Формулы сокращенного умножения. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Итак, формулы сокращенного умножения… Все мы слышали о них и видели эти формулы:

$latex \begin{array}{l}\left[ 1 \right]\ \ \ \ {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\\\left[ 2 \right]\ \ \ \ {{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\\\left[ 3 \right]\ \ \ \ {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\\\left[ 4 \right]\ \ \ \ {{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\\\left[ 5 \right]\ \ \ \ {{\left( a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\\\left[ 6 \right]\ \ \ \ {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\\\left[ 7 \right]\ \ \ \ {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\end{array}$

Но, как правило, мало кто понимает зачем запоминать эти формулы? Как они могут пригодиться при расчетах? И еще один важный вопрос КАК их можно вообще ЗАПОМНИТЬ?! Поговорим обо всем по порядку, но сначала затронем вопрос о применении их на практике.

Квадрат суммы и квадрат разности

Название «Формулы сокращенного умножения» совсем не случайно.

Возьмем самую простую первую формулу квадрат суммы $latex {{\left( a+b \right)}^{2}}$ — и попробуем последовательно возвести сумму в скобках в квадрат, то есть, умножить $latex \left( a+b \right)$ само на себя:

Квадрат суммы

Посмотри, что еще можно сделать с тем выражением, которое у нас получилось? Правильно, привести подобные слагаемые:

Формулы сокращенного умножения

Таким образом выводятся все формулы сокращенного умножения. Ты можешь выводить их каждый раз самостоятельно, а можешь не тратить на это время и быстро посчитать необходимый пример, зная конечное значение формул.

Конечно, квадрат суммы посчитать вручную не так сложно, но что ты скажешь насчет куба суммы или куба разности? Куб суммы означает, что необходимо $latex \left( a+b \right)$ само умножить на себя три раза:

Куб суммы

И это мы расписали перемножение только первой скобки, а тоже самое необходимо сделать со второй и с третьей… Согласись, запутаться очень легко, а, как правило, от того, как ты посчитаешь это простое действие, зависит ответ всего примера.

Таким образом, формулы сокращенного умножения позволяют сократить трудоемкое перемножение членов друг на друга и получить быстрый результат.

Как выводится формула для квадрата суммы, мы описали ранее. Попробуем произвести аналогичные действия с квадратом разности.

Квадрат разности означает умножить $latex \left( a-b \right)$ само на себя. Попробуй вывести формулу для данного выражения самостоятельно, по аналогии с квадратом суммы.

Справился? Посмотрим, как ты раскрыл скобки:

Квадрат разности

 Что мы делаем дальше? Правильно, приводим подобные слагаемые:

Формулы сокращенного умножения

Ты наверняка уже заметил некую закономерность? Присмотрись внимательно к формулам квадрат суммы и квадрат разности. В чем их отличие?

Квадрат суммы и квадрат разности

Конечно, ты увидел, что если мы возводим в квадрат разность между $latex a$ и $latex b$, то мы вычитаем их удвоенное произведение, а если возводим в квадрат сумму, то прибавляем. При возведении разности и суммы в квадрат, не забывай про удвоенное произведение чисел $latex a$ и $latex b$! Это грубейшая и самая распространенная ошибка!

30з(7)

Формулы сокращенного умножения. Примеры.

Сейчас ты скажешь: «Понятно, что с помощью формул я могу быстрее преобразовывать примеры и вероятнее всего, приду в них к правильному ответу, но как они мне могут пригодится просто так? В жизни?»

Это очень просто! Сколько будет $latex {{103}^{2}}$? Не нужно кидаться перемножать $latex 103$ на $latex 103$ в столбик, и уж тем более не стоит набирать цифры на калькуляторе. Просто представь $latex 103$, как сумму $latex 100$ и $latex 3$ и возведи ее в квадрат. Получилось? Сравни ход своих мыслей:

$latex {{103}^{2}}={{\left( 100+3 \right)}^{2}}={{100}^{2}}+2\cdot 100\cdot 3+{{3}^{2}}=10000+600+9=10609$

С помощью формул квадрат суммы и квадрат разности мы можем легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор и не считая в столбик. Необходимо просто представить число в виде суммы (или разности) чисел, квадрат которых мы хорошо знаем.

Формулы сокращенного умножения. Тренировка.

Попробуй таким способом вычислить следующие выражения:

  1. $latex {{102}^{2}}$;
  2. $latex {{119}^{2}}$;
  3. $latex {{151}^{2}}$;

Ответы:

1. $latex {{102}^{2}}={{\left( 100+2 \right)}^{2}}={{100}^{2}}+2\cdot 100\cdot 2+{{2}^{2}}=10000+400+4=10404$

2. $latex {{119}^{2}}={{\left( 120-1 \right)}^{2}}={{120}^{2}}-2\cdot 120\cdot 1+{{1}^{2}}=14400-240+1=14161$.

Тебе может показаться, что посчитать $latex {{120}^{2}}$ это сложно, но ты можешь преобразовать это в выражение:$latex {{120}^{2}}=\left( 100+20 \right)={{100}^{2}}+2\cdot 100\cdot 20+{{20}^{2}}=10000+4000+40=14400$

Либо, если ты знаешь квадраты основных двухзначных чисел, вспомни, сколько будет  $latex {{12}^{2}}$? Вспомнил? $latex {{12}^{2}}=144$. Отлично! Так как мы возводим в квадрат $latex 120$, то мы должны умножить $latex 144$  на $latex 100$ $latex \left( {{10}^{2}}=100 \right)$. Получается, что $latex {{120}^{2}}=14400$.

3. $latex {{151}^{2}}={{\left( 150+1 \right)}^{2}}={{150}^{2}}+2\cdot 150\cdot 1+{{1}^{2}}=22500+300+1=22801$

Помни, что формулы квадрат суммы и квадрат разности справедливы не только для числовых выражений:

$latex {{\left( 4a+3 \right)}^{2}}={{\left( 4a \right)}^{2}}+2\cdot 4a\cdot 3+{{3}^{2}}=16{{a}^{2}}+24a+9$.

Посчитай самостоятельно следующие выражения:

  1. $latex {{(2b+3c)}^{2}}$
  2. $latex {{(b+4a)}^{2}}$
  3. $latex {{(12+5a)}^{2}}$

У тебя получилось следующее?

  1. $latex {{\left( 2b+3c \right)}^{2}}=4{{b}^{2}}+12bc+9{{c}^{2}}$
  2. $latex {{\left( b+4a \right)}^{2}}={{b}^{2}}+8ba+16{{a}^{2}}$
  3. $latex {{\left( 12-5a \right)}^{2}}={{12}^{2}}-120a+25{{a}^{2}}=144-120a$

Молодец!

Больше задач — после регистрации.

Формулы сокращенного умножения. Итог.

Подведем небольшой итог и запишем формулы квадрата суммы и разности в одну строку:

$latex {{\left( a\pm b \right)}^{2}}={{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}$

Теперь потренируемся «собирать» формулу из разложенного вида $latex {{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}$ в вид $latex {{\left( a\pm b \right)}^{2}}$. Данный навык понадобиться нам в дальнейшем при преобразовании больших выражений.

Допустим, у нас есть следующее выражение:

$latex 16+24b+9{{b}^{2}}$

Мы знаем, что квадрат суммы (или разности) – это квадрат одного числа $latex +$ квадрат другого числа и $latex \pm $ удвоенное произведение этих чисел.

В данной задаче легко увидеть квадрат одного числа – это $latex 9{{b}^{2}}$. Соответственно, одно из чисел, входящих в скобку $latex {{\left( a\pm b \right)}^{2}}$ это квадратный корень из $latex 9{{b}^{2}}$, то есть:

$latex {{\left( 3b \right)}^{2}}=9{{b}^{2}}$

Так как во втором слагаемом есть $latex b$, значит, это удвоенное произведение одного и другого числа, соответственно:

$latex 24b=2\cdot 3b\cdot x$, где $latex \displaystyle x$ – второе число, входящее в нашу скобку.

$latex x=\frac{24b}{6b}=4$. Второе число, входящее в скобку, равно $latex \displaystyle 4$.

Проверим. $latex \displaystyle 16$ должно быть равно $latex {{4}^{2}}$. Действительно так и есть, значит, мы нашли оба числа, присутствующие в скобках: $latex 4$ и $latex 3b$. Осталось определить знак, который стоит между ними. Как ты думаешь, что за знак там будет?

Правильно! Так как мы прибавляем удвоенное произведение, то между числами будет стоять знак сложения. Теперь запиши преобразованное выражение. Справился? У тебя должно получиться следующее:

$latex 16+24b+9{{b}^{2}}={{\left( 4+3b \right)}^{2}}$

Заметь: перемена мест слагаемых не сказывается на результате (неважно, сложение или вычитание стоит между $latex a$ и $latex b$).

$latex 16+24b+9{{b}^{2}}={{\left( 4+3b \right)}^{2}}={{\left( 3b+4 \right)}^{2}}$

Совершенно необязательно, чтобы цифры в преобразуемом выражении стояли так, как написано в формуле. Посмотри на это выражение: $latex 12b+9+4{{b}^{2}}$. Попробуй преобразовать его самостоятельно. Получилось?

$latex 12b+9+4{{b}^{2}}={{\left( 2b+3 \right)}^{2}}$

Молодец! Потренируйся – преобразуй следующие выражения:

  1. $latex 16{{b}^{2}}-8a+1$
  2. $latex 25+4{{a}^{2}}+20a$
  3. $latex -42c+9{{c}^{2}}+49$

Ответы:

  1. $latex 16{{b}^{2}}-8b+1={{\left( 4b-1 \right)}^{2}}={{\left( 1-4b \right)}^{2}}$ — докажи, что это равносильно.
  2. $latex 25+4{{a}^{2}}+20a={{\left( 2a+5 \right)}^{2}}$
  3. $latex -42c+9{{c}^{2}}+49={{\left( 3c-7 \right)}^{2}}$

Справился? Закрепим тему. Выбери из приведенных ниже выражений те, которые можно представить в виде квадрата суммы или разности.

  1. $latex 4{{b}^{2}}-8b+9$
  2. $latex 25+9{{a}^{2}}+30a$
  3. $latex 9{{a}^{2}}+81-54$

Ответы:

  1. $latex 4{{b}^{2}}-8b+9$– нельзя представить как квадрат; можно было бы представить, если, вместо $latex 8b$ было $latex 12b$.
  2. $latex 25+9{{a}^{2}}+30a={{\left( 3a+5 \right)}^{2}}$
  3. $latex 9{{a}^{2}}+81-54a={{\left( 3a-9 \right)}^{2}}$

Больше задач с использованием формул сокращенного умножения — после регистрации.

Разность квадратов

Еще одна формула сокращенного умножения – разность квадратов.

Разность квадратов это не квадрат разности!

30з(8)

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

$latex {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)$

Проверим, верна ли эта формула. Для этого перемножим $latex \left( a-b \right)\left( a+b \right)$, как делали при выведении формул квадрата суммы и разности:

30з(9)

Что мы делаем дальше? Правильно! Приводим подобные слагаемые и получаем:

30з(11)

Таким образом, мы только что удостоверились, что формула действительно верная. Данная формула также упрощает сложные вычислительные действия. Приведем пример:

Необходимо вычислить: $latex {{145}^{2}}-{{45}^{2}}$. Конечно, мы можем возвести в квадрат $latex 145$, затем возвести в квадрат $latex 45$ и вычесть одно из другого, но формула упрощает нам задачу:

$latex {{145}^{2}}-{{45}^{2}}=\left( 145-45 \right)\cdot \left( 145+45 \right)=100\cdot 190=19000$

Попробуй самостоятельно посчитать следующие выражения:

  1. $latex {{135}^{2}}-{{15}^{2}}$
  2. $latex {{200}^{2}}-{{180}^{2}}$
  3. $latex {{19}^{2}}-{{6}^{2}}$

Получилось? Сверим результаты:

  1. $latex {{135}^{2}}-{{15}^{2}}=\left( 135-15 \right)\left( 135+15 \right)=120\cdot 150=18000$
  2. $latex {{200}^{2}}-{{180}^{2}}=\left( 200-180 \right)\left( 200+180 \right)=20\cdot 380=7600$
  3. $latex {{19}^{2}}-{{6}^{2}}=\left( 19-6 \right)\left( 19+6 \right)=13\cdot 25=325$

Также, как и квадрат суммы (разности), формула разности квадратов может применяться не только с числами:

$latex {{\left( 3a \right)}^{2}}-{{7}^{2}}=\left( 3a-7 \right)\cdot \left( 3a+7 \right)$

Умение раскладывать разность квадратов поможет нам преобразовывать сложные математические выражения.

Обрати внимание, что:

$latex {{\left( 3a \right)}^{2}}-{{7}^{2}}\ne 3{{a}^{2}}-{{7}^{2}}0a$

При разложении на квадрат разности правого выражения мы получим:

$latex 3{{a}^{2}}-{{7}^{2}}={{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{7}^{2}}=\left( a\sqrt{3}-7 \right)\left( a\sqrt{3}+7 \right)$

Так как $latex {{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}=3$.

Будь внимателен и смотри, какое конкретное слагаемое возводится в квадрат! Для закрепления темы преобразуй следующие выражения:

  1. $latex 49{{a}^{2}}-{{b}^{2}}$
  2. $latex 3{{a}^{2}}-5$
  3. $latex {{(5a)}^{2}}-3$
  4. $latex {{(9a)}^{2}}-81$

Записал? Сравним полученные выражения:

  1. $latex 49{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( 7a-b \right)\cdot \left( 7a+b \right)$
  2. $latex 3{{a}^{2}}-5=\left( \sqrt{3}a-\sqrt{5} \right)\cdot \left( \sqrt{3}a+\sqrt{5} \right)$
  3. $latex {{\left( 5a \right)}^{2}}-3=\left( 5a-\sqrt{3} \right)\cdot \left( 5a+\sqrt{3} \right)$
  4. $latex {{\left( 9a \right)}^{2}}-81=\left( 3a-9 \right)\cdot \left( 3a+9 \right)$

Теперь, когда ты усвоил квадрат суммы и квадрат разности, а также разность квадратов, попробуем решать примеры на комбинацию этих трех формул.

Преобразование элементарных выражений (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов)

Допустим, нам дан пример:

$latex \frac{9{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+6ab}{\left( 3a+b \right)\left( 3a-b \right)}$

Необходимо упростить данное выражение. Посмотри внимательно, что ты видишь в числителе? Правильно, числитель — это полный квадрат:

$latex \frac{9{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+6ab}{\left( 3a+b \right)\left( 3a-b \right)}=\frac{{{\left( 3a+b \right)}^{2}}}{\left( 3a+b \right)\left( 3a-b \right)}=\frac{\left( 3a+b \right)}{\left( 3a-b \right)}$

Упрощая выражение, помни, что подсказка, в какую сторону двигаться в упрощении, находится в знаменателе (или в числителе). В нашем случае, когда знаменатель разложен, и больше ничего сделать нельзя, можно понять, что числителем будет либо квадрат суммы, либо квадрат разности. Так как мы прибавляем $latex 6ab$, то становится ясно, что числитель – квадрат суммы.

Попробуй самостоятельно преобразовать следующие выражения:

  1. $latex \frac{64{{a}^{2}}-36}{64{{a}^{2}}+36-96}$
  2. $latex \frac{\left( 4a+2b \right)\left( 4a-2b \right)}{16{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}-16ab}$
  3. $latex \frac{\left( 2a+3c \right)\left( 2a-3c \right)}{4{{a}^{2}}-9{{c}^{2}}}$

Получилось? Сравниваем ответы и двигаемся дальше!

  1. $latex \frac{64{{a}^{2}}-36}{64{{a}^{2}}+36-96}=\frac{\left( 8a-6 \right)\cdot \left( 8a+6 \right)}{{{\left( 8a-6 \right)}^{2}}}=\frac{\left( 8a+6 \right)}{\left( 8a-6 \right)}$
  2. $latex \frac{\left( 4a+2b \right)\left( 4a-2b \right)}{16{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}-16ab}=\frac{\left( 4a+2b \right)\left( 4a-2b \right)}{{{\left( 4a+2b \right)}^{2}}}=\frac{\left( 4a-2b \right)}{\left( 4a+2b \right)}$
  3. $latex \frac{\left( 2a+3c \right)\left( 2a-3c \right)}{4{{a}^{2}}-9{{c}^{2}}}=\frac{\left( 2a+3c \right)\left( 2a-3c \right)}{\left( 2a+3c \right)\left( 2a-3c \right)}=1$

Проверь себя — реши задачи с использованием формул сокращенного умножения.

Куб суммы и куб разности

Формулы куб суммы и куб разности выводятся аналогичным образом как квадрат суммы и квадрат разности: раскрытием скобок при перемножении членов друг на друга.

Если квадрат суммы и квадрат разности запомнить весьма легко, то возникает вопрос «как запомнить кубы?»

Посмотри внимательно на две описываемые формулы в сравнении с возведением аналогичных членов в квадрат:

$latex {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$ $latex {{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}$
$latex {{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}$ $latex {{\left( a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}$

Какую ты видишь закономерность?

1. При возведении в квадрат у нас есть квадрат первого числа и квадрат второго; при возведении в куб – есть куб одного числа и куб другого числа.

2. При возведении в квадрат, у нас есть удвоенное произведение чисел (числа в 1 степени, что на одну степень меньше чем та, в которую возводим выражение); при возведении в кубутроенное произведение, при котором одно из чисел возводится в квадрат (что так же на 1 степень меньше, чем степень, в которую возводим выражение).

3. При возведении в квадрат знак в скобках в раскрытом выражении отражается при прибавлении (или вычитании) удвоенного произведения – если в скобках сложение, то прибавляем, если вычитание – отнимаем; при возведении в куб правило такое: если у нас куб суммы, то все знаки «+», а если куб разности, то знаки чередуются: «$latex +$» — «$latex -$» — «$latex +$» — «$latex -$».

Все перечисленное кроме зависимости степеней при умножении членов, изображено на рисунке.

30з(12)

Потренируемся? Раскрой скобки в следующих выражениях:

  1. $latex {{(4a+2)}^{3}}$
  2. $latex {{(2b-4)}^{3}}$
  3. $latex {{(3c+1)}^{3}}$
  4. $latex {{(5a+2b)}^{3}}$

Сравни полученные выражения:

  1. $latex {{(4a+2)}^{3}}=64{{a}^{3}}+48{{a}^{2}}+48a+8$
  2. $latex {{(2b-4)}^{3}}=8{{b}^{3}}+48{{b}^{2}}+96b-64$
  3. $latex {{(3c+1)}^{3}}=27{{c}^{3}}+27{{c}^{2}}+9c+1$
  4. $latex {{(5a+2b)}^{3}}=125{{a}^{3}}+150{{a}^{2}}b+60a{{b}^{2}}+8{{b}^{3}}$

Разность и сумма кубов

Рассмотрим последнюю пару формул разность и сумму кубов.

Как мы помним, в разности квадратов у нас идет перемножение разности и суммы данных чисел одно на другое. В разности кубов так же имеется две скобки.

$latex {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)$

$latex {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)$

1 скобка – сумма (или разность) чисел в первой степени (в зависимости от того, разность или сумму кубов мы раскрываем);

2 скобка – неполный квадрат (присмотрись: если бы мы вычитали (или прибавляли) удвоенное произведение чисел, был бы квадрат), знак при перемножении чисел противоположный знаку изначального выражения.

30з(13)

Для закрепления темы решим несколько примеров:

  1. $latex 8{{a}^{3}}-{{b}^{3}}$
  2. $latex {{(3a)}^{3}}-1$
  3. $latex {{(4c)}^{3}}-125$

Сравни полученные выражения:

  1. $latex 8{{a}^{3}}-{{b}^{3}}=(8a-b)(64{{a}^{2}}+8ab+{{b}^{2}})$
  2. $latex {{(3a)}^{3}}-1=(3a-1)(9{{a}^{2}}+3a+1)$
  3. $latex {{(4c)}^{3}}+125=(4c+5)(16{{c}^{2}}-20c+25)$

Тренировка

Задачи:

  1. $latex {{(2a)}^{3}}-{{b}^{3}}$
  2. $latex 64{{a}^{2}}-1$
  3. $latex {{(3a+2c)}^{3}}$

Ответы:

  1. $latex {{(2a)}^{3}}-{{b}^{3}}=(2a-b)(4{{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}})$
  2. $latex 64{{a}^{2}}-1=(8a-1)(8a+1)$
  3. $latex {{(3a+2c)}^{3}}=27{{a}^{3}}+54{{a}^{2}}c+36a{{c}^{2}}+8{{c}^{3}}$

Подведем окончательные итоги

Существует 7 формул сокращенного умножения:

$latex \begin{array}{l}\left[ 1 \right]\ \ \ \ {{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\\\left[ 2 \right]\ \ \ \ {{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\\\left[ 3 \right]\ \ \ \ {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\\\left[ 4 \right]\ \ \ \ {{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\\\left[ 5 \right]\ \ \ \ {{\left( a-b \right)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}\\\left[ 6 \right]\ \ \ \ {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)\\\left[ 7 \right]\ \ \ \ {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\end{array}$

 

Не забудь, что в разделе для среднего уровня учеников мы разобрали тему «Формулы сокращенного умножения» еще глубже.

Проверь себя — реши задачи с использованием формул сокращенного умножения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

—————-

  1. Для того, чтобы своевременно получать новости сайта на твой электронный адрес рекомендуем тебе подписаться на новости в блоге пройдя по этой ссылке:  “Подписаться на новости блога”
  2. Напоминаем, что документы, опубликованные на сайте, можно искать с помощью поля “Поиск” расположенного в правом верхнем углу каждой страницы сайта. Поиск осуществляется по ключевым словам документа.

Добавить комментарий