Параллельные прямые (ЕГЭ 2022)

Параллельные прямые – подарок судьбы в решении многих задач.

Они дают тебе множество равных углов! И на них основывается много признаков фигур.

Что, безусловно, будет очень полезно.

Читай эту статью – будешь знать о них все!

И получишь заслуженные баллы на ЕГЭ.

Параллельные прямые – коротко о главном

Определения:

Параллельные прямые – это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали: \( \displaystyle a\parallel b\).

Секущая – прямая, пересекающая две параллельные прямые: \( \displaystyle c\).

Аксиома параллельных прямых: через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

\( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 6\), \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle5\) – внутренние накрест лежащие углы;

\( \displaystyle \angle 5\) и \( \displaystyle \angle 4\), \( \displaystyle \angle 6\) и \( \displaystyle \angle 3\) – внутренние односторонние углы;

\( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 8\), \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 7\) – внешние односторонние углы;

\( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 5\), \( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 8\), \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 6\), \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle 7\) – соответственные углы.

Свойства параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:

внутренние накрест лежащие углы равны: \( \displaystyle \angle 3=\angle 5\), \( \displaystyle \angle 4=\angle 6\);

соответственные углы равны: \( \displaystyle \angle 1=\angle 5\), \( \displaystyle \angle 4=\angle 8\), \( \displaystyle \angle 2=\angle 6\), \( \displaystyle \angle 3=\angle 7\);

сумма любых двух внутренних односторонних углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \): \( \displaystyle \angle 3+\angle 6=180{}^\circ \), \( \displaystyle \angle 4+\angle 5=180{}^\circ \);

сумма любых двух внешних односторонних углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \): \( \displaystyle \angle 1+\angle 8=180{}^\circ \), \( \displaystyle \angle 2+\angle 7=180{}^\circ \).

Признаки параллельных прямых

Определение параллельных прямых

Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали.

Вот, как рельсы

Принято обозначение:

\( \displaystyle a//b\) – читается как \( \displaystyle a\) параллельна \( \displaystyle b\).

Самым важным фактом, который нужно принять без доказательства (не только тебе, но и любому математику) для того, чтобы вся геометрия не развалилась и не превратилась в какую-то неузнаваемую теорию, является так называемая «аксиома параллельных прямых».

Часто ее еще называют «пятый постулат Евклида». Формулируем:

Аксиома параллельных прямых или пятый постулат Евклида

Через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Смотри: через любую точку \( \displaystyle A\) проходит только одна прямая \( \displaystyle b\), которая параллельна \( \displaystyle a\), все остальные будут пересекать прямую \( \displaystyle a\).

Казалось бы: чего проще – ну, одна так одна…

Но ты себе просто не представляешь, сколько споров вели математики на протяжении прямо-таки тысячелетий, прежде чем осознали истинную роль этой аксиомы о параллельных прямых.

В конце концов, уже в 19-м веке, после открытий Лобачевского, Гаусса и других ученых стало ясно, что можно построить и другие виды геометрии, в которых не выполняется аксиома параллельных прямых, в которых ее можно выбросить, но эти геометрии уже оказываются не геометриями плоскости, а геометриями на каких-то хитрых поверхностях.

А наша привычная плоскость оттого и называется евклидовой, что при построении геометрии на ней, при решении всех задачек и доказательстве теорем мы считаем этот многострадальный пятый постулат Евклида выполнимым.

Ну вот, а теперь возникает два вопроса:

  1. Если где-то в задаче даны или оказались параллельными две какие-то прямые, то что? Как это использовать?
  2. А как вообще узнать, что какие-то прямые параллельны?

Ответ на первый вопрос называется «свойства параллельных прямых», а ответ на второй вопрос называется «признаки параллельных прямых».

Но прежде нам понадобится много названий, которые нужно запомнить, как таблицу умножения.

Термины: секущая, внутренние и внешние углы

Итак, ситуация: две прямые пересечены третьей (она называется секущей)

Получается куча углов. Целых \( \displaystyle 8\) штук.

Приняты такие названия этих углов:

\( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 6\) называются внутренними накрест лежащими углами

\( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle5\) – тоже внутренние накрест лежащие углы.

Название говорит само за себя: \( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 6\), так же, как и \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle5\) лежат «накрест» – по разные стороны от секущей и «внутри», между прямыми \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\).

\( \displaystyle \angle 5\) и \( \displaystyle \angle 4\) (а еще \( \displaystyle \angle 6\) и \( \displaystyle \angle 3\)) называются внутренними односторонними углами.

Они лежат с одной стороны от секущей и «внутри» между прямыми \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\).

\( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 8\) (а еще \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 7\)) называются внешними односторонними углами (ты уже догадался, почему?)

И последнее название: соответственные углы.

Это пары углов:

  • \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 5\)
  • \( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 8\)
  • \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 6\)
  • \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle 7\)

Обрати внимание, \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 5\) лежат в одинаковых «соответственных» местах около точек \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\). То же можно сказать и об остальных перечисленных парах – посмотри на рисунок.

Свойства параллельных прямых

Напоминаем (а то отвлеклись на названия), что пытаемся ответить на вопрос: если \( \displaystyle a//b\), то что?

И вот что:

Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:

  • Внутренние накрест лежащие углы равны
  • Соответственные углы равны
  • Сумма любых двух внутренних односторонних равна \( \displaystyle 180{}^\circ \)

Запомни – все задачи с участием слова «параллельность» решаются с помощью этой теоремы о свойствах параллельных прямых.

А теперь, наоборот, признаки параллельных прямых.

Признаки параллельных прямых

То есть, как бы узнать, что прямые параллельны?

Если две прямые (\( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\)) пересечены третьей и оказалось, что:

  • Какие-нибудь два накрест лежащих угла равны, ИЛИ
  • Какие нибудь два соответственных угла равны, ИЛИ
  • Сумма хоть каких-то двух внутренних односторонних равна \( \displaystyle 180{}^\circ \), ИЛИ
  • Сумма хоть каких – то двух внешних односторонних равна \( \displaystyle 180{}^\circ \),

то прямые \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) – параллельны

Заметь, что для того, чтобы установить параллельность прямых, достаточно выяснить, скажем, равенство всего двух углов (или накрест лежащих, или соответственных), а уже все остальное окажется , так сказать, бонусом.

Смотри-ка, вот схема:

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Слово самому умному – тебе! 🙂

Очень важно разобраться в том, что значит параллельность прямых в пространстве.

Ведь на ней основывается построение и свойства большинства фигур стереометрии!

А сегодня ты во всем разобрался!

Расскажи нам в комментариях ниже, понравилась ли тебе статья? Помогла ли она тебе?

А еще мы ответим на любые твои вопросы.

Мы читаем все.

Удачи!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Один комментарий

  1. Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Григорий
    09 мая 2018
    спасибо за подробную информацию!

    Александр (админ)
    09 мая 2018
    Пожалуйста, Григорий! Приходи еще и делись инфой с друзьями!

    Александр
    27 июня 2018
    Спасибо , очень помогает.

    Александр (админ)
    27 июня 2018
    Пожалуйста, Александр. Мы рады!))

    Елена
    03 июля 2018
    Класс!!!!!! Всё просто, понятно и наглядно. Легко усвоилось. Спасибо. Очень нужная информация.

    Александр (админ)
    03 июля 2018
    Отлично, Елена, что так помог наш текст. Делись им с друзьями, окажешь услугу и им и нам! И удачи на экзамене.

    Алексей
    17 сентября 2018
    очень понятно! Спасибо-о-о-о-о-о-о-о

    Александр (админ)
    17 сентября 2018
    Очень рады, Алексей! Спасибо и тебе.

    Никита
    25 декабря 2018
    Спасибо огромное. Кстати мне помогло в школе

    Александр (админ)
    25 декабря 2018
    Пожалуйста, Никита! Нам очень приятно.

    Виктор
    09 февраля 2020
    Весь материал полезен , но практически все можно найти в школьном учебнике. А вот это замечание : “…но эти геометрии уже оказываются не геометриями на плоскости, а геметриями на каких-то хитрых поверхностях.” – очень уместно. Сколько приходилось знакомиться с геометрией Лобачевского, везде авторы избегают этого разъяснения, а ведь оно сразу снимает все вопросы, возникающие у дилетанта.

    Александр (админ)
    09 февраля 2020
    Спасибо, Виктор.