Коротко о главном Начальный уровень

Параллельные прямые. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Параллельные прямые…Прежде всего: что это такое?

Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали.

Вот, как рельсы

параллельные прямые

Принято обозначение:

  – читается как   параллельна  .

Самым важным фактом, который нужно принять без доказательства (не только тебе, но и любому математику) для того, чтобы вся геометрия не развалилась и не превратилась в какую-то неузнаваемую теорию, является так называемая «аксиома параллельных прямых».

Часто ее еще называют «пятый постулат Евклида». Формулируем:

Аксиома параллельных прямых

Через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.
Параллельные прямые. Иллюстрация. Смотри: через любую точку   проходит только одна прямая  , которая параллельна  , все остальные будут пересекать прямую  .

Казалось бы: чего проще – ну , одна так одна… Но ты себе просто не представляешь, сколько споров вели математики на протяжении прямо-таки тысячелетий, прежде чем осознали истинную роль этой аксиомы о параллельных прямых. В конце концов , уже в 19-м веке, после открытий Лобачевского, Гаусса и других ученых стало ясно, что можно построить и другие виды геометрии, в которых не выполняется аксиома параллельных прямых, в которых ее можно выбросить, но эти геометрии уже оказываются не геометриями плоскости, а геометриями на каких-то хитрых поверхностях.

А наша привычная плоскость оттого и называется евклидовой, что при построении геометрии на ней, при решении всех задачек и доказательстве теорем мы считаем этот многострадальный пятый постулат Евклида выполнимым.

Ну вот, а теперь возникает два вопроса:

  1. Если где-то в задаче даны или оказались параллельными две какие-то прямые, то что? Как это использовать?
  2. А как вообще узнать, что какие-то прямые параллельны?

Ответ на первый вопрос называется «свойства параллельных прямых», а ответ на второй вопрос называется «признаки параллельных прямых».

Но прежде нам понадобится много названий, которые нужно запомнить, как таблицу умножения.

Итак, ситуация: две прямые пересечены третьей (она называется секущей)

Аксиома параллельных прямых. Иллюстрация.

Получается куча углов. Целых   штук.

Приняты такие названия этих углов:

Внутренние накрест лежащие углы. Иллюстрация.Внутренние накрест лежащие углы. Иллюстрация 2.

  и   называются внутренними накрест лежащими углами 

  и   – тоже внутренние накрест лежащие углы.

Название говорит само за себя:   и  , так же, как и   и   лежат «накрест» - по разные стороны от секущей и «внутри», между прямыми   и  .

Внутренние односторонние углы. Иллюстрация.Внутренние односторонние углы. Иллюстрация 2.   и   (а еще   и  ) называются внутренними односторонними углами. Они лежат с одной стороны от секущей и «внутри» между прямыми   и  .
Внешние односторонние углы. Иллюстрация.Внутренние односторонние углы. Иллюстрация 2.   и   (а еще   и  ) называются внешними односторонними углами (ты уже догадался, почему?)

И последнее название: соответственные углы.

Соответственные углы. Иллюстрация.Соответственные углы. Иллюстрация 2.Соответственные углы. Иллюстрация 3.Соответственные углы. Иллюстрация 4.

Это пары углов:

  •   и  
  •   и  
  •   и  
  •   и  

Обрати внимание,   и   лежат в одинаковых «соответственных» местах около точек   и  . То же можно сказать и об остальных перечисленных парах – посмотри на рисунок.

Свойства параллельных прямых

Напоминаем (а то отвлеклись на названия), что пытаемся ответить на вопрос: если  , то что?

И вот что:

Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:

  • Внутренние накрест лежащие углы равны
  • Соответственные углы равны
  • Сумма любых двух внутренних односторонних равна  

Запомни – все задачи с участием слова «параллельность» решаются с помощью этой теоремы о свойствах параллельных прямых.

А теперь, наоборот, признаки параллельных прямых.

Признаки параллельных прямых

То есть, как бы узнать, что прямые – параллельны?

Если две прямые (  и  ) пересечены третьей и оказалось, что

  • Какие-нибудь два накрест лежащих угла равны
    ИЛИ
  • Какие нибудь два соответственных угла равны
    ИЛИ
  • Сумма хоть каких-то двух внутренних односторонних равна  
    ИЛИ
  • Сумма хоть каких – то двух внешних односторонних равна  ,

то прямые   и   – параллельны

Заметь, что для того, чтобы установить параллельность прямых, достаточно выяснить, скажем, равенство всего двух углов (или накрест лежащих, или соответственных), а уже все остальное окажется , так сказать, бонусом.

Смотри-ка, вот схема:

Признаки параллельных прямых.