Двугранный угол (ЕГЭ 2022)

Привет!

Дай нам 10 минут ты разберешься в одной из самых важных тем стереометрии.

И получишь за неё баллы на ЕГЭ!

Поехали!

Двугранный угол – коротко о главном

Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.

Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.

Двугранный угол может быть и острым и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!

  • Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла.
  • Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.

Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен \( \displaystyle 90{}^\circ \), то есть тот, у которого линейный угол равен \( \displaystyle 90{}^\circ \).

Два способа найти угол между плоскостями:

  • При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

\( \displaystyle \cos \gamma =\frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}\)

Двугранный угол – определения

Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.

Вот так:

При этом прямая \( \displaystyle AB\) – это ребро двугранного угла, а полуплоскости \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) – стороны или грани двугранного угла.

Двугранный угол получает обозначение по своему ребру: «двугранный угол \( \displaystyle AB\)».

С понятием двугранного угла тесно связано понятие угол между плоскостями.

Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.

Итак, внимание! Различие между двугранным углом и углом между плоскостями в том, что:

Двугранный угол может быть и острым, и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!

Линейный угол двугранного угла

Как измерить двугранный угол?

Нужно поступить так: из произвольной точки на ребре двугранного угла провести в каждой плоскости по перпендикуляру к этому ребру.

Смотри:

В плоскости \( \displaystyle \alpha \) провели перпендикуляр \( \displaystyle MD\) к ребру \( \displaystyle AB\). Что получилось? Обычный, плоский угол \( \displaystyle \varphi \).

Вот этот угол и называется: линейный угол двугранного угла \( \displaystyle AB\).

Зачем этот линейный угол? Запомни, это очень ВАЖНО:

Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла.

То есть математически договорились, что если угол φ будет равен, к примеру \( \displaystyle 20{}^\circ \), то это будет автоматически означать, что угол \( \displaystyle AB\) равен \( \displaystyle 20{}^\circ \).

Вот и ключ к поиску величины двугранного угла и угла между плоскостями:

Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.

Ещё раз немного о названиях.

Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен \( \displaystyle 90{}^\circ \), то есть тот, у которого линейный угол равен \( \displaystyle 90{}^\circ \).

Как найти угол между плоскостями?

Найти угол между плоскостями можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим.

Геометрический способ

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

Вот такая:

\( \displaystyle \cos \gamma =\frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}\)

Здесь \( \displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}\) – коэффициенты уравнений плоскостей \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) соответственно.

Подробнее про уравнение плоскости ты можешь прочитать в статье «Расстояние от точки до плоскости»!

\( \displaystyle \alpha \): \( \displaystyle {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+D=0\)

\( \displaystyle \beta \): \( \displaystyle {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+D=0\).

Какой же способ лучше? Зависит от задачи.

Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ.

А если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку.

Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать \( \displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}\), а потом ещё и \( \displaystyle \cos \gamma \).

Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода к одной и той же задаче.

Решение геометрическим способом

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро в три раза больше ребра основания. Найти двугранный угол при основании пирамиды.

Пусть \( \displaystyle K\) – середина \( \displaystyle AC\), а стороны \( \displaystyle AB\), \( \displaystyle BC\) и \( \displaystyle AC\) равна \( \displaystyle a\). \( \displaystyle \Delta SAC\) –равнобедренный, \( \displaystyle \Delta ABC\) – правильный (это всё от того, что пирамида правильная).

Поэтому \( \displaystyle SK\bot AC\) и \( \displaystyle BK\bot AC\) (медианы \( \displaystyle SK\) и \( \displaystyle BK\) являются также и высотами).

Значит \( \displaystyle \angle SKB\) – линейный угол двугранного угла \( \displaystyle AC\).

Осталось его найти.

\( \displaystyle SK=\sqrt{S{{C}^{2}}-K{{C}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{\sqrt{35}a}{2}\) (теорема Пифагора для \( \displaystyle \Delta SKC\))

\( \displaystyle BK=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)

(теорема Пифагора для \( \displaystyle \Delta CBK\))

\( \displaystyle \cos \angle SKB=\frac{S{{K}^{2}}+B{{K}^{2}}-S{{B}^{2}}}{2SK\cdot BK}=\frac{\frac{35{{a}^{2}}}{4}+\frac{3{{a}^{2}}}{4}-9{{a}^{2}}}{\frac{2\sqrt{35}a}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}a}{2}}\)

(это теорема косинусов для \( \displaystyle \Delta SKB\)).

Итак, \( \displaystyle \cos \angle SKB=\frac{1}{\sqrt{105}}\)

Ответ: \( \displaystyle arccos\frac{1}{\sqrt{105}}\).

Решение алгебраическим способом (метод координат)

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро в три раза больше ребра основания. Найти двугранный угол при основании пирамиды.

Введём систему координат с центром в центре основания, \( \displaystyle Ox\parallel AB\); \( \displaystyle Oy\) вдоль \( \displaystyle OC\), \( \displaystyle Oz\) – вдоль высоты пирамиды.

Тогда плоскость \( \displaystyle ABC\) имеет уравнение \( \displaystyle z=0\), то есть \( \displaystyle {{A}_{1}}=0\), \( \displaystyle {{B}_{1}}=0\), \( \displaystyle {{C}_{1}}=1\).

Найдём уравнение плоскости \( \displaystyle SAC\).

Точка \( \displaystyle C\) имеет координаты \( \displaystyle \left( 0;\frac{\sqrt{3}a}{3};0 \right)\), так как \( \displaystyle OC\) – радиус описанной окружности \( \displaystyle \Delta ABC\). Точка \( \displaystyle A\) имеет координаты \( \displaystyle \left( \frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{6};0 \right)\). Точка \( \displaystyle S\) имеет координаты \( \displaystyle \left( 0;0;OS \right)\)

\( \displaystyle \text{OS}=\sqrt{\text{S}{{\text{C}}^{2}}-\text{O}{{\text{C}}^{2}}}=\sqrt{9{{\text{a}}^{2}}-\frac{{{\text{a}}^{2}}}{3}}=\frac{\sqrt{26}\text{a}}{\sqrt{3}}\),

То есть \( \displaystyle S\left( 0;0;\frac{\sqrt{26\text{ }\!\!~\!\!\text{ a}}}{\sqrt{3}} \right)\).

Ищем уравнение плоскости:

\( \displaystyle {{A}_{2}}\frac{a}{2}-{{B}_{2}}\frac{a\sqrt{3}}{6}+{{C}_{2}}\cdot 0+{{D}_{2}}=0\) \( \displaystyle {{A}_{2}}\cdot 0-{{B}_{2}}\frac{a\sqrt{3}}{3}+{{C}_{2}}\cdot 0+{{D}_{2}}=0\) \( \displaystyle {{A}_{2}}\cdot 0-{{B}_{2}}\cdot 0+{{C}_{2}}\frac{\sqrt{26}a}{\sqrt{3}}+{{D}_{2}}=0\)

Можно считать, что \( \displaystyle {{D}_{2}}=-a\) так как \( \displaystyle {{D}_{2}}\ne 0\).

Тогда \( \displaystyle {{C}_{2}}=\frac{\sqrt{3}}{26}\); \( \displaystyle {{B}_{2}}=-\sqrt{3}\); \( \displaystyle {{A}_{2}}=3\).

\( \displaystyle \cos \gamma =\frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}\) \( \displaystyle \cos \gamma =\frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{26}}}{\sqrt{{{0}^{2}}+{{0}^{2}}+{{1}^{2}}}\sqrt{{{3}^{2}}+\left( -{{\sqrt{3}}^{2}} \right)+{{(\frac{\sqrt{3}}{26})}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{105}}\)

По-моему, здесь геометрический способ проще!

Ответ: \( \displaystyle arccos\frac{1}{\sqrt{105}}\)

Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

На этом уроке на примере самых простых объемных фигур мы научимся находить важнейшие вещи в стереометрии – расстояния и углы в пространстве.

Куб, параллелепипед и призма – задача №8 из ЕГЭ.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Что делать дальше…

Сейчас ты научился решать один из базовых типов задач по стереометрии. 

Большинство задач так и звучат: “Найдите величину угла между гранью фигуры и плоскостью сечения…”

Вот что мы сделаем дальше. Если у тебя остались вопросы, обязательно задай их ниже в комментариях!

А еще мы будем рады услышать твое мнение о статье. Расскажи нам, понравилась ли она тебе?

Мы читаем все.

Удачи на всех экзаменах!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2 комментария