Степень и ее свойства. Средний уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017Пройти пробный ОГЭ 2017

Определение.

Степенью называется выражение вида:  , где:

  •   основание степени;
  •   — показатель степени.

Степень с натуральным показателем {n = 1, 2, 3,...}

  1.  
  2.  
  3.  

Возвести число в натуральную степень n — значит умножить число само на себя   раз:

 

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}

Если показателем степени является целое положительное число:

 

Возведение в нулевую степень:

 .   – выражение неопределенное, т.к., с одной стороны,   в любой степени – это  , а с другой – любое число в   -ой степени – это  .

Если показателем степени является целое отрицательное число:

  (т.к. на   делить нельзя).

Еще раз о нулях: выражение   не определено в случае  . Если  , то  .

Примеры:

 

 

Степень с рациональным показателем

Если:

  •  ;
  •   — натуральное число;
  •   — целое число;

Тогда:

 

Примеры:

 

 

 

Свойства степеней

Произведение степеней  
 
Деление степеней  
 
Возведение степени в степень  

Чтобы проще было решать задачи, попробуем понять: откуда эти свойства взялись? Докажем их.

1.  

Посмотрим: что такое   и  ? По определению:

 

Сколько здесь множителей всего?Очень просто: к   множителям мы дописали   множителей, итого получилось   множителей.

Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:

 

Но по определению это степень числа   с показателем  , то есть:

 , что и требовалось доказать.

Пример: Упростите выражение  .

Решение:  .

Пример: Упростите выражение  .

Решение: Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания. Поэтому степени с основанием   мы объединяем, а   остается отдельным множителем:

 .

Еще одно важное замечание: это правило – только для произведения степеней!

Ни в коем случае нелья написать, что  .

2.  

Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:

 .

Перегруппируем это произведение так:

 .

Получается, что выражение   умножается само на себя   раз, то есть, согласно определению, это и есть  -я степень числа  :

 , ч.т.д.

По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме:  !

Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать  ? Но это неверно, ведь  .

Степень с отрицательным основанием.

До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени. Но каким должно быть основание? В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом. И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже  . Давайте подумаем, какие знаки (« » или « ») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел? Например, положительным или отрицательным будет число  ? А  ?  ? С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным. Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть,  , или  . Но если мы   умножим на ( ), получится – . И так до бесконечности: при каждом следующем умножении знак будет меняться. Можно сформулировать такие простые правила:

  1. Отрицательное число, возведенное в четную степень, – число положительное.
  2. Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, – число отрицательное.
  3. Положительное число в любой степени – число положительное.
  4. Ноль в любой степени равен нулю.

Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:

1.    2.    3.  
 4.    5.    6.  

Справился? Вот ответы:

1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  ; 5)  ; 6)  .

В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.

В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание – степень четная, а значит, результат всегда будет положительным. Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно  ? Очевидно нет, так как   (потому что  ).

Пример 6) уже не так прост. Тут нужно узнать, что меньше:   или  ? Если вспомнить, что  , становится ясно, что  , а значит, основание меньше нуля. То есть, применяем правило 2: результат будет отрицательным.

3.  

И снова используем определение степени:

 

Здесь, очевидно, можем сократить. Но с одной оговоркой: чтобы степень получилась натуральная, нам придется предположить, что  (то есть, в числителе множителей должно быть больше, чем в знаменателе). Тогда   множителей числителя сокращаются со всеми   множителями знаменателя. Таким образом множители остаются только в числителе, причем в количестве   штук:

 , ч.т.д.

4.  

Все как обычно – записываем определение степеней   и  , делим их друг на друга, разбиваем на пары   и получаем:

 , ч.т.д.

Прежде чем разобрать последнее правило, решим несколько примеров.

Вычисли значения выражений:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

Решения:

1.  

2.  

3.  

4.  

 

 

5.  

 

Если не обращать внимание на восьмую степень, что мы здесь видим? Вспоминаем программу 7 класса. Итак, вспомнили? Это формула сокращенного умножения, а именно – разность квадратов!

Получаем:  

6.  

Внимательно смотрим на знаменатель. Он очень похож на один из множителей числителя, но что не так? Не тот порядок слагаемых. Если бы их поменять местами, можно было бы применить правило 3. Но как это сделать? Оказывается, очень легко: здесь нам помогает четная степень знаменателя.

Если домножить его на  , ничего не поменяется, верно? Но теперь получается следующее:

 .

Магическим образом слагаемые поменялись местами. Это «явление» применимо для любого выражения в четной степени: мы можем беспрепятственно менять знаки в скобках. Но важно запомнить: меняются все знаки одновременно! Нельзя заменить   на  , изменив только один неугодный нам минус!

Вернемся к примеру:

 

 

 

И снова формула:

 

Итак, теперь последнее правило:

5.  

Как будем доказывать? Конечно, как обычно: раскроем понятие степени и упростим:

 

 

Ну а теперь раскроем скобки. Сколько всего получится букв  ?   раз по   множителей – что это напоминает? Это не что иное, как определение операции умножения: всего там оказалось множителей. То есть, это, по определению, степень числа   с показателем  :

 , ч.т.д.

Пример:

 

 

Степень с иррациональным показателем

В дополнение к информации о степенях для среднего уровня, разберем степень с иррациональным показателем. Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением   – ведь по определению иррациональные числа – это числа, которые невозможно представить в виде дроби  , где   и   – целые числа (то есть, иррациональные числа – это все действительные числа, кроме рациональных).

При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах. Например, степень с натуральным показателем – это число, несколько раз умноженное само на себя; число в нулевой степени – это как-бы число, умноженное само на себя   раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось – поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число  ; степень с целым отрицательным показателем – это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.

Вообразить степень с иррациональным показателем крайне сложно (так же, как сложно представить 4-мерное пространство). Это, скорее, чисто математический объект, который математики создали, чтобы расширить понятие степени на все пространство чисел.

Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель – это даже не действительное число. Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.

Итак, что мы делаем, если видим иррациональный показатель степени? Всеми силами пытаемся от него избавиться!:)

Например:  

Или:  

И еще:  .

Реши самостоятельно:

1)   2)   3)  

Ответы:

  1. Вспоминаем формулу разность квадратов. Ответ:  .
  2. Приводим дроби к одинаковому виду: либо обе десятичные, либо обе обычные. Получим, например:  .
  3. Ничего особенного, применяем обычные свойства степеней:
     

Спасибо за сообщение!

Ваше сообщение принято. В ближайшее время мы все исправим и проинформируем Вас по email о результатах!

Ok

Мы свяжемся с Вами в ближайшее время! А пока можете продолжить изучать сайт!

Ok