Задачи на смеси и сплавы. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Основные определения.

В задачах на смеси и сплавы важно уметь определять концентрацию вещества.

Что же такое концентрация?

Концентрация вещества в растворе (смеси, сплаве) – это отношение массы или объема вещества к массе или объему всего раствора (смеси, сплава).

Как правило, концентрация выражается в процентах.

Что такое процент?

Процент – это сотая доля числа. Она может выражаться либо в виде десятичной дроби \(\displaystyle (0,11)\) либо в виде процента \(\displaystyle (11\%)\).
Давай найдем \(\displaystyle 6\) процентов от \(\displaystyle 200\) рублей. Для начала нужно найти \(\displaystyle 1\%\). Разделим \(\displaystyle 200\) рублей на \(\displaystyle 100\) равных частей. Таким образом, получили \(\displaystyle 1\%\). А \(\displaystyle 6\) процентов – это \(\displaystyle 6\cdot 1\%=6\cdot 2=12\) рублей.

Альтернативный способ подсчета.

\(\displaystyle 6\%\) — это \(\displaystyle 0,06\) (\(\displaystyle 6\) сотых долей числа). Т.е. в единице, \(\displaystyle 6\%\) — это \(\displaystyle 0,06\). А сколько это будет в \(\displaystyle 200\)? Нужно взять \(\displaystyle 200\) таких единиц — \(\displaystyle 200\cdot 0,06=12\).

А если требуется определить, сколько процентов составляет, например, число \(\displaystyle 39\) от \(\displaystyle 300\)?

Нет ничего проще – мы просто делим одно на другое — \(\displaystyle \frac{39}{300}=\frac{13}{100}=0,13\). Для того чтобы получить ответ в процентах, нужно десятичную дробь умножить на \(\displaystyle 100\%\) — \(\displaystyle 0,13\cdot 100\%=13\%\). Почему мы делили на \(\displaystyle 300\)? Для того чтобы определить ту самую сотую долю числа (если тебе не понятно – повтори разделы: «Дроби, рациональные числапроценты»).

Что такое масса раствора, смеси, сплава? Сейчас будет несколько очевидных мыслей. С точки зрения химии и физики – они не всегда выполняются, но для удобства и простоты, при составлении задач для ЕГЭ придерживаются именно этих предпосылок. Главное, чтобы ты не впал в ступор на экзамене, пытаясь понять, что же составители имели в виду.

Мысль 1.

Масса раствора (смеси, сплава) равна сумме масс всех составляющих.

Если мы смешаем \(\displaystyle 3\) литра апельсинового сока и \(\displaystyle 7\) литров воды, то получим \(\displaystyle 10\) литров апельсинового нектара (сделаем предположение, что смешивание происходит в автоматическом режиме, а не вручную).

Мысль 2.

При смешивании нескольких растворов (смесей, сплавов) масса нового раствора становится равной сумме всех смешанных растворов.

Если мы смешаем \(\displaystyle 6\) литров яблочного сока и \(\displaystyle 6\) литров персикового сока – то получится \(\displaystyle 12\) литров яблочно-персикового сока.

И еще одна очевидность (последняя).

Мысль 3

Масса растворенного вещества при смешивании двух растворов суммируется.

Если мы смешаем \(\displaystyle 3\) литра яблочного сока с \(\displaystyle 10\%\) мякоти (\(\displaystyle 0,3\) л), и \(\displaystyle 5\) литров яблочного сока с \(\displaystyle 5\%\) мякоти (\(\displaystyle 0,25\) л), то получим \(\displaystyle 8\) литров сока с \(\displaystyle 0,55\) л мякоти \(\displaystyle \left( 0,3+0,25 \right)\).

Больше задач — после регистрации.

Перейдем к задачам.

Задачи на смеси и сплавы.

Задачи на смеси и сплавы бывают двух основных видов:

  1. Две смеси определенной массы с некоторой концентрацией вещества сливают вместе. Нужно определить массу и концентрацию этого вещества в новой смеси.
  2. В некоторый раствор, с некоторой концентрацией вещества, добавляют, например, чистую воду (с нулевой концентрацией этого вещества). Нужно определить, какой стала концентрация вещества.

Строго говоря, подход к решению от этого не меняется. Во втором случае мы тоже смешиваем две смеси, просто в одной концентрация вещества больше \(\displaystyle 0\), а в другой равна \(\displaystyle 0\).

Давай попробуем решить несколько задачек. Попробуй решить каждую самостоятельно, а если не получится – посмотри в решение.

Пример 1.

В \(\displaystyle 5\%\) раствор кислоты массой \(\displaystyle 3,8\) кг добавили \(\displaystyle 1,2\) кг чистой воды. Чему стала равна концентрация раствора (в процентах)?

Решение:

  1. Для начала вычислим, сколько кислоты содержится в \(\displaystyle 5\%\) растворе. Из \(\displaystyle 3,8\) кг \(\displaystyle 5\%\) — это кислота, а значит в растворе \(\displaystyle 0,05\cdot 3,8=0,19\ кг\) кислоты
  2. Далее определим массу нового раствора. Как мы уже знаем – масса раствора равна массе его составляющих, т.е. \(\displaystyle 3,8\) кг + \(\displaystyle 1,2\) кг = \(\displaystyle 5\) кг.
  3. Поскольку в чистой воде кислоты нет, то в новом растворе количество кислоты не изменилось – \(\displaystyle 0,19\) кг. Таким образом, концентрация кислоты стала равна \(\displaystyle \frac{0,19}{5}=0,038\)
  4. Теперь выразим концентрацию в процентах — \(\displaystyle 0,038\cdot 100\%=3,8\%\)

Ответ: \(\displaystyle 3,8\).

Теперь давай попробуем решить задачу посложнее.

Пример 2.

Смешали \(\displaystyle 3\) кг \(\displaystyle 5\%\)-го водного раствора щелочи и \(\displaystyle 7\) кг \(\displaystyle 15\%\)-го. Какова концентрация вновь полученного раствора? Ответ дайте в процентах.

Решение:

Давай попробуем визуализировать ситуацию. \(\displaystyle 3\) кг \(\displaystyle 5\%\) водного раствора. Значит воды в этом растворе \(\displaystyle 95\%\).

Нарисуем:

243з-1

А теперь второй раствор:

243з-2

После смешивания, вновь получившийся раствор будет весить \(\displaystyle 3\) кг + \(\displaystyle 7\) кг = \(\displaystyle 10\) кг. Обозначим количество щелочи в новом растворе за \(\displaystyle x\), а количество воды – \(\displaystyle (10-x)\):

243z-3 Теперь выразим количество щелочи в этих двух растворах в килограммах. В первом растворе – \(\displaystyle 0,05\cdot 3=0,15\) кг щелочи и \(\displaystyle 3-0,15=2,85\) кг воды, во втором — \(\displaystyle 0,15\cdot 7=1,05\) кг щелочи и \(\displaystyle 7-1,05=5,95\) кг воды:

243z-4

Из картинки видно, что количество щелочи в новом растворе равно сумме весов кислоты в старых растворах: \(\displaystyle x=0,15+1,05=1,2\) кг кислоты.

Теперь, зная количество щелочи в новом растворе и зная его массу, мы можем легко определить концентрацию:

\(\displaystyle \frac{1,2}{10}=0,12\)

Поскольку ответ просят дать в процентах – умножим на \(\displaystyle 100\%\) -\(\displaystyle 0,12\cdot 100\%=12\%\).

Ответ: \(\displaystyle 12\).

Эту визуализацию удобно использовать в любых задачах на растворы, смеси и сплавы.

Еще пример.

Пример 3.

Чернослив содержит \(\displaystyle 25\%\) влаги. Его получают из сливы, содержащей \(\displaystyle 90\%\) влаги, путем сушки. Сколько нужно килограмм сливы, для получения \(\displaystyle 5\) кг чернослива?

Решение: Давай попробуем нарисовать.

243з-5

  1. Количество сухого (красного на рисунке) вещества не изменилось. Изменилась лишь его пропорция. Давай попробуем найти его вес. Поскольку сухого вещества в черносливе – \(\displaystyle 100\%-25\%=75\%\), то масса сухого вещества составит – \(\displaystyle 0,75\cdot 5\ кг\ =\ 3,75\ кг\).
  2. Нам нужно взять такое количество сливы, чтобы в нем было \(\displaystyle 3,75\) кг сухого вещества. Обозначим вес необходимого количества сливы за \(\displaystyle x\). По условию мы знаем, что сухого вещества в сливе — \(\displaystyle 100\%-90\%=10\%\), т.е. \(\displaystyle 0,1\cdot x\ кг\), а нам нужно \(\displaystyle 3,75\) кг. Получается, что
    \(\displaystyle \begin{array}{l}0,1x=3,75\\x=37,5\end{array}\)
    Для получения \(\displaystyle 5\) кг чернослива, нам нужно взять \(\displaystyle 37,5\) кг сливы.

Ответ: \(\displaystyle 37,5\).

Пример 4.

Имеются два сплава серебра с медью. В первом содержится \(\displaystyle 10\%\) серебра, во втором – \(\displaystyle 25\%\). Сколько килограмм второго сплава нужно добавить к \(\displaystyle 10\)кг первого, чтобы получить сплав с \(\displaystyle 20\%\) содержанием серебра?

Решение:

243з-6

  1. Обозначим за \(\displaystyle x\) искомый вес второго сплава, а за \(\displaystyle y\) – массу получившегося сплава.
  2. Масса серебра в первом сплаве –\(\displaystyle 10\%\cdot 10\ кг=0,1\cdot 10\ кг=1\ кг\), во втором–\(\displaystyle 25\%\cdot x=0,25x\), в новом сплаве –\(\displaystyle 20\%\cdot y=0,2y\).
  3. Теперь у нас есть система уравнений, решив которую найдем искомый \(\displaystyle x\): \(\displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l}10+x=y\\1+0,25x=0,2y\end{array} \right.\ \ \ \ \,\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}10+x=y\\1+0,25y=0,2(10+x)\end{array} \right.\Rightarrow \\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}10+x=y\\1+0,25x=2+0,2x\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}10+x=y\\0,25{x-}0,2x=2-1\end{array} \right.\\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}10+x=y\\0,05x=1\end{array} \right.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \,\,\,\,\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=30\\x=20\end{array} \right.\end{array}\)
  4. Получается, добавив в \(\displaystyle 10\) килограммов \(\displaystyle 10\%\) сплава, \(\displaystyle 20\) килограммов \(\displaystyle 25\%\) сплава — мы получим \(\displaystyle 30\) килограммов \(\displaystyle 20\%\) сплава.

Ответ: \(\displaystyle 20\)

Подведем итоги.

Если ты заметил, во всех задачах мы сначала определяли, какое вещество влияет на концентрацию, назовем его «главным». А дальше следили за абсолютной величиной этого главного вещества (в килограммах, литрах). Если в раствор (сплав) что-то доливали, добавляли, то, в зависимости от состава «добавки», вес «главного» вещества либо изменялся, либо нет. Важно определить, что произошло с «главным» веществом, а дальше решение становится совсем простым.

Тренировка.

А теперь попробуй решить несколько задач самостоятельно, и проверь ответы:

  1. Имеются два сплава с содержанием цинка \(\displaystyle 15\%\) и \(\displaystyle 22\%\). Какова будет концентрация цинка, если сплавить \(\displaystyle 90\) кг первого и \(\displaystyle 50\) кг второго.
  2. Сколько миллилитров \(\displaystyle 55\%\) раствора уксуса нужно добавить к \(\displaystyle 500\) миллилитрам \(\displaystyle 1\%\) раствора, чтобы получить \(\displaystyle 5\%\) раствор уксуса?
  3. Смешали некоторое количество \(\displaystyle 12\%\) раствора вещества с таким же количеством \(\displaystyle 22\%\) раствора этого же вещества. Какова концентрация (в процентах) вещества в новом растворе?
  4. В сосуд, содержащий \(\displaystyle 8\) литров \(\displaystyle 14\%\) раствора кислоты, добавили \(\displaystyle 12\) литров воды. Сколько процентов кислоты содержится в новом растворе?
  5. Сколько килограмм \(\displaystyle 17\%\) сплава меди нужно добавить к \(\displaystyle 5\) килограммам \(\displaystyle 10\%\) сплава меди, чтобы получить \(\displaystyle 12\%\) сплав?

Ответы:

  1. \(\displaystyle 17,5\);
  2. \(\displaystyle 40\);
  3. \(\displaystyle 17\);
  4. \(\displaystyle 5,6\);
  5. \(\displaystyle 2\).

Проверь себя — реши задачи на смеси и сплавы.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий