и сделать обратную замену.

Пример:

Решите уравнение:  .

Решение:

При   равенство не выполняется, поэтому  . Разделим уравнение на  :

 

 

 

Замена:  .

Тогда  .

Уравнение примет вид:

 .

Его корни:  

Произведем обратную замену:

 

Решим полученные уравнения:

1)  .

 

 

2)  .

 

 

Ответ:  ;  .

Еще пример:

Решите неравенство  .

Решение:

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что   не входит в решение этого неравенства. Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на  :

 .

Теперь очевидна замена переменной:  .

Тогда неравенство примет вид:

 

Используем метод интервалов для нахождения y:

замена переменных, интервал 1

 

 .

замена переменных, интервал 2

 

 

  при всех  , так как  

Значит, неравенство равносильно следующему:  .

 .

  при всех  , так как  

Значит, неравенство равносильно следующему:  

 

  при всех  , так как  .

Значит, неравенство равносильно следующему:  .

Итак, неравенство оказывается равносильно совокупности:

 

Ответ:  .

Замена переменных – один из важнейших методов решения уравнений и неравенств.

Напоследок дам тебе пару важных советов:

  1. Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.
  2. Уравнение (неравенство) относительно новой переменно необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

Успехов!

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть