Многоугольники (ЕГЭ 2022)

Привет!

Никогда не было интересно, почему в треугольнике 180 градусов?

А в других фигурах сколько? Да постой, положи транспортир!

Сейчас ты узнаешь много нового о такой, казалось бы, простой теме, как многоугольники.

Поехали!

Многоугольники – коротко о главном

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять \( \displaystyle n\) каких-либо точек \( \displaystyle {{A}_{1}},\text{ }{{A}_{2}},\text{ }…,~{{A}_{n}}\) и соединить их последовательно отрезками.

  • Точки \( \displaystyle {{A}_{1}},~{{A}_{2}},\text{ }…,~{{A}_{n}}\) – вершины многоугольника.
  • Отрезки \( \displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}},~\ {{A}_{2}}{{A}_{3}},\text{ }…,\text{ }{{A}_{n}}{{A}_{1}}\) – стороны многоугольника.

Многоугольник с \( \displaystyle n\) сторонами называют \( \displaystyle n\)-угольником.

Например: многоугольник c \( \displaystyle 4\) сторонами называют четырехугольником, многоугольник с \( \displaystyle 6\) сторонами – шестиугольником и так далее по аналогии.

Четырехугольник

Шестиугольник

Выпуклый многоугольник – многоугольник лежащий по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины.

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна \( \displaystyle 180{}^\circ \cdot (n-2)\) или \( \displaystyle {{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}+\text{ }…~+{{\alpha }_{n}}\), где \( \displaystyle {{\alpha }_{n}}\) – внутренний угол многоугольника.

Правильный выпуклый многоугольник – многоугольник все стороны и внутренние углы которого равны.

Внутренний угол правильного \( \displaystyle n\)-угольника равен \( \displaystyle \alpha =\frac{n-2}{n}\cdot 180{}^\circ \).

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и окружности, описанной около него, совпадают.

Если многоугольник такой, что в него можно вписать окружность, то его площадь выражается формулой: \( \displaystyle S=pr\), где \( \displaystyle p=\frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{A}_{2}}{{A}_{3}}+…+{{A}_{n}}{{A}_{1}}}{2}\).

Многоугольник – подробнее

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять \( \displaystyle n\) каких-либо точек \( \displaystyle {{A}_{1}},\text{ }{{A}_{2}},\text{ }…,~{{A}_{n}}\) и соединить их последовательно отрезками.

  • Точки \( \displaystyle {{A}_{1}},~{{A}_{2}},\text{ }…,~{{A}_{n}}\) – вершины многоугольника.
  • Отрезки \( \displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}},~\ {{A}_{2}}{{A}_{3}},\text{ }…,\text{ }{{A}_{n}}{{A}_{1}}\) – стороны многоугольника.

При этом смежные стороны (имеющие общую вершину) не должны лежать на одной прямой, а несмежные стороны не должны иметь общих точек (то есть не должны пересекаться).

Многоугольник с \( \displaystyle n\) сторонами называют \( \displaystyle n\)-угольником.

Произвольные многоугольники

Давай-ка нарисуем, какие бывают многоугольники.

А теперь вопрос: какой из этих многоугольников выпадает из ряда?

Посмотри внимательно на второй многоугольник – он отличается от всех остальных. Чем же? 

Это не выпуклый многоугольник. Это, конечно, математическое название, но с человеческой интуицией не расходится.

Ну вот, а мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники, то есть такие, как 1),3),4) и т.п.

Итак, основной факт:

В любом многоугольнике сумма внутренних углов равна \( \displaystyle 180^o(n-2)\), где буква «\( \displaystyle n\)» означает число углов многоугольника.

Давай сразу к примерам:

Четырехугольник

\( \displaystyle 180^\circ\left( 4-2 \right)=360{}^\circ \)

Пятиугольник

\( \displaystyle 180^\circ\left( 5-2 \right)=540{}^\circ \)

Шестиугольник

\( \displaystyle 180^\circ\left( 6-2 \right)=720{}^\circ \)

Ах да, про треугольник забыли.

Треугольник

\( \displaystyle 180^\circ\left( 3-2 \right)=180{}^\circ \)

Сумма углов многоугольника. Доказательство.

А теперь давай все-таки разберемся, откуда же взялась формула суммы углом многоугольника \( \displaystyle 180^\circ(n-2)\).

Зачем?

Понимаешь, приемчик, который мы сейчас применим, часто оказывается полезным при решении разных задач.

Несмотря на то, что теорема о сумме углов многоугольника верна для всякого многоугольника, доказательство красивое и простое только для выпуклых многоугольников.

Итак, давай разделим многоугольник на треугольники.

Вот так: из одной точки проведем все диагонали, что можно. Сколько их будет? Считаем:

Всего вершин: \( \displaystyle n\)

Из вершины \( \displaystyle B\) можем провести диагонали во все вершины, кроме:

  • Самой вершины B
  • Вершины A
  • Вершины C

Значит всего диагоналей \( \displaystyle (n-3)\). А на сколько треугольников распался наш многоугольник?

Представь себе: на \( \displaystyle n-2\). Порисуй, посчитай – удостоверься, что треугольников оказывается ровно на один больше.

Итак, у нас ровно \( \displaystyle n-2\) треугольника. И сумма углов многоугольника просто равна сумме углов треугольников, на которые мы разбили многоугольник.

Чему равна сумма углов треугольника? Помнишь? Конечно \( \displaystyle 180{}^\circ \).

Ну вот, \( \displaystyle n-2\) треугольника, в каждом по \( \displaystyle 180{}^\circ \), значит:

Сумма углов многоугольника равна \( \displaystyle 180{}^\circ \)\( \displaystyle (n-2)\)

Вот и доказали.

Что же из этого может оказаться полезным? Два момента:

  1. Если многоугольник разделить на треугольники, можно решить самые разные задачи
  2. Если в многоугольнике провести какую-нибудь диагональ, получится два новых многоугольника, сумма углов которых равна сумме углов большого многоугольника.

Второй момент давай разберем чуть подробнее. Вот смотри, был \( \displaystyle 10\)-угольник:

Сумма его углов: \( \displaystyle 180{}^\circ \left( 10-2 \right)=1440{}^\circ \).

Провели диагональ, скажем, \( \displaystyle CI\)

Получился пятиугольник \( \displaystyle ABCIJ\) и семиугольник \( \displaystyle CDEFGHI\).

Сумма углов \( \displaystyle ABCIJ\) равна \( \displaystyle 180{}^\circ \left( 5-2 \right)=540{}^\circ \), а сумма углов \( \displaystyle CDEFGHI\) равна \( \displaystyle 180{}^\circ \left( 7-2 \right)=900{}^\circ \).

А вместе: \( \displaystyle 540{}^\circ +900{}^\circ =1440{}^\circ \) – все сошлось!

Ну и на этом о произвольных многоугольниках хватит.

Правильные многоугольники

Многоугольник называется правильным, если все его углы и все его стороны равны.

Так, например: квадрат – правильный четырехугольник, а вот прямоугольник – нет, хоть и все углы у него равные, и ромб – нет, хоть и все стороны равны. Нужно непременно, чтобы все углы и все стороны были равны.

Первый вопрос:

А можно ли найти величину одного (а значит и всех) угла правильного многоугольника?

И ответ: можно!

Давай посмотрим на примере.

Пусть есть, скажем, правильный восьмиугольник:

Сумма всех его углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \left( 8-2 \right)=1080{}^\circ \). 

А сколько всего углов? Восемь конечно, и они все одинаковые.

Значит любой угол, скажем \( \displaystyle \angle A\) можно найти:

\( \displaystyle \angle A=\frac{1080{}^\circ }{8}=135{}^\circ \).

Что мы еще должны знать?

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

При этом центры этих окружностей совпадают.

Смотри, как это выглядит!

И более того, всегда можно посчитать соотношение между радиусом вписанной и описанной окружностей.

Давай опять на примере восьмиугольника.

Посмотри на \( \displaystyle \Delta OKG\). В нем \( \displaystyle OK=r,OG=R.\)

Значит, \( \displaystyle \frac{r}{R}=\sin \angle x\) – и это не только в восьмиугольнике!

Чему же равен в нашем случае \( \displaystyle \angle x\)?

Ровно половине \( \displaystyle \angle G\), представь себе!

Значит \( \displaystyle \angle x=\frac{135{}^\circ }{2}=67,5{}^\circ \).

Смешно? Но так и есть! Поэтому для восьмиугольника \( \displaystyle \frac{r}{R}=\sin 67,5{}^\circ \).

Может возникнуть еще один вопрос: а можно ли посчитать углы «около» точки \( \displaystyle O\)? И тот же ответ: конечно можно!

Опять рассмотрим наш восьмиугольник. Вот мы хотим найти \( \displaystyle \angle \alpha\) (то есть \( \displaystyle \angle HOG\)).

Мы знаем, что в \( \displaystyle \Delta HOG\) сумма углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \). Значит:

\( \displaystyle \underbrace{\angle x+\angle x}_{135{}^\circ}+\angle \alpha =180{}^\circ \)

Потому \( \displaystyle \angle \alpha =180{}^\circ -135{}^\circ =45{}^\circ \)

И так можно все находить не только для восьмиугольника, но и для любого правильного многоугольника.

Бонус. Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 6. Описанная окружность. Многоугольники

Вы этом видео вы узнаете, что такое описанная окружность, где находится её центр, и другие свойства.

Около каких фигур можно, а вокруг каких нельзя описать окружность.

Также мы узнаем, что такое правильные многоугольники, и какие у них свойства; как они связаны с описанной окружностью.

Научимся решать задачи из ЕГЭ на описанную окружность и правильные многоугольники.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

А теперь твоя очередь!

Теперь ты знаешь все о многоугольниках!

Особенно эти знания пригодятся тебе, когда будешь решать задачи про окружности. Задачи олимпиадного уровня. Да и просто так знать полезно 🙂

А сейчас мы хотим услышать тебя. Понравилась ли тебе статья? Ты во всем разобрался?

Кстати, пытался строить многоугольники циркулем? 

Напиши в комментариях ниже!

И задай любые вопросы, если они возникли! Мы непременно ответим!

Удачи!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

3 комментария

  1. Як разбить чатырох угольник так, чтоб палучился трохвугольник и чатырохвугольник

    1. Даша, например, можно провести отрезок из вершины в середину противоположной стороны.

  2. Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Сергей
    19 февраля 2018
    Просто огромное спасибо. Хоть что-то начал понимать.

    Александр (админ)
    19 февраля 2018
    Просто огромное пожалуйста. 🙂 Очень приятно слышать от вас такие слова.

    Вероника
    18 марта 2020
    Спасибо большое, а то на карантине приходится самим разбирать темы!

    Александр (админ)
    18 марта 2020
    Отлично, Вероника! Круто, что ты сама пытаешься разобраться с математикой! Этот навык ой как пригодится в будущем. Я всегда говорю: “В жизни репетитора и учителя рядом не будет”. И я рад, что наш скромный сайт в этом помогает. Удачи на экзаменах! Все будет хорошо!

    Сима
    01 июля 2020
    Блин, действительно очень круто изложили. А главное- понятно и просто. Начала подготовку к егэ, в следующем году сдавать. Очень помогли разобраться с этой темой! Спасибо)

    Александр (админ)
    01 июля 2020
    Блин, Сима, до чертиков приятно слышать такие слова! 🙂 Если начала подготовку к ЕГЭ, то будь на связи, мы сейчас делаем крутейший курс подготовки к ЕГЭ, где вот так вот просто все будет объяснять Алексей Шевчук.