18 июля

3 comments

Задачи на смеси и сплавы (ЕГЭ – 2021)

Задачи на смеси и сплавы очень простые.

Нужно уметь определять концентрацию вещества – это легко, это просто процент…

И понимать алгоритм решения – он тоже очень простой.

И все. Ничего зубрить не нужно!

Читай эту статью, и ты научишься решать такие задачи!

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

В задачах на смеси и сплавы важно уметь определять концентрацию вещества.

Концентрация вещества в растворе (смеси, сплаве) – это отношение массы или объема вещества к массе или объему всего раствора (смеси, сплава).

Как правило, концентрация выражается в процентах.

Процент – это сотая доля числа.

Она может выражаться либо в виде десятичной дроби \( \displaystyle (0,11)\), либо в виде процента \( \displaystyle (11\%)\).

Давай найдем \( \displaystyle 6\) процентов от \( \displaystyle 200\) рублей.

Для начала нужно найти \( \displaystyle 1\%\). Разделим \( \displaystyle 200\) рублей на \( \displaystyle 100\) равных частей.

Таким образом, получили \( \displaystyle 1\%\). А \( \displaystyle 6\) процентов – это \( \displaystyle 6\cdot 1\%=6\cdot 2=12\) рублей.

\( \displaystyle 6\%\) - это \( \displaystyle 0,06\) (\( \displaystyle 6\) сотых долей числа). Т.е. в единице, \( \displaystyle 6\%\) - это \( \displaystyle 0,06\).

А сколько это будет в \( \displaystyle 200\)? Нужно взять \( \displaystyle 200\) таких единиц - \( \displaystyle 200\cdot 0,06=12\).

А если требуется определить, сколько процентов составляет, например, число \( \displaystyle 39\) от \( \displaystyle 300\)?

Нет ничего проще – мы просто делим одно на другое: \( \displaystyle \frac{39}{300}=\frac{13}{100}=0,13\).

Для того чтобы получить ответ в процентах, нужно десятичную дробь умножить на \( \displaystyle 100\%\) - \( \displaystyle 0,13\cdot 100\%=13\%\).

Почему мы делили на \( \displaystyle 300\)? Для того чтобы определить ту самую сотую долю числа (если тебе не понятно, повтори разделы: "Дроби, рациональные числа"и "Проценты").

Сейчас будет несколько очевидных мыслей.

С точки зрения химии и физики – они не всегда выполняются, но для удобства и простоты, при составлении задач для ЕГЭ придерживаются именно этих предпосылок.

Главное, чтобы ты не впал в ступор на экзамене, пытаясь понять, что же составители имели в виду.

И еще. ВАЖНО! Не зубри! Не запоминай формулировки, как они звучать в точности! Лучше пойми примеры, то есть перескажи их ПОНЯТНЫМ ТЕБЕ ЯЗЫКОМ, и их запомни.

Читай далее, и ты поймешь, о чем я говорю.

Масса раствора (смеси, сплава) равна сумме масс всех составляющих.

Апельсиновый напиток (раствор) состоящий из \( \displaystyle 3\) литров апельсинового сока и \( \displaystyle 7\) литров воды, будет "весить" \( \displaystyle 10\) литров.

Тебе не нужно зубрить формулировку: "Масса раствора (смеси и сплава) равна сумме масс всех составляющих... ". Это очень трудно запомнить, потому что это НЕ твой язык.

Просто переформулируй пример СВОИМИ СЛОВАМИ и представь как это выглядит: "Вот стоит напиток и я знаю что в нем 3 литра сока и 7 литров воды. Значит всего будет 10 литров. Не 11, не 9, а точно 10."

Проще? Читай дальше!

При смешивании нескольких растворов (смесей, сплавов) масса нового раствора становится равной сумме всех смешанных растворов.

Если мы смешаем \( \displaystyle 6\) литров яблочного сока и \( \displaystyle 6\) литров персикового сока – то получится \( \displaystyle 12\) литров яблочно-персикового сока.

И еще одна очевидность (последняя).

Масса растворенного вещества при смешивании двух растворов суммируется.

Если мы смешаем \( \displaystyle 3\) литра яблочного сока с \( \displaystyle 10\%\) мякоти (\( \displaystyle 0,3\) л), и \( \displaystyle 5\) литров яблочного сока с \( \displaystyle 5\%\) мякоти (\( \displaystyle 0,25\) л), то получим \( \displaystyle 8\) литров сока с \( \displaystyle 0,55\) л мякоти \( \displaystyle \left( 0,3+0,25 \right)\).

Перейдем к задачам.

Задачи на смеси и сплавы бывают двух основных видов:

  • Две смеси определенной массы с некоторой концентрацией вещества сливают вместе. Нужно определить массу и концентрацию этого вещества в новой смеси.
  • В некоторый раствор, с некоторой концентрацией вещества, добавляют, например, чистую воду (с нулевой концентрацией этого вещества). Нужно определить, какой стала концентрация вещества.

Строго говоря, подход к решению от этого не меняется.

Во втором случае мы тоже смешиваем две смеси, просто в одной концентрация вещества больше \( \displaystyle 0\), а в другой равна \( \displaystyle 0\).

Давай попробуем решить несколько задачек. Попробуй решить каждую самостоятельно, а если не получится – посмотри в решение.

В \( \displaystyle 5\%\) раствор кислоты массой \( \displaystyle 3,8\) кг добавили \( \displaystyle 1,2\) кг чистой воды. Чему стала равна концентрация раствора (в процентах)?

Решение:

  1. 1
    Для начала вычислим, сколько кислоты содержится в \( \displaystyle 5\%\) растворе. Из \( \displaystyle 3,8\) кг \( \displaystyle 5\%\) - это кислота, а значит в растворе \( \displaystyle 0,05\cdot 3,8=0,19\ кг\) кислоты
  2. 2
    Далее определим массу нового раствора. Как мы уже знаем – масса раствора равна массе его составляющих, т.е. \( \displaystyle 3,8\) кг + \( \displaystyle 1,2\) кг = \( \displaystyle 5\) кг
  3. 3
    Поскольку в чистой воде кислоты нет, то в новом растворе количество кислоты не изменилось – \( \displaystyle 0,19\) кг. Таким образом, концентрация кислоты стала равна \( \displaystyle \frac{0,19}{5}=0,038\)
  4. 4
    Теперь выразим концентрацию в процентах - \( \displaystyle 0,038\cdot 100\%=3,8\%\)

Ответ: \( \displaystyle 3,8\).

Теперь давай попробуем решить задачу посложнее.

Смешали \( \displaystyle 3\) кг \( \displaystyle 5\%\)-го водного раствора щелочи и \( \displaystyle 7\) кг \( \displaystyle 15\%\)-го. Какова концентрация вновь полученного раствора? Ответ дайте в процентах.

Решение:

Давай попробуем визуализировать ситуацию. \( \displaystyle 3\) кг \( \displaystyle 5\%\) водного раствора. Значит воды в этом растворе \( \displaystyle 95\%\).

Нарисуем:

А теперь второй раствор:

После смешивания, вновь получившийся раствор будет весить \( \displaystyle 3\) кг + \( \displaystyle 7\) кг = \( \displaystyle 10\) кг. Обозначим количество щелочи в новом растворе за \( \displaystyle x\), а количество воды – \( \displaystyle (10-x)\):

Теперь выразим количество щелочи в этих двух растворах в килограммах. В первом растворе – \( \displaystyle 0,05\cdot 3=0,15\) кг щелочи и \( \displaystyle 3-0,15=2,85\) кг воды, во втором - \( \displaystyle 0,15\cdot 7=1,05\) кг щелочи и \( \displaystyle 7-1,05=5,95\) кг воды:

Из картинки видно, что количество щелочи в новом растворе равно сумме весов кислоты в старых растворах: \( \displaystyle x=0,15+1,05=1,2\) кг кислоты.

Теперь, зная количество щелочи в новом растворе и зная его массу, мы можем легко определить концентрацию:

\( \displaystyle \frac{1,2}{10}=0,12\)

Поскольку ответ просят дать в процентах – умножим на \( \displaystyle 100\%\) -\( \displaystyle 0,12\cdot 100\%=12\%\).

Ответ: \( \displaystyle 12\).

Эту визуализацию удобно использовать в любых задачах на растворы, смеси и сплавы.

Еще пример.

Чернослив содержит \( \displaystyle 25\%\) влаги. Его получают из сливы, содержащей \( \displaystyle 90\%\) влаги, путем сушки. Сколько нужно килограмм сливы, для получения \( \displaystyle 5\) кг чернослива?

Решение:

Давай попробуем нарисовать.

Теперь рассуждай:

  1. 1
    Количество сухого (красного на рисунке) вещества не изменилось. Просто испарилась вода! Изменилась лишь пропорция сухого вещества. Давай попробуем найти его вес. Поскольку сухого вещества в черносливе – \( \displaystyle 100\%-25\%=75\%\), то масса сухого вещества составит – \( \displaystyle 0,75\cdot 5\ кг\ =\ 3,75\ кг\).
  2. 2
    Нам нужно взять такое количество сливы, чтобы в нем было \( \displaystyle 3,75\) кг сухого вещества. Обозначим вес необходимого количества сливы за \( \displaystyle x\). По условию мы знаем, что сухого вещества в сливе - \( \displaystyle 100\%-90\%=10\%\), т.е. \( \displaystyle 0,1\cdot x\ кг\), а нам нужно \( \displaystyle 3,75\) кг. Получается, что
    \( \displaystyle \begin{array}{l}0,1x=3,75\\x=37,5\end{array}\).
    Для получения \( \displaystyle 5\) кг чернослива, нам нужно взять \( \displaystyle 37,5\) кг сливы.

Ответ: \( \displaystyle 37,5\).

Имеются два сплава серебра с медью. В первом содержится \( \displaystyle 10\%\) серебра, во втором – \( \displaystyle 25\%\). Сколько килограмм второго сплава нужно добавить к \( \displaystyle 10\)кг первого, чтобы получить сплав с \( \displaystyle 20\%\) содержанием серебра?

Решение:

  1. 1
    Обозначим за \( \displaystyle x\) искомый вес второго сплава, а за \( \displaystyle y\) – массу получившегося сплава.
  2. 2
    Масса серебра в первом сплаве –\( \displaystyle 10\%\cdot 10\ кг=0,1\cdot 10\ кг=1\ кг\), во втором–\( \displaystyle 25\%\cdot x=0,25x\), в новом сплаве –\( \displaystyle 20\%\cdot y=0,2y\).
  3. 3
    Теперь у нас есть система уравнений, решив которую найдем искомый \( \displaystyle x\): \( \displaystyle \begin{array}{l}\ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l}10+x=y\\1+0,25x=0,2y\end{array} \right.\ \ \ \ \,\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}10+x=y\\1+0,25y=0,2(10+x)\end{array} \right.\Rightarrow \\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}10+x=y\\1+0,25x=2+0,2x\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}10+x=y\\0,25{x-}0,2x=2-1\end{array} \right.\\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}10+x=y\\0,05x=1\end{array} \right.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \,\,\,\,\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=30\\x=20\end{array} \right.\end{array}\)
  4. 4
     Получается, добавив в \( \displaystyle 10\) килограммов \( \displaystyle 10\%\) сплава, \( \displaystyle 20\) килограммов \( \displaystyle 25\%\) сплава - мы получим \( \displaystyle 30\) килограммов \( \displaystyle 20\%\) сплава.

Ответ: \( \displaystyle 20\).

Подведем итоги

Если ты заметил, во всех задачах мы сначала определяли, какое вещество влияет на концентрацию, назовем его «главным».

Дальше следили за абсолютной величиной этого главного вещества (в килограммах, литрах). Если в раствор (сплав) что-то доливали, добавляли, то, в зависимости от состава «добавки», вес «главного» вещества либо изменялся, либо нет.

Важно определить, что произошло с «главным» веществом, а дальше решение становится совсем простым.

А теперь попробуй решить несколько задач самостоятельно, и проверь ответы:

  1. 1
    Имеются два сплава с содержанием цинка \( \displaystyle 15\%\) и \( \displaystyle 22\%\). Какова будет концентрация цинка, если сплавить \( \displaystyle 90\) кг первого и \( \displaystyle 50\) кг второго.
  2. 2
    Сколько миллилитров \( \displaystyle 55\%\) раствора уксуса нужно добавить к \( \displaystyle 500\) миллилитрам \( \displaystyle 1\%\) раствора, чтобы получить \( \displaystyle 5\%\) раствор уксуса?
  3. 3
    Смешали некоторое количество \( \displaystyle 12\%\) раствора вещества с таким же количеством \( \displaystyle 22\%\) раствора этого же вещества. Какова концентрация (в процентах) вещества в новом растворе?
  4. 4
     В сосуд, содержащий \( \displaystyle 8\) литров \( \displaystyle 14\%\) раствора кислоты, добавили \( \displaystyle 12\) литров воды. Сколько процентов кислоты содержится в новом растворе?
  5. 5
    Сколько килограмм \( \displaystyle 17\%\) сплава меди нужно добавить к \( \displaystyle 5\) килограммам \( \displaystyle 10\%\) сплава меди, чтобы получить \( \displaystyle 12\%\) сплав?

Ответы:

  1. 1
    \( \displaystyle 17,5\);
  2. 2
    \( \displaystyle 40\);
  3. 3
    \( \displaystyle 17\);
  4. 4
     \( \displaystyle 5,6\);
  5. 5
    \( \displaystyle 2\).
Концентрация какого-то вещества в растворе – это отношение массы или объема этого вещества к массе или объему всего раствора.

То же самое относится и к сплавам: содержание одного из металлов в сплаве – это отношение массы этого металла к массе всего сплава.

Обычно концентрация измеряется в процентах.

Что такое процент?

Напомню, что это сотая доля числа. То есть, если массу или объем разделить на \( \displaystyle 100\), получим \( \displaystyle 1\%\) этой массы или объема.

Чтобы вычислить концентрацию в процентах, достаточно полученное число умножить на \( \displaystyle 100\%\).

Почему?

Сейчас покажу: пусть масса всего раствора равна \( \displaystyle M\), а масса растворенного вещества (например, соли или кислоты) – \( \displaystyle m\). Тогда один процент от массы раствора равен \( \displaystyle \frac{M}{100}\).

Как узнать, сколько таких процентов содержится в числе \( \displaystyle m\)?

Просто: поделить число \( \displaystyle m\) на этот один процент: \( \displaystyle \frac{m}{\frac{M}{100}}=\frac{m}{M}\cdot 100\), но ведь \( \displaystyle \frac{m}{M}\) – это концентрация.

Вот и получается, что ее надо умножить на \( \displaystyle 100\), чтобы узнать, сколько процентов вещества содержится в растворе.

Более подробно о процентах – в темах "Дроби, рациональные числа", "Проценты".

Поехали дальше.

Масса раствора, смеси или сплава равна сумма масс всех составляющих.

Логично, правда?

Например, если в растворе массой \( \displaystyle 10\) кг содержится \( \displaystyle 3\) кг соли, то сколько в нем воды? Правильно, \( \displaystyle 7\)кг.

И еще одна очевидность:

При смешивании нескольких растворов (или смесей, или сплавов), масса нового раствора становится равной сумме масс всех смешанных растворов.

А масса растворенного вещества в итоге равна сумме масс этого же вещества в каждом растворе отдельно.

Например: в первом растворе массой \( \displaystyle 10\) кг содержится \( \displaystyle 3\) кг кислоты, а во втором растворе массой \( \displaystyle 14\) кг – \( \displaystyle 5\) кг кислоты.

Когда мы их смешаем, чему будет равна масса нового раствора?

\( \displaystyle 10+14=24\) кг.

А сколько в новом растворе будет кислоты? \( \displaystyle 3+5=8\) кг.

Теперь соединим полученные знания и решим несколько примеров.

Разбор примеров

Решение примера №10

В \( \displaystyle 10\%\) раствор кислоты массой \( \displaystyle 3\) кг добавили \( \displaystyle 1,8\) кг чистой воды. Чему стала равна концентрация раствора (в процентах)?

Решил? Смотри:

  1. 1
    Вычисляем массу кислоты. Для этого запишем, что такое концентрация:
    \( \displaystyle \frac{m}{M}\cdot 100\%=10\%\text{ }\Rightarrow \text{ }\frac{m}{M}=0,1\text{ }\Rightarrow \text{ }m=0,1\cdot M=0,1\cdot 3=0,3\) кг.
    Впредь проценты всегда будем сразу записывать в виде десятичной дроби:
    \( \displaystyle 1\%=0,01\).
  2. 2
    Вычисляем массу нового раствора: \( \displaystyle 3+1,8=4,8\) кг.
  3. 3
    Новая концентрация: \( \displaystyle \frac{0,3}{4,8}=0,0625=6,25\%\).

Решение примера №11

Смешали два раствора: \( \displaystyle 2\) кг \( \displaystyle 10\%\)-ного и \( \displaystyle 3\) кг \( \displaystyle 20\%\)-ного. Какова концентрация полученного раствора?

Решение:

Визуализируем ситуацию: схематично изобразим емкости с растворами, около них подпишем массу раствора, а внутри – содержание кислоты:

Теперь составляем два уравнения: первое – это сложение емкостей целиком, то есть: \( \displaystyle 2+3=M\) – масса нового раствора.

Второе – складываем только кислоту. В первом сосуде ее \( \displaystyle 0,1\cdot 2\) кг, а во втором \( \displaystyle 0,2\cdot 3\) кг. Значит, \( \displaystyle 0,1\cdot 2+0,2\cdot 3=M\cdot x\) – масса кислоты в новом растворе.

Получаем:

\( \displaystyle \left. \begin{array}{l}M=2+3=\text{5 кг}\\M\cdot x=0,1\cdot 2+0,2\cdot 3=0,8\text{ кг }\end{array} \right|\Rightarrow \text{ }x=\frac{0,8}{5}=0,16=16\%\).

Ответ: \( \displaystyle 16\%\).

Эту визуализацию удобно использовать в любых задачах на растворы, смеси и сплавы.

Решение примера №12

Изюм содержит \( \displaystyle 5\%\) влаги. Его получают из винограда, содержащего \( \displaystyle 90\%\) влаги. Сколько потребуется винограда, чтобы получить \( \displaystyle 3\) кг изюма?

Решение:

Получаем систему: \( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x-y=3\\0,9x-y=0,05\cdot 3\end{array} \right.\)

В первом уравнении вычитаем то, что написано снаружи «сосудов», а во втором – то, что внутри.

Итак, решаем систему и получаем: \( \displaystyle 0,1x=3-0,15\text{ }\Rightarrow \text{ }x=28,5\) кг.

Ответ: \( \displaystyle 28,5\).

Задачи на смеси и сплавы бывают двух видов:

  • Две смеси определенной массы с некоторой концентрацией вещества сливают вместе. Нужно определить массу и концентрацию этого вещества в новой смеси.
  • В некоторый раствор, с некоторой концентрацией вещества, добавляют, например, чистую воду (с нулевой концентрацией этого вещества). Нужно определить, какой стала концентрация вещества.

В задачах на смеси и сплавы важно уметь определять концентрацию и массу вещества.

Концентрация вещества – это отношение массы или объема вещества к массе или объему всего раствора. Как правило, концентрация выражается в процентах.

Масса раствора равна сумме масс всех составляющих.

При смешивании нескольких растворов (смесей, сплавов) масса нового раствора становится равной сумме всех смешанных растворов.

Масса растворенного вещества при смешивании двух растворов суммируется.

Алгоритм решения задач на смеси и сплавы:

  1. 1
    Определить, какое вещество влияет на концентрацию раствора (главное вещество).
  2. 2
    Следить за весом главного вещества при добавлении других веществ в раствор.
  3. 3
    Исходя из данных об изменениях состояния главного вещества - сделать выводы.

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

А сейчас дело для тебя...

Сегодня ты научился решать задачи на сплавы, смеси и растворы. Самое главное – ты "учишься учиться". Ты справился с этой темой. И сможешь решить любую задачу!

А теперь мы хотим услышать тебя. Была ли эта статья полезна? Что ты о ней думаешь? Напиши нам ниже в комментариях!

Расскажи об этой статье тому, кто тоже хочет разобраться. И если у тебя остались вопросы, напиши нам. Там же. В комментариях.

Мы обязательно ответим.

Успехов!

  • Спасибо за объяснения! Все доступно изложено и структурированно по теории и практике. Наконец-то смогла разобраться с этой темой! Пойду решать задачи:)

    • Александр Кель:

      Решать задачи — это самое правильное! Очень рады, что вы разобрались!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Ахтонг
    19 октября 2017
    я научился, хороший тест

    Я
    08 марта 2018
    Спасибо, я благодаря вам поступлю в физ-мат:-) 🙂 🙂

    Ксения
    06 июня 2018
    Такую простую вещь не могла долго понять, пока вы не объяснили доходчиво и доступно. Спасибо большое!
    Наталья Викторовна.

    27 августа 2019
    Хорошая подборка заданий, говорю как учитель математики выпускных классов, Спасибо. До кого не доходит, отправлю к вам. Главное не останавливаться, если закрыт главный вход, попробуй зайти со служебного. Посмотрите второй пример, в тексте 3кг, на рис 5кг.

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >