Средний уровень

Двугранный угол. Полный иллюстрированный гид (2019)

Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.

Вот так:

Двугранный угол рис. 1

При этом прямая   – это ребро двугранного угла, а полуплоскости   и   - стороны или грани двугранного угла.

Двугранный угол получает обозначение по своему ребру: «двугранный угол  ».

С понятием двугранного угла тесно связано понятия: угол между плоскостями.

Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.

Двугранный угол рис. 2

Итак, внимание! Различие между двугранным углом и углом между плоскостями в том, что:

Двугранный угол может быть и острым, и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!

Линейный угол двугранного угла.

Как измерить двугранный угол?

Нужно поступить так: из произвольной точки на ребре двугранного угла провести в каждой плоскости по перпендикуляру к этому ребру.

Смотри:

Двугранный угол рис. 3

В плоскости   провели перпендикуляр   к ребру  . Что получилось? Обычный, плоский угол  . Вот этот угол и называется: линейный угол двугранного угла  .

Зачем этот линейный угол? Запомни, это очень ВАЖНО:

Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла.

То есть математически договорились, что если угол φ будет равен, к примеру  , то это будет автоматически означать, что угол   равен  .

Вот и ключ к поиску величины двугранного угла и угла между плоскостями:

Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.

Ещё раз немного о названиях.

Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен  , то есть тот, у которого линейный угол равен  .

 

Как найти угол между плоскостями.

Найти угол между плоскостями (можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим).

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Двугранный угол рис. 4

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

Вот такая:

 

Здесь   - коэффициенты уравнений плоскостей   и   соответственно.

  

 :  .

Какой же способ лучше? Зависит от задачи. Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ, а если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку. Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать  , а потом ещё и  .

Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода. А в твоих задачах выбор за тобой!

Задача 1.

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро в три раза больше ребра основания. Найти двугранный угол при основании пирамиды.

Решаем геометрически:

Двугранный угол рис. 5

Пусть   – середина  , а стороны  ,   и   равна  .   –равнобедренный,   - правильный (это всё от того, что пирамида правильная). Поэтому   и   (медианы   и   являются также и высотами). Значит   – линейный угол двугранного угла  .

Осталось его найти.

  (теорема Пифагора для  )

 

(теорема Пифагора для  )

 

(это теорема косинусов для  ).

Итак,  

Ответ:  .

Теперь решаем с помощью метода координат:

Двугранный угол рис. 6

Введём систему координат с центром в центре основания,  ;   вдоль  ,   - вдоль высоты пирамиды. Тогда плоскость   имеет уравнение  , то есть    .

Найдём уравнение плоскости  .

Точка   имеет координаты  , так как   – радиус описанной окружности  . Точка   имеет координаты  . Точка   имеет координаты  

 ,

То есть  .

Ищем уравнение плоскости:

 

 

 

Можно считать, что   так как  .

Тогда  ;  ;  .

 

 

По – моему здесь геометрический способ проще!

Ответ:  

 

ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.
Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.Двугранный угол может быть и острым ,и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!
  • Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла.
  • Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.
Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен  , то есть тот, у которого линейный угол равен  .

 

Два способа найти угол между плоскостями:

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

 

Комментарии

Мария
11 июля 2018

Обратите внимание на первый рисунок. Отрезок AB на нем не является ребром двугранного угла.

ответить

Александр (админ)
11 июля 2018

Спасибо, Мария! Исправили.

ответить

Елена
24 января 2019

Здравствуйте! Очень нравится ваш учебник. Исправьте в задаче в формуле cos∠SKB и в комментарии к ней (это теорема косинусов), и далее Итак, cos∠SKB. Отличная работа! Спасибо!

ответить

Александр (админ)
24 января 2019

Спасибо, Елена! Обязательно исправим.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть