24 июля

1 comments

Многоугольники. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)

Привет!

Никогда не было интересно, почему в треугольнике 180 градусов?

А в других фигурах сколько? Да постой, положи транспортир!

Сейчас ты узнаешь много нового о такой, казалось бы, простой теме, как многоугольники.

Поехали!

Определение многоугольника

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять \( \displaystyle n\) каких-либо точек \( \displaystyle {{A}_{1}},\text{ }{{A}_{2}},\text{ }...,~{{A}_{n}}\) и соединить их последовательно отрезками.
  • Точки \( \displaystyle {{A}_{1}},~{{A}_{2}},\text{ }...,~{{A}_{n}}\) - вершины многоугольника.
  • Отрезки \( \displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}},~\ {{A}_{2}}{{A}_{3}},\text{ }...,\text{ }{{A}_{n}}{{A}_{1}}\) – стороны многоугольника.

При этом смежные стороны (имеющие общую вершину) не должны лежать на одной прямой, а несмежные стороны не должны иметь общих точек (то есть не должны пересекаться).

Многоугольник с \( \displaystyle n\) сторонами называют \( \displaystyle n\)-угольником.

Давай-ка нарисуем, какие бывают многоугольники.

А теперь вопрос: какой из этих многоугольников выпадает из ряда?

Посмотри внимательно на второй многоугольник - он отличается от всех остальных. Чем же? 

Он не выпуклый. Это, конечно, математическое название, но с человеческой интуицией не расходится.

Ну вот, а мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники, то есть такие, как 1),3),4) и т.п.

Итак, основной факт:

В любом многоугольнике сумма внутренних углов равна \( \displaystyle 180^o(n-2)\), где буква «\( \displaystyle n\)» означает число углов многоугольника.

Давай сразу к примерам:

\( \displaystyle 180^\circ\left( 4-2 \right)=360{}^\circ \)

\( \displaystyle 180^\circ\left( 5-2 \right)=540{}^\circ \)

\( \displaystyle 180^\circ\left( 6-2 \right)=720{}^\circ \)

Ах да, про треугольник забыли.

\( \displaystyle 180^\circ\left( 3-2 \right)=180{}^\circ \)

А теперь давай все-таки разберемся, откуда же взялась формула \( \displaystyle 180^\circ(n-2)\). Зачем?

Понимаешь, приемчик, который мы сейчас применим, часто оказывается полезным при решении разных задач. Несмотря на то, что теорема о сумме углов многоугольника верна для всякого многоугольника, доказательство красивое и простое только для выпуклых многоугольников.

Итак, давай разделим многоугольник на треугольники.

Вот так: из одной точки проведем все диагонали, что можно. Сколько их будет? Считаем:

Всего вершин: \( \displaystyle n\)

Из вершины \( \displaystyle B\) можем провести диагонали во все вершины, кроме:

  • Самой вершины \( \displaystyle B\)
  • Вершины \( \displaystyle A\)
  • Вершины \( \displaystyle C\)

Значит всего диагоналей \( \displaystyle (n-3)\). А на сколько треугольников распался наш многоугольник?

Представь себе: на \( \displaystyle n-2\). Порисуй, посчитай – удостоверься, что треугольников оказывается ровно на один больше.

Итак, у нас ровно \( \displaystyle n-2\) треугольника. И сумма углов многоугольника просто равна сумме углов треугольников, на которые мы разбили многоугольник. Чему равна сумма углов треугольника? Помнишь? Конечно \( \displaystyle 180{}^\circ \).

Ну вот, \( \displaystyle n-2\) треугольника, в каждом по \( \displaystyle 180{}^\circ \), значит:

Сумма углов многоугольника равна \( \displaystyle 180{}^\circ \)\( \displaystyle (n-2)\)

Что же из этого может оказаться полезным? А вот что:

  • Разделение на треугольники.
  • Осознание того, что, если провести какую-нибудь диагональ, получится два новых многоугольника, сумма углов которых равна сумме углов большого многоугольника.

Вот смотри, был \( \displaystyle 10\)-угольник:

Сумма его углов: \( \displaystyle 180{}^\circ \left( 10-2 \right)=1440{}^\circ \).

Провели диагональ, скажем, \( \displaystyle CI\)

Получился пятиугольник \( \displaystyle ABCIJ\) и семиугольник \( \displaystyle CDEFGHI\).

Сумма углов \( \displaystyle ABCIJ\) равна \( \displaystyle 180{}^\circ \left( 5-2 \right)=540{}^\circ \), а сумма углов \( \displaystyle CDEFGHI\) равна \( \displaystyle 180{}^\circ \left( 7-2 \right)=900{}^\circ \).

А вместе: \( \displaystyle 540{}^\circ +900{}^\circ =1440{}^\circ \) - все сошлось!

Ну и на этом о произвольных многоугольниках хватит.

Многоугольник называется правильным, если все его углы и все его стороны равны.

Так, например: квадрат – правильный четырехугольник, а вот прямоугольник – нет, хоть и все углы у него равные, и ромб – нет, хоть и все стороны равны. Нужно непременно, чтобы все углы и все стороны были равны.

Первый вопрос:

А можно ли найти величину одного (а значит и всех) угла правильного многоугольника?

И ответ: можно!

Давай посмотрим на примере.

Пусть есть, скажем, правильный восьмиугольник:

Сумма всех его углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \left( 8-2 \right)=1080{}^\circ \). 

А сколько всего углов? Восемь конечно, и они все одинаковые.

Значит любой угол, скажем \( \displaystyle \angle A\) можно найти:

\( \displaystyle \angle A=\frac{1080{}^\circ }{8}=135{}^\circ \).

Что мы еще должны знать?

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

При этом центры этих окружностей совпадают.

Смотри, как это выглядит!

И более того, всегда можно посчитать соотношение между радиусом вписанной и описанной окружностей.

Давай опять на примере восьмиугольника.

Посмотри на \( \displaystyle \Delta OKG\). В нем \( \displaystyle OK=r,OG=R.\)

Значит, \( \displaystyle \frac{r}{R}=\sin \angle x\) – и это не только в восьмиугольнике!

Чему же равен в нашем случае \( \displaystyle \angle x\)?

Ровно половине \( \displaystyle \angle G\), представь себе!

Значит \( \displaystyle \angle x=\frac{135{}^\circ }{2}=67,5{}^\circ \).

Смешно? Но так и есть! Поэтому для восьмиугольника \( \displaystyle \frac{r}{R}=\sin 67,5{}^\circ \).

Может возникнуть еще один вопрос: а можно ли посчитать углы «около» точки \( \displaystyle O\)? И тот же ответ: конечно можно!

Опять рассмотрим наш восьмиугольник. Вот мы хотим найти \( \displaystyle \angle \alpha\) (то есть \( \displaystyle \angle HOG\)).

Мы знаем, что в \( \displaystyle \Delta HOG\) сумма углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \). Значит:

\( \displaystyle \underbrace{\angle x+\angle x}_{135{}^\circ}+\angle \alpha =180{}^\circ \)

Потому \( \displaystyle \angle \alpha =180{}^\circ -135{}^\circ =45{}^\circ \)

И так можно все находить не только для восьмиугольника, но и для любого правильного многоугольника.

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять \( \displaystyle n\) каких-либо точек \( \displaystyle {{A}_{1}},\text{ }{{A}_{2}},\text{ }...,~{{A}_{n}}\) и соединить их последовательно отрезками.

  • Точки \( \displaystyle {{A}_{1}},~{{A}_{2}},\text{ }...,~{{A}_{n}}\) - вершины многоугольника.
  • Отрезки \( \displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}},~\ {{A}_{2}}{{A}_{3}},\text{ }...,\text{ }{{A}_{n}}{{A}_{1}}\) – стороны многоугольника.

Многоугольник с \( \displaystyle n\) сторонами называют \( \displaystyle n\)-угольником.

Например: многоугольник c \( \displaystyle 4\) сторонами называют четырехугольником, многоугольник с \( \displaystyle 6\) сторонами - шестиугольником и так далее по аналогии.

Четырехугольник

Шестиугольник

  • Выпуклый многоугольник – многоугольник лежащий по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины.
Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна \( \displaystyle 180{}^\circ \cdot (n-2)\) или \( \displaystyle {{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}+\text{ }...~+{{\alpha }_{n}}\), где \( \displaystyle {{\alpha }_{n}}\) – внутренний угол многоугольника.
Правильный выпуклый многоугольник – многоугольник все стороны и внутренние углы которого равны.

Внутренний угол правильного \( \displaystyle n\)-угольника равен \( \displaystyle \alpha =\frac{n-2}{n}\cdot 180{}^\circ \).

  • Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и окружности, описанной около него, совпадают.

Если многоугольник такой, что в него можно вписать окружность, то его площадь выражается формулой: \( \displaystyle S=pr\), где \( \displaystyle p=\frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{A}_{2}}{{A}_{3}}+...+{{A}_{n}}{{A}_{1}}}{2}\).

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

А теперь твоя очередь!

Теперь ты знаешь все о многоугольниках!

Особенно эти знания пригодятся тебе, когда будешь решать задачи про окружности. Задачи олимпиадного уровня. Да и просто так знать полезно 🙂

А сейчас мы хотим услышать тебя. Понравилась ли тебе статья? Ты во всем разобрался?

Кстати, пытался строить многоугольники циркулем? 

Напиши в комментариях ниже!

И задай любые вопросы, если они возникли! Мы непременно ответим!

Удачи!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Сергей
    19 февраля 2018
    Просто огромное спасибо. Хоть что-то начал понимать.

    Александр (админ)
    19 февраля 2018
    Просто огромное пожалуйста. 🙂 Очень приятно слышать от вас такие слова.

    Вероника
    18 марта 2020
    Спасибо большое, а то на карантине приходится самим разбирать темы!

    Александр (админ)
    18 марта 2020
    Отлично, Вероника! Круто, что ты сама пытаешься разобраться с математикой! Этот навык ой как пригодится в будущем. Я всегда говорю: «В жизни репетитора и учителя рядом не будет». И я рад, что наш скромный сайт в этом помогает. Удачи на экзаменах! Все будет хорошо!

    Сима
    01 июля 2020
    Блин, действительно очень круто изложили. А главное- понятно и просто. Начала подготовку к егэ, в следующем году сдавать. Очень помогли разобраться с этой темой! Спасибо)

    Александр (админ)
    01 июля 2020
    Блин, Сима, до чертиков приятно слышать такие слова! 🙂 Если начала подготовку к ЕГЭ, то будь на связи, мы сейчас делаем крутейший курс подготовки к ЕГЭ, где вот так вот просто все будет объяснять Алексей Шевчук.

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >