Многоугольники. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять $latex \displaystyle n$ каких-либо точек $latex \displaystyle {{A}_{1}},\text{ }{{A}_{2}},\text{ }…,~{{A}_{n}}$  и соединить их последовательно отрезками.

Многоугольник (n-угольник)
  • Точки $latex \displaystyle {{A}_{1}},~{{A}_{2}},\text{ }…,~{{A}_{n}}$ — вершины многоугольника.
  • Отрезки $latex \displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}},~\ {{A}_{2}}{{}_{3}},\text{ }…,\text{ }{{A}_{n}}{{A}_{1}}$ – стороны многоугольника.

Многоугольник с $latex \displaystyle n$ сторонами называют $latex \displaystyle n$-угольником.

Произвольные многоугольники

Давай-ка нарисуем, какие бывают многоугольники.

Многоугольники рис. 1

А теперь вопрос: какой из этих многоугольников выпадает из ряда?

Посмотри внимательно на второй многоугольник — он по-существу отличается от всех остальных. Чем же? Он не выпуклый. Это конечно математическое название, но с человеческой интуицией не расходится.

Ну вот, а мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники, то есть такие, как 1),3),4) и т.п.

Итак, основной факт:

Многоугольники рис. 2 В любом многоугольнике сумма внутренних углов равна $latex \displaystyle 180^o(n-2)$, где буква «$latex \displaystyle n$» означает число углов многоугольника.

Проверь себя — реши задачи на многоугольники.

Давай сразу к примерам:

Четырехугольник

Четырехугольник $latex \displaystyle 180^\circ\left( 4-2 \right)=360{}^\circ $

Пятиугольник

Пятиугольник $latex \displaystyle 180^\circ\left( 5-2 \right)=540{}^\circ $

Шестиугольник

5 $latex \displaystyle 180^\circ\left( 6-2 \right)=720{}^\circ $

Ах да, про треугольник забыли.

Треугольник

Треугольник $latex \displaystyle 180^\circ\left( 3-2 \right)=180{}^\circ $

Проверь себя — реши задачи на многоугольники.

А теперь давай все-таки разберемся, откуда же взялась формула $latex \displaystyle 180^\circ(n-2)$. Зачем? Понимаешь, приемчик, который мы сейчас применим, часто оказывается полезным при решении разных задач. Несмотря на то, что теорема о сумме углов многоугольника верна для всякого многоугольника, доказательство красивое и простое только для выпуклых многоугольников. Итак, давай разделим многоугольник на треугольники.

Вот так: из одной точки проведем все диагонали, что можно. Сколько их будет? Считаем:

7 Всего вершин: $latex \displaystyle n$
Из вершины $latex \displaystyle B$ можем провести диагонали во все вершины, кроме:

  • Самой вершины $latex \displaystyle B$
  • Вершины $latex \displaystyle A$
  • Вершины $latex \displaystyle C$

Значит всего диагоналей $latex \displaystyle (n-3)$. А на сколько треугольников распался наш многоугольник?

Представь себе: на $latex \displaystyle n-2$. Порисуй, посчитай – удостоверься, что треугольников оказывается ровно на один больше.

Итак, у нас ровно $latex \displaystyle n-2$ треугольника. И сумма углов многоугольника просто равна сумме углов треугольников, на которые мы разбили многоугольник. Чему равна сумма углов треугольника? Помнишь? Конечно $latex \displaystyle 180{}^\circ $.

Ну вот, $latex \displaystyle n-2$ треугольника, в каждом по $latex \displaystyle 180{}^\circ $, значит:

Сумма углов многоугольника равна $latex \displaystyle 180{}^\circ $$latex \displaystyle (n-2)$

Что же из этого может оказаться полезным? А вот что:

  1. Разделение на треугольники.
  2. Осознание того, что если провести какую-нибудь диагональ, то получится два новых многоугольника, сумма углов которых равна сумме углов большого многоугольника.

Вот смотри, был $latex \displaystyle 10$-угольник:

10-угольник Его сумма углов $latex \displaystyle 180{}^\circ \left( 10-2 \right)=1440{}^\circ $. Провели диагональ, скажем $latex \displaystyle CI$:

Получился пятиугольник $latex \displaystyle ABCIJ$ и семиугольник $latex \displaystyle CDEFGHI$. Сумма углов $latex \displaystyle ABCIJ$ равна $latex \displaystyle 180{}^\circ \left( 5-2 \right)=540{}^\circ $, а сумма углов $latex \displaystyle CDEFGHI$ равна $latex \displaystyle 180{}^\circ \left( 7-2 \right)=900{}^\circ $. А вместе : $latex \displaystyle 540{}^\circ +900{}^\circ =1440{}^\circ $ — все сошлось! Ну и на этом о произвольных многоугольниках – хватит.

Проверь себя — реши задачи на многоугольники.

Правильные многоугольники

Многоугольник называется правильным, если все его углы и все его стороны равны.

Так, например: квадрат – правильный четырехугольник, а вот прямоугольник – нет, хоть и все углы у него равные, и ромб – нет, хоть и все стороны равны. Нужно непременно, чтобы все углы и все стороны были равны.

Первый вопрос:

А можно ли найти величину одного (а значит и всех) угла правильного многоугольника?

И ответ: можно!

Давай посмотрим на примере.

Пусть есть, скажем, правильный восьмиугольник:

Правильный многоугольник Сумма всех его углов равна $latex \displaystyle 180{}^\circ \left( 8-2 \right)=1080{}^\circ $. А сколько всего углов? Восемь конечно, и они все одинаковые.

Значит любой угол, скажем $latex \displaystyle \angle A$ можно найти:

$latex \displaystyle \angle A=\frac{1080{}^\circ }{8}=135{}^\circ $.

Что мы еще должны знать?

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

При этом центры этих окружностей совпадают.

Смотри как это выглядит!

Правильный многоугольник. Вписанная и описанная окружность

И более того, всегда можно посчитать соотношение между радиусом вписанной и описанной окружностей.

Давай опять на примере восьмиугольника. Посмотри на $latex \displaystyle \Delta OKG$. В нем $latex \displaystyle OK=r,OG=R.$

Значит, $latex \displaystyle \frac{r}{R}=\sin \angle x$ — и это не только в восьмиугольнике!

Чему же равен в нашем случае $latex \displaystyle \angle x$?

Ровно половине $latex \displaystyle \angle G$, представь себе!

Значит $latex \displaystyle \angle x=\frac{135{}^\circ }{2}=67,5{}^\circ $. Смешно? Но так и есть! Поэтому для восьмиугольника $latex \displaystyle \frac{r}{R}=\sin 67,5{}^\circ $.

Может возникнуть еще один вопрос: а можно ли посчитать углы «около» точки $latex \displaystyle O$? И тот же ответ: конечно можно! Опять рассмотрим наш восьмиугольник. Вот мы хотим найти $latex \displaystyle \angle \alpha$ (то есть $latex \displaystyle \angle HOG$).

Мы знаем, что в $latex \displaystyle \Delta HOG$ сумма углов равна $latex \displaystyle 180{}^\circ $. Значит:

$latex \displaystyle \underbrace{\angle x+\angle x}_{135{}^\circ}+\angle \alpha =180{}^\circ $

Потому $latex \displaystyle \angle \alpha =180{}^\circ -135{}^\circ =45{}^\circ $

И так можно все находить не только для восьмиугольника, но и для любого правильного многоугольника.

Проверь себя — реши задачи на многоугольники.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий