Задачи на смеси и сплавы. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Основные определения.

В задачах на смеси и сплавы важно уметь определять концентрацию вещества.

Что же такое концентрация?

Концентрация вещества в растворе (смеси, сплаве) – это отношение массы или объема вещества к массе или объему всего раствора (смеси, сплава).

Как правило, концентрация выражается в процентах.

Что такое процент?

Процент – это сотая доля числа. Она может выражаться либо в виде десятичной дроби $latex \displaystyle (0,11)$ либо в виде процента $latex \displaystyle (11\%)$.
Давай найдем $latex \displaystyle 6$ процентов от $latex \displaystyle 200$ рублей. Для начала нужно найти $latex \displaystyle 1\%$. Разделим $latex \displaystyle 200$ рублей на $latex \displaystyle 100$ равных частей. Таким образом, получили $latex \displaystyle 1\%$. А $latex \displaystyle 6$ процентов – это $latex \displaystyle 6\cdot 1\%=6\cdot 2=12$ рублей.

Альтернативный способ подсчета.

$latex \displaystyle 6\%$ — это $latex \displaystyle 0,06$ ($latex \displaystyle 6$ сотых долей числа). Т.е. в единице, $latex \displaystyle 6\%$ — это $latex \displaystyle 0,06$. А сколько это будет в $latex \displaystyle 200$? Нужно взять $latex \displaystyle 200$ таких единиц — $latex \displaystyle 200\cdot 0,06=12$.

А если требуется определить, сколько процентов составляет, например, число $latex \displaystyle 39$ от $latex \displaystyle 300$?

Нет ничего проще – мы просто делим одно на другое — $latex \displaystyle \frac{39}{300}=\frac{13}{100}=0,13$. Для того чтобы получить ответ в процентах, нужно десятичную дробь умножить на $latex \displaystyle 100\%$ — $latex \displaystyle 0,13\cdot 100\%=13\%$. Почему мы делили на $latex \displaystyle 300$? Для того чтобы определить ту самую сотую долю числа (если тебе не понятно – повтори разделы: «Дроби, рациональные числапроценты»).

Что такое масса раствора, смеси, сплава? Сейчас будет несколько очевидных мыслей. С точки зрения химии и физики – они не всегда выполняются, но для удобства и простоты, при составлении задач для ЕГЭ придерживаются именно этих предпосылок. Главное, чтобы ты не впал в ступор на экзамене, пытаясь понять, что же составители имели в виду.

Мысль 1.

Масса раствора (смеси, сплава) равна сумме масс всех составляющих.

Если мы смешаем $latex \displaystyle 3$ литра апельсинового сока и $latex \displaystyle 7$ литров воды, то получим $latex \displaystyle 10$ литров апельсинового нектара (сделаем предположение, что смешивание происходит в автоматическом режиме, а не вручную).

Мысль 2.

При смешивании нескольких растворов (смесей, сплавов) масса нового раствора становится равной сумме всех смешанных растворов.

Если мы смешаем $latex \displaystyle 6$ литров яблочного сока и $latex \displaystyle 6$ литров персикового сока – то получится $latex \displaystyle 12$ литров яблочно-персикового сока.

И еще одна очевидность (последняя).

Мысль 3

Масса растворенного вещества при смешивании двух растворов суммируется.

Если мы смешаем $latex \displaystyle 3$ литра яблочного сока с $latex \displaystyle 10\%$ мякоти ($latex \displaystyle 0,3$ л), и $latex \displaystyle 5$ литров яблочного сока с $latex \displaystyle 5\%$ мякоти ($latex \displaystyle 0,25$ л), то получим $latex \displaystyle 8$ литров сока с $latex \displaystyle 0,55$ л мякоти $latex \displaystyle \left( 0,3+0,25 \right)$.

Больше задач — после регистрации.

Перейдем к задачам.

Задачи на смеси и сплавы.

Задачи на смеси и сплавы бывают двух основных видов:

  1. Две смеси определенной массы с некоторой концентрацией вещества сливают вместе. Нужно определить массу и концентрацию этого вещества в новой смеси.
  2. В некоторый раствор, с некоторой концентрацией вещества, добавляют, например, чистую воду (с нулевой концентрацией этого вещества). Нужно определить, какой стала концентрация вещества.

Строго говоря, подход к решению от этого не меняется. Во втором случае мы тоже смешиваем две смеси, просто в одной концентрация вещества больше $latex \displaystyle 0$, а в другой равна $latex \displaystyle 0$.

Давай попробуем решить несколько задачек. Попробуй решить каждую самостоятельно, а если не получится – посмотри в решение.

Пример 1.

В $latex \displaystyle 5\%$ раствор кислоты массой $latex \displaystyle 3,8$ кг добавили $latex \displaystyle 1,2$ кг чистой воды. Чему стала равна концентрация раствора (в процентах)?

Решение:

  1. Для начала вычислим, сколько кислоты содержится в $latex \displaystyle 5\%$ растворе. Из $latex \displaystyle 3,8$ кг $latex \displaystyle 5\%$ — это кислота, а значит в растворе $latex \displaystyle 0,05\cdot 3,8=0,19\ кг$ кислоты
  2. Далее определим массу нового раствора. Как мы уже знаем – масса раствора равна массе его составляющих, т.е. $latex \displaystyle 3,8$ кг + $latex \displaystyle 1,2$ кг = $latex \displaystyle 5$ кг.
  3. Поскольку в чистой воде кислоты нет, то в новом растворе количество кислоты не изменилось – $latex \displaystyle 0,19$ кг. Таким образом, концентрация кислоты стала равна $latex \displaystyle \frac{0,19}{5}=0,038$
  4. Теперь выразим концентрацию в процентах — $latex \displaystyle 0,038\cdot 100\%=3,8\%$

Ответ: $latex \displaystyle 3,8$.

Теперь давай попробуем решить задачу посложнее.

Пример 2.

Смешали $latex \displaystyle 3$ кг $latex \displaystyle 5\%$-го водного раствора щелочи и $latex \displaystyle 7$ кг $latex \displaystyle 15\%$-го. Какова концентрация вновь полученного раствора? Ответ дайте в процентах.

Решение:

Давай попробуем визуализировать ситуацию. $latex \displaystyle 3$ кг $latex \displaystyle 5\%$ водного раствора. Значит воды в этом растворе $latex \displaystyle 95\%$.

Нарисуем:

243з-1

А теперь второй раствор:

243з-2

После смешивания, вновь получившийся раствор будет весить $latex \displaystyle 3$ кг + $latex \displaystyle 7$ кг = $latex \displaystyle 10$ кг. Обозначим количество щелочи в новом растворе за $latex \displaystyle x$, а количество воды – $latex \displaystyle (10-x)$:

243z-3 Теперь выразим количество щелочи в этих двух растворах в килограммах. В первом растворе – $latex \displaystyle 0,05\cdot 3=0,15$ кг щелочи и $latex \displaystyle 3-0,15=2,85$ кг воды, во втором — $latex \displaystyle 0,15\cdot 7=1,05$ кг щелочи и $latex \displaystyle 7-1,05=5,95$ кг воды:

243z-4

Из картинки видно, что количество щелочи в новом растворе равно сумме весов кислоты в старых растворах: $latex \displaystyle x=0,15+1,05=1,2$ кг кислоты.

Теперь, зная количество щелочи в новом растворе и зная его массу, мы можем легко определить концентрацию:

$latex \displaystyle \frac{1,2}{10}=0,12$

Поскольку ответ просят дать в процентах – умножим на $latex \displaystyle 100\%$ -$latex \displaystyle 0,12\cdot 100\%=12\%$.

Ответ: $latex \displaystyle 12$.

Эту визуализацию удобно использовать в любых задачах на растворы, смеси и сплавы.

Еще пример.

Пример 3.

Чернослив содержит $latex \displaystyle 25\%$ влаги. Его получают из сливы, содержащей $latex \displaystyle 90\%$ влаги, путем сушки. Сколько нужно килограмм сливы, для получения $latex \displaystyle 5$ кг чернослива?

Решение: Давай попробуем нарисовать.

243з-5

  1. Количество сухого (красного на рисунке) вещества не изменилось. Изменилась лишь его пропорция. Давай попробуем найти его вес. Поскольку сухого вещества в черносливе – $latex \displaystyle 100\%-25\%=75\%$, то масса сухого вещества составит – $latex \displaystyle 0,75\cdot 5\ кг\ =\ 3,75\ кг$.
  2. Нам нужно взять такое количество сливы, чтобы в нем было $latex \displaystyle 3,75$ кг сухого вещества. Обозначим вес необходимого количества сливы за $latex \displaystyle x$. По условию мы знаем, что сухого вещества в сливе — $latex \displaystyle 100\%-90\%=10\%$, т.е. $latex \displaystyle 0,1\cdot x\ кг$, а нам нужно $latex \displaystyle 3,75$ кг. Получается, что
    $latex \displaystyle \begin{array}{l}0,1x=3,75\\x=37,5\end{array}$
    Для получения $latex \displaystyle 5$ кг чернослива, нам нужно взять $latex \displaystyle 37,5$ кг сливы.

Ответ: $latex \displaystyle 37,5$.

Пример 4.

Имеются два сплава серебра с медью. В первом содержится $latex \displaystyle 10\%$ серебра, во втором – $latex \displaystyle 25\%$. Сколько килограмм второго сплава нужно добавить к $latex \displaystyle 10$кг первого, чтобы получить сплав с $latex \displaystyle 20\%$ содержанием серебра?

Решение:

243з-6

  1. Обозначим за $latex \displaystyle x$ искомый вес второго сплава, а за $latex \displaystyle y$ – массу получившегося сплава.
  2. Масса серебра в первом сплаве –$latex \displaystyle 10\%\cdot 10\ кг=0,1\cdot 10\ кг=1\ кг$, во втором–$latex \displaystyle 25\%\cdot x=0,25x$, в новом сплаве –$latex \displaystyle 20\%\cdot y=0,2y$.
  3. Теперь у нас есть система уравнений, решив которую найдем искомый $latex \displaystyle x$: $latex \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l}10+x=y\\1+0,25x=0,2y\end{array} \right.\ \ \ \ \,\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}10+x=y\\1+0,25y=0,2(10+x)\end{array} \right.\Rightarrow \\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}10+x=y\\1+0,25x=2+0,2x\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}10+x=y\\0,25{x-}0,2x=2-1\end{array} \right.\\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}10+x=y\\0,05x=1\end{array} \right.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \,\,\,\,\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=30\\x=20\end{array} \right.\end{array}$
  4. Получается, добавив в $latex \displaystyle 10$ килограммов $latex \displaystyle 10\%$ сплава, $latex \displaystyle 20$ килограммов $latex \displaystyle 25\%$ сплава — мы получим $latex \displaystyle 30$ килограммов $latex \displaystyle 20\%$ сплава.

Ответ: $latex \displaystyle 20$

Подведем итоги.

Если ты заметил, во всех задачах мы сначала определяли, какое вещество влияет на концентрацию, назовем его «главным». А дальше следили за абсолютной величиной этого главного вещества (в килограммах, литрах). Если в раствор (сплав) что-то доливали, добавляли, то, в зависимости от состава «добавки», вес «главного» вещества либо изменялся, либо нет. Важно определить, что произошло с «главным» веществом, а дальше решение становится совсем простым.

Тренировка.

А теперь попробуй решить несколько задач самостоятельно, и проверь ответы:

  1. Имеются два сплава с содержанием цинка $latex \displaystyle 15\%$ и $latex \displaystyle 22\%$. Какова будет концентрация цинка, если сплавить $latex \displaystyle 90$ кг первого и $latex \displaystyle 50$ кг второго.
  2. Сколько миллилитров $latex \displaystyle 55\%$ раствора уксуса нужно добавить к $latex \displaystyle 500$ миллилитрам $latex \displaystyle 1\%$ раствора, чтобы получить $latex \displaystyle 5\%$ раствор уксуса?
  3. Смешали некоторое количество $latex \displaystyle 12\%$ раствора вещества с таким же количеством $latex \displaystyle 22\%$ раствора этого же вещества. Какова концентрация (в процентах) вещества в новом растворе?
  4. В сосуд, содержащий $latex \displaystyle 8$ литров $latex \displaystyle 14\%$ раствора кислоты, добавили $latex \displaystyle 12$ литров воды. Сколько процентов кислоты содержится в новом растворе?
  5. Сколько килограмм $latex \displaystyle 17\%$ сплава меди нужно добавить к $latex \displaystyle 5$ килограммам $latex \displaystyle 10\%$ сплава меди, чтобы получить $latex \displaystyle 12\%$ сплав?

Ответы:

  1. $latex \displaystyle 17,5$;
  2. $latex \displaystyle 40$;
  3. $latex \displaystyle 17$;
  4. $latex \displaystyle 5,6$;
  5. $latex \displaystyle 2$.

Проверь себя — реши задачи на смеси и сплавы.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий