17 июля

2 comments

Формулы сокращенного умножения (ЕГЭ – 2021)

1. Квадрат суммы

\( \displaystyle {{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\)

2. Квадрат разности

\( \displaystyle {{(a-b)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\)

3. Разность квадратов

\( \displaystyle {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=(a-b)(a+b)\)

4. Куб суммы

\( \displaystyle {{(a+b)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\)

5. Куб разности

\( \displaystyle {{(a-b)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\)

6. Сумма кубов

\( \displaystyle {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=(a+b)({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}})\)

7. Разность кубов

\( \displaystyle {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=(a-b)({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}})\)

ИСЧЕРПЫВАЮЩИЙ ВИДЕОГИД ПО ФОРМУЛАМ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Разбор 119 задач. От самых простых до самых сложных

Это видео - пример видеоурока из нашей Программы подготовки к ЕГЭ по математике на 90+ балловпо цене чашки кофе за занятие с репетитором.

Цель этого видеогида - выучить (или вспомнить) все формулы сокращённого умножения и научиться применять их. 

Сначала прочитай всю статью, а потом реши задачи вместе с репетитором по видеогиду и у тебя никогда больше не будет проблем с этой темой.

Эти формулы нужны для задачи №9 – на преобразование выражений. 

Также они нужны для решения уравнений и неравенств, очень часто восстребованы в задачах №13 и 15, а в 18 задаче без них вообще нечего делать.

На уроке решим около 100 задач на эти формулы:

Разность квадратов

  • как быстро раскрыть скобки в выражениях типа (a-b)(a+b)
  • как раскладывать разность квадратов на множители (то есть на произведение двух скобок)
  • как вычислять страшные числа, такие как (1372 – 1132).

Квадрат суммы и квадрат разности 

  • это очень похожие друг на друга формулы
  • как быстро возводить скобки в квадрат – например, (2x+3)2
  • как распознавать, что выражение является квадратом суммы или разности. Например, (4x2– 12x + 9) – это то же самое, что (2x+3)2.

Выделение полного квадрата

  • это невероятно полезный и мощный метод – его можно применять от квадратных уравнений до задач с параметром
  • например, из выражения 4x2 – 12x + 8 можно выделить полный квадрат разности: 4x2 – 12x+ 8 = (2x + 3)2 – 1.
  • как понять, что идёт в скобки, а что остаётся за ними.

Сумма кубов, разность кубов, куб суммы и куб разности

  • иногда встречаются в сложных уравнениях

7 ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ. НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Как мне могут пригодиться эти формулы сокращенного умножения?!

Хороший вопрос... Вот тебе пример из жизни.

У тебя есть квадратная комната 103 на 103 метра (хорошая комната, правда?) и тебе нужно застелить ее плитками метр на метр. Сколько нужно плиток? Продавец – твой друг – говорит, что тебе нужно "около 12000 плиток".

Проверять его расчеты тебе не удобно, но ты можешь посчитать в уме! С помощью формул сокращенного умножения.

Просто представь 103, как сумму 100 и 3 и возведи ее в квадрат:

\( \displaystyle {{103}^{2}}={{\left( 100+3 \right)}^{2}}={{100}^{2}}+2\cdot 100\cdot 3+{{3}^{2}}=10000+600+9=10609 \)

Смекаешь?

С помощью формул сокращенного умножения можно легко в уме находить квадраты больших чисел.

На экзамене можно проверить БЫСТРО свои расчеты в сложных примерах, а также приводить многочлен к стандартному виду (без раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых).

Иными словами это сильно экономит время при решении самых разных задач!

А время — очень ценная штука.

Хватить болтать! Пора за дело!

  • Квадрат суммы:
    \( \displaystyle {{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\)
  • Квадрат разности:
    \( \displaystyle {{(a-b)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\)
  • Разность квадратов:
    \( \displaystyle {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=(a-b)(a+b)\)
  • Куб суммы:
    \( \displaystyle {{(a+b)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\)
  • Куб разности:
    \( \displaystyle {{(a-b)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\)
  • Сумма кубов:
    \( \displaystyle {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=(a+b)({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}})\)
  • Разность кубов:
    \( \displaystyle {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=(a-b)({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}})\)

Название «Формулы сокращенного умножения» совсем не случайно.

Возьмем самую простую первую формулу квадрат суммы \( {{\left( a+b \right)}^{2}}\) - и попробуем последовательно возвести сумму в скобках в квадрат, то есть, умножить \( \left( a+b \right)\) само на себя:

Посмотри, что еще можно сделать с тем выражением, которое у нас получилось? Правильно, привести подобные слагаемые:

Таким образом выводятся все формулы сокращенного умножения. Ты можешь выводить их каждый раз самостоятельно, а можешь не тратить на это время и быстро посчитать необходимый пример, зная конечное значение формул.

Конечно, квадрат суммы посчитать вручную не так сложно, но что ты скажешь насчет куба суммы или куба разности? Куб суммы означает, что необходимо \( \left( a+b \right)\) само умножить на себя три раза:

И это мы расписали перемножение только первой скобки, а тоже самое необходимо сделать со второй и с третьей… Согласись, запутаться очень легко, а, как правило, от того, как ты посчитаешь это простое действие, зависит ответ всего примера.

Таким образом, формулы сокращенного умножения позволяют сократить трудоемкое перемножение членов друг на друга и получить быстрый результат.

Как выводится формула для квадрата суммы, мы описали ранее. Попробуем произвести аналогичные действия с квадратом разности.

Квадрат разности означает умножить \( \left( a-b \right)\) само на себя. Попробуй вывести формулу для данного выражения самостоятельно, по аналогии с квадратом суммы.

Справился? Посмотрим, как ты раскрыл скобки:

Что мы делаем дальше? Правильно, приводим подобные слагаемые:

Ты наверняка уже заметил некую закономерность? Присмотрись внимательно к формулам квадрат суммы и квадрат разности. В чем их отличие?

Конечно, ты увидел, что если мы возводим в квадрат разность между \( a\) и \( b\), то мы вычитаем их удвоенное произведение, а если возводим в квадрат сумму, то прибавляем.

При возведении разности и суммы в квадрат, не забывай про удвоенное произведение чисел \( a\) и \( b\)! Это грубейшая и самая распространенная ошибка!

Попробуй таким способом вычислить следующие выражения:

  1. 1
    \( {{102}^{2}}\);
  2. 2
    \( {{119}^{2}}\);
  3. 3
    \( {{151}^{2}}\).

Ответы:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите доступ к нему 

1. \( {{102}^{2}}={{\left( 100+2 \right)}^{2}}={{100}^{2}}+2\cdot 100\cdot 2+{{2}^{2}}=10000+400+4=10404\)

2. \( {{119}^{2}}={{\left( 120-1 \right)}^{2}}={{120}^{2}}-2\cdot 120\cdot 1+{{1}^{2}}=14400-240+1=14161\).

Тебе может показаться, что посчитать \( {{120}^{2}}\) это сложно, но ты можешь преобразовать это в выражение:

\( {{120}^{2}}=\left( 100+20 \right)^{2}={{100}^{2}}+2\cdot 100\cdot 20+{{20}^{2}}=10000+4000+400=14400\)

Либо, если ты знаешь квадраты основных двухзначных чисел, вспомни, сколько будет \( {{12}^{2}}\)? Вспомнил? \( {{12}^{2}}=144\). Отлично! Так как мы возводим в квадрат \( 120\), то мы должны умножить \( 144\) на \( 100\) \( \left( {{10}^{2}}=100 \right)\). Получается, что \( {{120}^{2}}=14400\).

3. \( {{151}^{2}}={{\left( 150+1 \right)}^{2}}={{150}^{2}}+2\cdot 150\cdot 1+{{1}^{2}}=22500+300+1=22801\)

Помни, что формулы квадрат суммы и квадрат разности справедливы не только для числовых выражений:

\( {{\left( 4a+3 \right)}^{2}}={{\left( 4a \right)}^{2}}+2\cdot 4a\cdot 3+{{3}^{2}}=16{{a}^{2}}+24a+9\).

Посчитай самостоятельно следующие выражения:

  1. 1
    \( {{(2b+3c)}^{2}}\);
  2. 2
    \( {{(b+4a)}^{2}}\);
  3. 3
    \( {{(12-5a)}^{2}}\).

Ответы:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите доступ к нему 

  1. 1
    \( {{\left( 2b+3c \right)}^{2}}=4{{b}^{2}}+12bc+9{{c}^{2}}\);
  2. 2
    \( {{\left( b+4a \right)}^{2}}={{b}^{2}}+8ba+16{{a}^{2}}\);
  3. 3
    \( {{\left( 12-5a \right)}^{2}}={{12}^{2}}-120a+25{{a}^{2}}=144-120a+25{{a}^{2}}\).

 

Подведем небольшой итог и запишем формулы квадрата суммы и разности в одну строку:

\( {{\left( a\pm b \right)}^{2}}={{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}\)

Теперь потренируемся «собирать» формулу из разложенного вида \( {{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}\) в вид \( {{\left( a\pm b \right)}^{2}}\). Данный навык понадобится нам в дальнейшем при преобразовании больших выражений.

Допустим, у нас есть следующее выражение:

\( 16+24b+9{{b}^{2}}\).

Мы знаем, что квадрат суммы (или разности) – это квадрат одного числа \( +\) квадрат другого числа и \( \pm \) удвоенное произведение этих чисел.

В данной задаче легко увидеть квадрат одного числа – это \( 9{{b}^{2}}\). Соответственно, одно из чисел, входящих в скобку \( {{\left( a\pm b \right)}^{2}}\) , - это квадратный корень из \( 9{{b}^{2}}\), то есть

\( {{\left( 3b \right)}^{2}}=9{{b}^{2}}\)

Так как во втором слагаемом есть \( b\), значит, это удвоенное произведение одного и другого числа, соответственно:

\( 24b=2\cdot 3b\cdot x\), где \( \displaystyle x\) – второе число, входящее в нашу скобку.

\( x=\frac{24b}{6b}=4\). Второе число, входящее в скобку, равно \( \displaystyle 4\).

Проверим. \( \displaystyle 16\) должно быть равно \( {{4}^{2}}\). Действительно, так и есть, значит, мы нашли оба числа, присутствующие в скобках: \( 4\) и \( 3b\). Осталось определить знак, который стоит между ними. Как ты думаешь, что за знак там будет?

Правильно! Так как мы прибавляем удвоенное произведение, то между числами будет стоять знак сложения. Теперь запиши преобразованное выражение. Справился? У тебя должно получиться следующее:

\( 16+24b+9{{b}^{2}}={{\left( 4+3b \right)}^{2}}\)

Заметь: перемена мест слагаемых не сказывается на результате (неважно, сложение или вычитание стоит между \( a\) и \( b\)).

\( 16+24b+9{{b}^{2}}={{\left( 4+3b \right)}^{2}}={{\left( 3b+4 \right)}^{2}}\)

Совершенно необязательно, чтобы слагаемые в преобразуемом выражении стояли так, как написано в формуле. Посмотри на это выражение: \( 12b+9+4{{b}^{2}}\). Попробуй преобразовать его самостоятельно. Получилось?

\( 12b+9+4{{b}^{2}}=2\cdot 3\cdot 2b+{{3}^{2}}+{{\left( 2b \right)}^{2}}={{\left( 2b+3 \right)}^{2}}\)

Потренируйся – преобразуй следующие выражения:

  1. 1
    \( 16{{b}^{2}}-8b+1\);
  2. 2
    \( 25+4{{a}^{2}}+20a\);
  3. 3
    \( -42c+9{{c}^{2}}+49\).

Ответы:

  1. 1
    \( 16{{b}^{2}}-8b+1={{\left( 4b-1 \right)}^{2}}={{\left( 1-4b \right)}^{2}}\) - докажи, что это равносильно;
  2. 2
    \( 25+4{{a}^{2}}+20a={{\left( 2a+5 \right)}^{2}}\);
  3. 3
    \( -42c+9{{c}^{2}}+49={{\left( 3c-7 \right)}^{2}}\).

Справился? Закрепим тему. Выбери из приведенных ниже выражений те, которые можно представить в виде квадрата суммы или разности.

  1. 1
    \( 4{{b}^{2}}-8b+9\);
  2. 2
    \( 25+9{{a}^{2}}+30a\);
  3. 3
    \( 9{{a}^{2}}+81-54a\).

Ответы:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите доступ к нему 

  1. 1
    \( 4{{b}^{2}}-8b+9\)– нельзя представить как квадрат; можно было бы представить, если вместо \( 8b\) было \( 12b\);
  2. 2
    \( 25+9{{a}^{2}}+30a={{\left( 3a+5 \right)}^{2}}\);
  3. 3
    \( 9{{a}^{2}}+81-54a={{\left( 3a-9 \right)}^{2}}\).

Еще одна формула сокращенного умножения – разность квадратов.

Разность квадратов — это не квадрат разности!

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

\( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\)

Проверим, верна ли эта формула. Для этого перемножим \( \left( a-b \right)\left( a+b \right)\), как делали при выведении формул квадрата суммы и разности:

Что мы делаем дальше? Правильно! Приводим подобные слагаемые и получаем:

Таким образом, мы только что удостоверились, что формула действительно верная. Данная формула также упрощает сложные вычислительные действия. Приведем пример:

Необходимо вычислить: \( {{145}^{2}}-{{45}^{2}}\). Конечно, мы можем возвести в квадрат \( 145\), затем возвести в квадрат \( 45\) и вычесть одно из другого, но формула упрощает нам задачу:

\( {{145}^{2}}-{{45}^{2}}=\left( 145-45 \right)\cdot \left( 145+45 \right)=100\cdot 190=19000\)

Попробуй самостоятельно посчитать следующие выражения:

  1. 1
    \( {{135}^{2}}-{{15}^{2}}\);
  2. 2
    \( {{200}^{2}}-{{180}^{2}}\);
  3. 3
    \( {{19}^{2}}-{{6}^{2}}\).

Получилось? Сверим результаты:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите доступ к нему 

  1. 1
    \( {{135}^{2}}-{{15}^{2}}=\left( 135-15 \right)\left( 135+15 \right)=120\cdot 150=18000\);
  2. 2
    \( {{200}^{2}}-{{180}^{2}}=\left( 200-180 \right)\left( 200+180 \right)=20\cdot 380=7600\);
  3. 3
    \( {{19}^{2}}-{{6}^{2}}=\left( 19-6 \right)\left( 19+6 \right)=13\cdot 25=325\).

Так же, как и квадрат суммы (разности), формула разности квадратов может применяться не только с числами:

\( {{\left( 3a \right)}^{2}}-{{7}^{2}}=\left( 3a-7 \right)\cdot \left( 3a+7 \right)\)

Умение раскладывать разность квадратов поможет нам преобразовывать сложные математические выражения.

Обрати внимание:

\( {{\left( 3a \right)}^{2}}-{{7}^{2}}\ne 3{{a}^{2}}-{{7}^{2}}\)

Поскольку \( 3={{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}\), при разложении на квадрат разности правого выражения мы получим

\( 3{{a}^{2}}-{{7}^{2}}={{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{7}^{2}}=\left( a\sqrt{3}-7 \right)\left( a\sqrt{3}+7 \right)\).

Будь внимателен и смотри, какое конкретное слагаемое возводится в квадрат! Для закрепления темы преобразуй следующие выражения:

  1. 1
    \( 49{{a}^{2}}-{{b}^{2}}\);
  2. 2
    \( 3{{a}^{2}}-5\);
  3. 3
    \( {{(5a)}^{2}}-3\);
  4. 4
    \( {{(9a)}^{2}}-81\).

Записал? Сравним полученные выражения:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите доступ к нему 

  1. 1
    \( 49{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( 7a-b \right)\cdot \left( 7a+b \right)\);
  2. 2
    \( 3{{a}^{2}}-5=\left( \sqrt{3} \cdot a-\sqrt{5} \right)\cdot \left( \sqrt{3} \cdot a+\sqrt{5} \right)\);
  3. 3
    \( {{\left( 5a \right)}^{2}}-3=\left( 5a-\sqrt{3} \right)\cdot \left( 5a+\sqrt{3} \right)\);
  4. 4
    \( {{\left( 9a \right)}^{2}}-81=\left( 9a-9 \right)\cdot \left( 9a+9 \right)\).

Теперь, когда ты усвоил квадрат суммы и квадрат разности, а также разность квадратов, попробуем решать примеры на комбинацию этих трех формул.

Допустим, нам дан пример

\( \frac{9{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+6ab}{\left( 3a+b \right)\left( 3a-b \right)}\).

Необходимо упростить данное выражение. Посмотри внимательно, что ты видишь в числителе? Правильно, числитель - это полный квадрат:

\( \frac{9{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+6ab}{\left( 3a+b \right)\left( 3a-b \right)}=\frac{{{\left( 3a+b \right)}^{2}}}{\left( 3a+b \right)\left( 3a-b \right)}=\frac{\left( 3a+b \right)}{\left( 3a-b \right)}\)

Упрощая выражение, помни, что подсказка, в какую сторону двигаться в упрощении, находится в знаменателе (или в числителе). В нашем случае, когда знаменатель разложен, и больше ничего сделать нельзя, можно понять, что числителем будет либо квадрат суммы, либо квадрат разности. Так как мы прибавляем \( 6ab\), то становится ясно, что числитель – квадрат суммы.

Попробуй самостоятельно преобразовать следующие выражения:

  1. 1
    \( \frac{64{{a}^{2}}-36}{64{{a}^{2}}+36-96}=\frac{\left( 8a-6 \right)\cdot \left( 8a+6 \right)}{{{\left( 8a-6 \right)}^{2}}}=\frac{\left( 8a+6 \right)}{\left( 8a-6 \right)}\);
  2. 2
    \( \frac{\left( 4a+2b \right)\left( 4a-2b \right)}{16{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}-16ab}=\frac{\left( 4a+2b \right)\left( 4a-2b \right)}{{{\left( 4a-2b \right)}^{2}}}=\frac{\left( 4a+2b \right)}{\left( 4a-2b \right)}=\frac{2\left( 2a+b \right)}{2\left( 2a-b \right)}=\frac{\left( 2a+b \right)}{\left( 2a-b \right)}\);
  3. 3
    \( \frac{\left( 2a+3c \right)\left( 2a-3c \right)}{4{{a}^{2}}-9{{c}^{2}}}=\frac{\left( 2a+3c \right)\left( 2a-3c \right)}{\left( 2a+3c \right)\left( 2a-3c \right)}=1\).

Чтобы получить полный доступ к этой и другим статьям учебника YouClever, Вам необходимо оплатить курс.

На курсе Вы научитесь решать любые задачи так, чтобы получить 

90+ баллов на ЕГЭ

4-5 Куб суммы и куб разности

Формулы куба суммы и куба разности выводятся аналогичным образом, как квадрат суммы и квадрат разности: раскрытием скобок при перемножении членов друг на друга.

Если квадрат суммы и квадрат разности запомнить весьма легко, то возникает вопрос «как запомнить кубы?»

Посмотри внимательно на две описываемые формулы в сравнении с возведением аналогичных членов в квадрат:

\( {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\)

\( {{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\)

\( {{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\)

\( {{\left( a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\)

Какую ты видишь закономерность?

  • При возведении в квадрат у нас есть квадрат первого числа и квадрат второго; при возведении в куб – есть куб одного числа и куб другого числа.
  • При возведении в квадрат, у нас есть удвоенное произведение чисел (числа в 1 степени, что на одну степень меньше чем та, в которую возводим выражение); при возведении в кубутроенное произведение, при котором одно из чисел возводится в квадрат (что так же на 1 степень меньше, чем степень, в которую возводим выражение).
  • При возведении в квадрат знак в скобках в раскрытом выражении отражается при прибавлении (или вычитании) удвоенного произведения – если в скобках сложение, то прибавляем, если вычитание – отнимаем; при возведении в куб правило такое: если у нас куб суммы, то все знаки «+», а если куб разности, то знаки чередуются: «\( +\)» - «\( -\)» - «\( +\)» - «\( -\)».

Всё перечисленное, кроме зависимости степеней при умножении членов, изображено на рисунке.

Потренируемся? Раскрой скобки в следующих выражениях:

  1. 1
    \( {{(4a+2)}^{3}}\);
  2. 2
    \( {{(2b-4)}^{3}}\);
  3. 3
    \( {{(3c+1)}^{3}}\);
  4. 4
     \( {{(5a+2b)}^{3}}\).

Сравни полученные выражения:

  1. 1
    \( {{(4a+2)}^{3}}=64{{a}^{3}}+96{{a}^{2}}+48a+8\);
  2. 2
    \( {{(2b-4)}^{3}}=8{{b}^{3}}-48{{b}^{2}}+96b-64\);
  3. 3
    \( {{(3c+1)}^{3}}=27{{c}^{3}}+27{{c}^{2}}+9c+1\);
  4. 4
     \({{(5a+2b)}^{3}}=125{{a}^{3}}+150{{a}^{2}}b+60a{{b}^{2}}+8{{b}^{3}}\).

Рассмотрим последнюю пару формул разность и сумму кубов.

Как мы помним, в разности квадратов у нас идет перемножение разности и суммы данных чисел одно на другое. В разности кубов и в сумме кубов также имеется две скобки:

\( {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\);

\( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\).

1 скобка – разность (или сумма) чисел в первой степени (в зависимости от того, разность или сумму кубов мы раскрываем);

2 скобка – неполный квадрат (присмотрись: если бы мы вычитали (или прибавляли) удвоенное произведение чисел, был бы квадрат), знак при перемножении чисел противоположный знаку изначального выражения.

Для закрепления темы решим несколько примеров:

  1. 1
    \( {{(3a)}^{3}}-1\);
  2. 2
    \( {{(4c)}^{3}}+125\);
  3. 3
    \( 8{{a}^{3}}-{{b}^{3}}\).

Сравни полученные выражения:

  1. 1
    \( {{(3a)}^{3}}-1=(3a-1)(9{{a}^{2}}+3a+1)\);
  2. 2
    \( {{(4c)}^{3}}+125=(4c+5)(16{{c}^{2}}-20c+25)\);
  3. 3
    \( 8{{a}^{3}}-{{b}^{3}}={{(2a)}^{3}}-{{b}^{3}}=(2a-b)(4{{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}})\).
  1. 1
    \( {{(3a)}^{3}}-{{(2b)}^{3}}\);
  2. 2
    \( 64{{a}^{2}}-1\);
  3. 3
    \( {{(3a+2c)}^{3}}\).

Ответы:

  1. 1
    \( {{(3a)}^{3}}-{{(2b)}^{3}}=(3a-2b)(9{{a}^{2}}+6ab+4{{b}^{2}})\);
  2. 2
    \( 64{{a}^{2}}-1=(8a-1)(8a+1)\);
  3. 3
    \({{(3a+2c)}^{3}}=27{{a}^{3}}+54{{a}^{2}}c+36a{{c}^{2}}+8{{c}^{3}}\).

Существует 7 формул сокращенного умножения:

\( \begin{array}{l}\left[ 1 \right]\ \ \ \ {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\\\left[ 2 \right]\ \ \ \ {{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\\\left[ 3 \right]\ \ \ \ {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\\\left[ 4 \right]\ \ \ \ {{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\\\left[ 5 \right]\ \ \ \ {{\left( a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\\\left[ 6 \right]\ \ \ \ {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\\\left[ 7 \right]\ \ \ \ {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\end{array}\)

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ. ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

Формулы сокращенного умножения – это формулы, зная которые можно избежать выполнения некоторых стандартных действий при упрощении выражений или разложении многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть!

  • Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
    \( {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\)
  • Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
    \( {{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\)
  • Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:
    \( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\)
  • Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения:
    \( {{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\)
  • Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения:
    \( {{\left( a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\)
  • Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений:
    \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\)
  • Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений:
    \( {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\)

Теперь докажем все эти формулы!

Доказательства формул сокращенного умножения

1. \( {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\).

Возвести выражение в квадрат - значит умножить его само на себя:
\( {{\left( a+b \right)}^{2}}=\left( a+b \right)\left( a+b \right)\).

Раскроем скобки и приведем подобные:

\( {{\left( a+b \right)}^{2}}=\left( a+b \right)\left( a+b \right)={{a}^{2}}+\underline{ab}+\underline{ba}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\).

2. \( {{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\).

Делаем то же самое: умножаем разность саму на себя, раскрываем скобки и приводим подобные:

\( {{\left( a-b \right)}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a-b \right)={{a}^{2}}-\underline{ab}-\underline{ba}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\).

3. \( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\).

Возьмем выражение в правой части и раскроем скобки:

\( \left( a-b \right)\left( a+b \right)={{a}^{2}}+\underline{ab}-\underline{ba}-{{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}\).

4. \( {{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\).

Число в кубе можно представить как это число умноженное на свой квадрат:

\( \displaystyle {{\left( a+b \right)}^{3}}={{\left( a+b \right)}^{2}}\cdot \left( a+b \right)=\underbrace{\left( {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}} \right)}_{квадрат\ суммы}\left( a+b \right)=\)

\( \displaystyle={{a}^{3}}+\underline{{{a}^{2}}b}+\underline{2{{a}^{2}}b}+\underline{\underline{2a{{b}^{2}}}}+\underline{\underline{{{b}^{2}}a}}+{{b}^{3}}=\)

\( \displaystyle={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\)

5. \( \displaystyle {{\left( a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\)

Аналогично:

\( \displaystyle {{\left( a-b \right)}^{3}}={{\left( a-b \right)}^{2}}\cdot \left( a-b \right)=\underbrace{\left( {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \right)}_{\text{квадрат}\ \ разности}\left( a-b \right)=\)

\( \displaystyle {{a}^{3}}-\underline{{{a}^{2}}b}-\underline{2{{a}^{2}}b}+\underline{\underline{2a{{b}^{2}}}}+\underline{\underline{{{b}^{2}}a}}-{{b}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\)

В разности кубов знаки чередуются.

6. \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\).

Раскроем скобки в правой части:
\( \left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)={{a}^{3}}-\underline{{{a}^{2}}b}+\underline{\underline{a{{b}^{2}}}}+\underline{{{a}^{2}}b}-\underline{\underline{a{{b}^{2}}}}+{{b}^{3}}={{a}^{3}}+{{b}^{3}}\).

7. \( {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\).

Раскроем скобки в правой части:

\( \left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)={{a}^{3}}+\underline{{{a}^{2}}b}+\underline{\underline{a{{b}^{2}}}}-\underline{{{a}^{2}}b}-\underline{\underline{a{{b}^{2}}}}-{{b}^{3}}={{a}^{3}}-{{b}^{3}}\).

Пример 1:

Найдите значение выражений:

  1. 1
    \( {{\left( 60+1 \right)}^{2}}\);
  2. 2
    \( {{97}^{2}}\).

Решение:

  1. 1
    Используем формулу квадрат суммы:\( {{\left( 60+1 \right)}^{2}}={{60}^{2}}+2\cdot 60\cdot 1+{{1}^{2}}=3600+120+1=3721\).
  2. 2
    Представим это число в виде разности и используем формулу квадрата разности:\( {{97}^{2}}={{\left( 100-3 \right)}^{2}}={{100}^{2}}-2\cdot 100\cdot 3+{{3}^{2}}=10000-600+9=9409\).

Пример 2:

Найдите значение выражения: \( \frac{{{48}^{2}}-{{22}^{2}}}{{{79}^{2}}-{{51}^{2}}}\).

Решение:

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим:

\( \frac{{{48}^{2}}-{{22}^{2}}}{{{79}^{2}}-{{51}^{2}}}=\frac{\left( 48+22 \right)\left( 48-22 \right)}{\left( 79+51 \right)\left( 79-51 \right)}=\frac{70\cdot 26}{130\cdot 28}=\frac{7\cdot 13}{13\cdot 14}=\frac{1}{2}=0,5\).

Пример 3:

Упростите выражение:

\( {{\left( x-y \right)}^{2}}-{{\left( x+y \right)}^{2}}\).

Решение двумя способами:

I способ

Воспользуемся формулами квадрат суммы и квадрат разности:

\( \displaystyle {{\left( x-y \right)}^{2}}-{{\left( x+y \right)}^{2}}={{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}} \right)=\)

\( \displaystyle={{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-2xy-{{y}^{2}}=-4xy.\)

II способ

Воспользуемся формулой разности квадратов двух выражений:

\( \displaystyle {{\left( x-y \right)}^{2}}-{{\left( x+y \right)}^{2}}=\left( \left( x-y \right)+\left( x+y \right) \right)\left( \left( x-y \right)-\left( x+y \right) \right)=\)

\( \displaystyle=\left( x-y+x+y \right)\left( x-y-x-y \right)=2x\cdot \left( -2y \right)=-4xy.\)

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

  • Квадрат суммы:
    \( \displaystyle {{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\)
  • Квадрат разности:
    \( \displaystyle {{(a-b)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\)
  • Разность квадратов:
    \( \displaystyle {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=(a-b)(a+b)\)
  • Куб суммы:
    \( \displaystyle {{(a+b)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\)
  • Куб разности:
    \( \displaystyle {{(a-b)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\)
  • Сумма кубов:
    \( \displaystyle {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=(a+b)({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}})\)
  • Разность кубов:
    \( \displaystyle {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=(a-b)({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}})\)

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Теперь тебе слово...

Я рассказал все, что знаю о формулах сокращенного умножения.

Расскажи теперь ты будешь ли ты ими пользоваться? Если нет, то почему?

Как тебе эта статья?

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши в комментариях. Мы читаем все комментарии и отвечаем на все.

И удачи на экзаменах!

  • Дамир4ик:

    просто огонь, шикарно, я очень благодарен за такое понятное и доступное объяснение, уважаю и люблю) Спасибо за ваш труд!

    • Александр Кель:

      Спасибо большое, Дамир4ик. Очень приятно слышать. Заходите еще )

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >