Многоугольники. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять \(\displaystyle n\) каких-либо точек \(\displaystyle {{A}_{1}},\text{ }{{A}_{2}},\text{ }…,~{{A}_{n}}\)  и соединить их последовательно отрезками.

Многоугольник (n-угольник)
  • Точки \(\displaystyle {{A}_{1}},~{{A}_{2}},\text{ }…,~{{A}_{n}}\) — вершины многоугольника.
  • Отрезки \(\displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}},~\ {{A}_{2}}{{}_{3}},\text{ }…,\text{ }{{A}_{n}}{{A}_{1}}\) – стороны многоугольника.

Многоугольник с \(\displaystyle n\) сторонами называют \(\displaystyle n\)-угольником.

Произвольные многоугольники

Давай-ка нарисуем, какие бывают многоугольники.

Многоугольники рис. 1

А теперь вопрос: какой из этих многоугольников выпадает из ряда?

Посмотри внимательно на второй многоугольник — он по-существу отличается от всех остальных. Чем же? Он не выпуклый. Это конечно математическое название, но с человеческой интуицией не расходится.

Ну вот, а мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники, то есть такие, как 1),3),4) и т.п.

Итак, основной факт:

Многоугольники рис. 2 В любом многоугольнике сумма внутренних углов равна \(\displaystyle 180^o(n-2)\), где буква «\(\displaystyle n\)» означает число углов многоугольника.

Проверь себя — реши задачи на многоугольники.

Давай сразу к примерам:

Четырехугольник

Четырехугольник \(\displaystyle 180^\circ\left( 4-2 \right)=360{}^\circ \)

Пятиугольник

Пятиугольник \(\displaystyle 180^\circ\left( 5-2 \right)=540{}^\circ \)

Шестиугольник

5 \(\displaystyle 180^\circ\left( 6-2 \right)=720{}^\circ \)

Ах да, про треугольник забыли.

Треугольник

Треугольник \(\displaystyle 180^\circ\left( 3-2 \right)=180{}^\circ \)

Проверь себя — реши задачи на многоугольники.

А теперь давай все-таки разберемся, откуда же взялась формула \(\displaystyle 180^\circ(n-2)\). Зачем? Понимаешь, приемчик, который мы сейчас применим, часто оказывается полезным при решении разных задач. Несмотря на то, что теорема о сумме углов многоугольника верна для всякого многоугольника, доказательство красивое и простое только для выпуклых многоугольников. Итак, давай разделим многоугольник на треугольники.

Вот так: из одной точки проведем все диагонали, что можно. Сколько их будет? Считаем:

7 Всего вершин: \(\displaystyle n\)
Из вершины \(\displaystyle B\) можем провести диагонали во все вершины, кроме:

  • Самой вершины \(\displaystyle B\)
  • Вершины \(\displaystyle A\)
  • Вершины \(\displaystyle C\)

Значит всего диагоналей \(\displaystyle (n-3)\). А на сколько треугольников распался наш многоугольник?

Представь себе: на \(\displaystyle n-2\). Порисуй, посчитай – удостоверься, что треугольников оказывается ровно на один больше.

Итак, у нас ровно \(\displaystyle n-2\) треугольника. И сумма углов многоугольника просто равна сумме углов треугольников, на которые мы разбили многоугольник. Чему равна сумма углов треугольника? Помнишь? Конечно \(\displaystyle 180{}^\circ \).

Ну вот, \(\displaystyle n-2\) треугольника, в каждом по \(\displaystyle 180{}^\circ \), значит:

Сумма углов многоугольника равна \(\displaystyle 180{}^\circ \)\(\displaystyle (n-2)\)

Что же из этого может оказаться полезным? А вот что:

  1. Разделение на треугольники.
  2. Осознание того, что если провести какую-нибудь диагональ, то получится два новых многоугольника, сумма углов которых равна сумме углов большого многоугольника.

Вот смотри, был \(\displaystyle 10\)-угольник:

10-угольник Его сумма углов \(\displaystyle 180{}^\circ \left( 10-2 \right)=1440{}^\circ \). Провели диагональ, скажем \(\displaystyle CI\):

Получился пятиугольник \(\displaystyle ABCIJ\) и семиугольник \(\displaystyle CDEFGHI\). Сумма углов \(\displaystyle ABCIJ\) равна \(\displaystyle 180{}^\circ \left( 5-2 \right)=540{}^\circ \), а сумма углов \(\displaystyle CDEFGHI\) равна \(\displaystyle 180{}^\circ \left( 7-2 \right)=900{}^\circ \). А вместе : \(\displaystyle 540{}^\circ +900{}^\circ =1440{}^\circ \) — все сошлось! Ну и на этом о произвольных многоугольниках – хватит.

Проверь себя — реши задачи на многоугольники.

Правильные многоугольники

Многоугольник называется правильным, если все его углы и все его стороны равны.

Так, например: квадрат – правильный четырехугольник, а вот прямоугольник – нет, хоть и все углы у него равные, и ромб – нет, хоть и все стороны равны. Нужно непременно, чтобы все углы и все стороны были равны.

Первый вопрос:

А можно ли найти величину одного (а значит и всех) угла правильного многоугольника?

И ответ: можно!

Давай посмотрим на примере.

Пусть есть, скажем, правильный восьмиугольник:

Правильный многоугольник Сумма всех его углов равна \(\displaystyle 180{}^\circ \left( 8-2 \right)=1080{}^\circ \). А сколько всего углов? Восемь конечно, и они все одинаковые.

Значит любой угол, скажем \(\displaystyle \angle A\) можно найти:

\(\displaystyle \angle A=\frac{1080{}^\circ }{8}=135{}^\circ \).

Что мы еще должны знать?

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

При этом центры этих окружностей совпадают.

Смотри как это выглядит!

Правильный многоугольник. Вписанная и описанная окружность

И более того, всегда можно посчитать соотношение между радиусом вписанной и описанной окружностей.

Давай опять на примере восьмиугольника. Посмотри на \(\displaystyle \Delta OKG\). В нем \(\displaystyle OK=r,OG=R.\)

Значит, \(\displaystyle \frac{r}{R}=\sin \angle x\) — и это не только в восьмиугольнике!

Чему же равен в нашем случае \(\displaystyle \angle x\)?

Ровно половине \(\displaystyle \angle G\), представь себе!

Значит \(\displaystyle \angle x=\frac{135{}^\circ }{2}=67,5{}^\circ \). Смешно? Но так и есть! Поэтому для восьмиугольника \(\displaystyle \frac{r}{R}=\sin 67,5{}^\circ \).

Может возникнуть еще один вопрос: а можно ли посчитать углы «около» точки \(\displaystyle O\)? И тот же ответ: конечно можно! Опять рассмотрим наш восьмиугольник. Вот мы хотим найти \(\displaystyle \angle \alpha\) (то есть \(\displaystyle \angle HOG\)).

Мы знаем, что в \(\displaystyle \Delta HOG\) сумма углов равна \(\displaystyle 180{}^\circ \). Значит:

\(\displaystyle \underbrace{\angle x+\angle x}_{135{}^\circ}+\angle \alpha =180{}^\circ \)

Потому \(\displaystyle \angle \alpha =180{}^\circ -135{}^\circ =45{}^\circ \)

И так можно все находить не только для восьмиугольника, но и для любого правильного многоугольника.

Проверь себя — реши задачи на многоугольники.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *