Рациональные числа
Рациональные числа — это целые и дробные числа (простые дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби).
Рациональные числа — подробнее
С простыми дробями понятно, а конечными десятичными называют дроби, у которых после запятой какое-то определенное число знаков, даже если их много.
А вот бесконечные периодические дроби – это дроби с периодически повторяющимися знаками после запятой. Не все обыкновенные дроби можно представить в виде конечной десятичной дроби.
Любое рациональное число можно представить как дробь, с числителем принадлежащим целым числам \( \displaystyle \left( \ldots -2,-1,\text{ }0,\text{ }1\ldots \right)\), а знаменателем – натуральным \( \displaystyle (1, 2, 3…)\).
Так при делении одного на три десятичная дробь получится бесконечной, но знаки после запятой будут повторяться, \( \displaystyle 1/3=0,333333\)… или как это еще записывают \( \displaystyle 0,(3)\), читается это как «ноль целых и три в периоде».
А бывает и так \( \displaystyle 85/63=1,(349206)\).
Так вот, периодические десятичные дроби тоже относятся к рациональным числам. Но не относятся к ним бесконечные непериодические десятичные дроби.
Это дроби, типа числа \( \displaystyle \pi \) \( \displaystyle (3,1415926535…)\), которые имеют бесконечное число знаков после запятой.
Такие дроби называются иррациональными. Так же к ним относятся корни, например: \( \displaystyle \sqrt{3}=1,732\).
Подведем итог:
Пять видов иррациональных чисел
- непериодические десятичные дроби \( \displaystyle (22,353335333335…)\);
- \( \displaystyle \sqrt{n}\) для любого натурального \(\displaystyle n\), не являющегося точным квадратом;
- \( \displaystyle {{e}^{x}}\) для любого рационального, где \( \displaystyle e =2,7182818…\);
- \( \displaystyle ln\text{ }x\) для любого положительного рационального; \(\displaystyle\text{x}\ne \text{1}\)
- \( \displaystyle \pi \), а также \( \displaystyle {{\pi }^{n}}\) для любого целого \(\displaystyle\text{n}\ne \text{0}\).
Все остальные смело можешь считать рациональными!
Пять видов рациональных чисел
- натуральные числа;
- целые числа;
- обыкновенные дроби;
- смешанные числа;
- конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.
Попробуй, отличи, какие числа тут рациональные, а какие – нет:
- \( \displaystyle 3/5\)
- \( \displaystyle 3\pi /2\)
- \( \displaystyle 0,18\)
- \( \displaystyle 0,666\ldots \)
- \( \displaystyle 4,10110011100011110000\ldots \)
- \( \displaystyle \sqrt{8}\)
- \( \displaystyle \sqrt{9}\)
Ответы:
- Рациональное
- Иррациональное
- Рациональное
- Рациональное
- Иррациональное
- Иррациональное
- Рациональное
Для закрепления пройденного материала предлагаю тебе прорешать еще несколько примеров.
- \( \displaystyle \frac{3}{5}:2\frac{2}{3}+3\frac{3}{8}-\frac{7}{5}\)
- \( \displaystyle \frac{3}{2}+1\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}-1\frac{2}{3}\)
- \( \displaystyle 0,75\cdot 2-0,2:\frac{1}{5}\)
Ответы
- \(\displaystyle\frac{3}{5}:2\frac{2}{3}+3\frac{3}{8}-\frac{7}{5}=\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{8}+\frac{27}{8}-\frac{7}{5}=\frac{9}{40}+\frac{135}{40}-\frac{56}{40}=\)
\( \displaystyle \displaystyle=\frac{88}{40}=\frac{11}{5}=2\frac{1}{5}\)
- 2. \( \displaystyle \frac{3}{2}+1\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}-1\frac{2}{3}=\frac{3}{2}+\frac{9}{10}-\frac{5}{3}=\frac{45}{30}+\frac{27}{30}-\frac{50}{30}=\frac{22}{30}=\frac{11}{15}\)
- \( \displaystyle 0,75\cdot 2-0,2:\frac{1}{5}=1,5-1=0,5\)
Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах
Сдай ЕГЭ на 90+ с автором этого учебника
Алексей Шевчук — учитель с 20-летним стажем
математика, информатика, физика
Запишитесь на занятия:
+7 (905) 541-39-06
alexei.shevchuk@youclever.org