Формулы сокращенного умножения. Начальный уровень.

Знание формул сокращенного умножения, позволяет быстро приводить многочлен к стандартному виду (без раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых). Для успешной сдачи ЕГЭ, этиформулы необходимо выучить наизусть.

Всего существует семь основных формул сокращенного умножения :

1. Квадрат суммы:

    

2. Квадрат разности:

    

3. Разность квадратов:

    

4. Куб суммы:

    

5. Куб разности:

    

6. Сумма кубов:

    

7. Разность кубов:

    

 

Итак, формулы сокращенного умножения... Все мы слышали о них и видели эти формулы:

 

Но, как правило, мало кто понимает зачем запоминать эти формулы? Как они могут пригодиться при расчетах? И еще один важный вопрос КАК их можно вообще ЗАПОМНИТЬ?! Поговорим обо всем по порядку, но сначала затронем вопрос о применении их на практике.

Квадрат суммы и квадрат разности

Название «Формулы сокращенного умножения» совсем не случайно.

Возьмем самую простую первую формулу квадрат суммы   - и попробуем последовательно возвести сумму в скобках в квадрат, то есть, умножить   само на себя:

Посмотри, что еще можно сделать с тем выражением, которое у нас получилось? Правильно, привести подобные слагаемые:

Таким образом выводятся все формулы сокращенного умножения. Ты можешь выводить их каждый раз самостоятельно, а можешь не тратить на это время и быстро посчитать необходимый пример, зная конечное значение формул.

Конечно, квадрат суммы посчитать вручную не так сложно, но что ты скажешь насчет куба суммы или куба разности? Куб суммы означает, что необходимо   само умножить на себя три раза:

И это мы расписали перемножение только первой скобки, а тоже самое необходимо сделать со второй и с третьей… Согласись, запутаться очень легко, а, как правило, от того, как ты посчитаешь это простое действие, зависит ответ всего примера.

Таким образом, формулы сокращенного умножения позволяют сократить трудоемкое перемножение членов друг на друга и получить быстрый результат.

Как выводится формула для квадрата суммы, мы описали ранее. Попробуем произвести аналогичные действия с квадратом разности.

Квадрат разности означает умножить   само на себя. Попробуй вывести формулу для данного выражения самостоятельно, по аналогии с квадратом суммы.

Справился? Посмотрим, как ты раскрыл скобки:

 Что мы делаем дальше? Правильно, приводим подобные слагаемые:

Ты наверняка уже заметил некую закономерность? Присмотрись внимательно к формулам квадрат суммы и квадрат разности. В чем их отличие?

Конечно, ты увидел, что если мы возводим в квадрат разность между   и  , то мы вычитаем их удвоенное произведение, а если возводим в квадрат сумму, то прибавляем. При возведении разности и суммы в квадрат, не забывай про удвоенное произведение чисел   и  ! Это грубейшая и самая распространенная ошибка!

Формулы сокращенного умножения. Примеры.

Сейчас ты скажешь: «Понятно, что с помощью формул я могу быстрее преобразовывать примеры и вероятнее всего, приду в них к правильному ответу, но как они мне могут пригодится просто так? В жизни?»

Это очень просто! Сколько будет  ? Не нужно кидаться перемножать   на   в столбик, и уж тем более не стоит набирать цифры на калькуляторе. Просто представь  , как сумму   и   и возведи ее в квадрат. Получилось? Сравни ход своих мыслей:

 

С помощью формул квадрат суммы и квадрат разности мы можем легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор и не считая в столбик. Необходимо просто представить число в виде суммы (или разности) чисел, квадрат которых мы хорошо знаем.

Формулы сокращенного умножения. Тренировка.

Попробуй таким способом вычислить следующие выражения:

1.  ;
2.  ;
3.  ;

Ответы:

1.  

2.  .

Тебе может показаться, что посчитать   это сложно, но ты можешь преобразовать это в выражение: 

Либо, если ты знаешь квадраты основных двухзначных чисел, вспомни, сколько будет  ? Вспомнил?  . Отлично! Так как мы возводим в квадрат  , то мы должны умножить   на    . Получается, что  .

3.  

Помни, что формулы квадрат суммы и квадрат разности справедливы не только для числовых выражений:

 .

Посчитай самостоятельно следующие выражения:

1.  
2.  
3.  

У тебя получилось следующее?

Молодец!

Формулы сокращенного умножения. Итог.

Подведем небольшой итог и запишем формулы квадрата суммы и разности в одну строку:

 

Теперь потренируемся «собирать» формулу из разложенного вида   в вид  . Данный навык понадобится нам в дальнейшем при преобразовании больших выражений.

Допустим, у нас есть следующее выражение:

 .

Мы знаем, что квадрат суммы (или разности) – это квадрат одного числа   квадрат другого числа и   удвоенное произведение этих чисел.

В данной задаче легко увидеть квадрат одного числа – это  . Соответственно, одно из чисел, входящих в скобку   , - это квадратный корень из  , то есть

 

Так как во втором слагаемом есть  , значит, это удвоенное произведение одного и другого числа, соответственно:

 , где   – второе число, входящее в нашу скобку.

 . Второе число, входящее в скобку, равно  .

Проверим.   должно быть равно  . Действительно так и есть, значит, мы нашли оба числа, присутствующие в скобках:   и  . Осталось определить знак, который стоит между ними. Как ты думаешь, что за знак там будет?

Правильно! Так как мы прибавляем удвоенное произведение, то между числами будет стоять знак сложения. Теперь запиши преобразованное выражение. Справился? У тебя должно получиться следующее:

 

Заметь: перемена мест слагаемых не сказывается на результате (неважно, сложение или вычитание стоит между   и  ).

 

Совершенно необязательно, чтобы слагаемые в преобразуемом выражении стояли так, как написано в формуле. Посмотри на это выражение:  . Попробуй преобразовать его самостоятельно. Получилось?

 

Потренируйся – преобразуй следующие выражения:

1.  
2.  
3.  

Ответы:

Справился? Закрепим тему. Выбери из приведенных ниже выражений те, которые можно представить в виде квадрата суммы или разности.

1.  
2.  
3.  

Ответы:

Разность квадратов

Еще одна формула сокращенного умножения – разность квадратов.

Разность квадратов это не квадрат разности!

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

 

Проверим, верна ли эта формула. Для этого перемножим  , как делали при выведении формул квадрата суммы и разности:

Что мы делаем дальше? Правильно! Приводим подобные слагаемые и получаем:

Таким образом, мы только что удостоверились, что формула действительно верная. Данная формула также упрощает сложные вычислительные действия. Приведем пример:

Необходимо вычислить:  . Конечно, мы можем возвести в квадрат  , затем возвести в квадрат   и вычесть одно из другого, но формула упрощает нам задачу:

 

Попробуй самостоятельно посчитать следующие выражения:

1.  
2.  
3.  

Получилось? Сверим результаты:

Так же как и квадрат суммы (разности), формула разности квадратов может применяться не только с числами:

 

Умение раскладывать разность квадратов поможет нам преобразовывать сложные математические выражения.

Обрати внимание:

 

 

Поскольку  , при разложении на квадрат разности правого выражения мы получим

 .

Будь внимателен и смотри, какое конкретное слагаемое возводится в квадрат! Для закрепления темы преобразуй следующие выражения:

1.  
2.  
3.  
4.  

Записал? Сравним полученные выражения:

Теперь, когда ты усвоил квадрат суммы и квадрат разности, а также разность квадратов, попробуем решать примеры на комбинацию этих трех формул.

Преобразование элементарных выражений (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов)

Допустим, нам дан пример

 .

Необходимо упростить данное выражение. Посмотри внимательно, что ты видишь в числителе? Правильно, числитель - это полный квадрат:

 

Упрощая выражение, помни, что подсказка, в какую сторону двигаться в упрощении, находится в знаменателе (или в числителе). В нашем случае, когда знаменатель разложен, и больше ничего сделать нельзя, можно понять, что числителем будет либо квадрат суммы, либо квадрат разности. Так как мы прибавляем  , то становится ясно, что числитель – квадрат суммы.

Попробуй самостоятельно преобразовать следующие выражения:

1.  
2.  
3.  

Получилось? Сравниваем ответы и двигаемся дальше!

Куб суммы и куб разности

Формулы куб суммы и куб разности выводятся аналогичным образом, как квадрат суммы и квадрат разности: раскрытием скобок при перемножении членов друг на друга.

Если квадрат суммы и квадрат разности запомнить весьма легко, то возникает вопрос «как запомнить кубы?»

Посмотри внимательно на две описываемые формулы в сравнении с возведением аналогичных членов в квадрат:

Какую ты видишь закономерность?

1. При возведении в квадрат у нас есть квадрат первого числа и квадрат второго; при возведении в куб – есть куб одного числа и куб другого числа.

2. При возведении в квадрат, у нас есть удвоенное произведение чисел (числа в 1 степени, что на одну степень меньше чем та, в которую возводим выражение); при возведении в куб – утроенное произведение, при котором одно из чисел возводится в квадрат (что так же на 1 степень меньше, чем степень, в которую возводим выражение).

3. При возведении в квадрат знак в скобках в раскрытом выражении отражается при прибавлении (или вычитании) удвоенного произведения – если в скобках сложение, то прибавляем, если вычитание – отнимаем; при возведении в куб правило такое: если у нас куб суммы, то все знаки «+», а если куб разности, то знаки чередуются: « » - « » - « » - « ».

Всё перечисленное, кроме зависимости степеней при умножении членов, изображено на рисунке.

Потренируемся? Раскрой скобки в следующих выражениях:

1.  .
2.  .
3.  .
4.  .

Сравни полученные выражения:

Разность и сумма кубов

Рассмотрим последнюю пару формул разность и сумму кубов.

Как мы помним, в разности квадратов у нас идет перемножение разности и суммы данных чисел одно на другое. В разности кубов и в сумме кубов также имеется две скобки:

 ;

 .

1 скобка – разность (или сумма) чисел в первой степени (в зависимости от того, разность или сумму кубов мы раскрываем);

2 скобка – неполный квадрат (присмотрись: если бы мы вычитали (или прибавляли) удвоенное произведение чисел, был бы квадрат), знак при перемножении чисел противоположный знаку изначального выражения.

Для закрепления темы решим несколько примеров:

1.  
2.  
3.  

Сравни полученные выражения: 

 

Тренировка

Задачи:

1.  
2.  
3.  

Ответы:

 

 

Подведем окончательные итоги

Существует 7 формул сокращенного умножения:

 

Не забудь, что в разделе для среднего уровня учеников мы разобрали тему "Формулы сокращенного умножения" еще глубже.

Формулы сокращенного умножения – это формулы, зная которые можно избежать выполнения некоторых стандартных действий при упрощении выражений или разложении многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть!

Формулы сокращенного умножения для начального уровня мы объясняли здесь.

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:

    

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:

    

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:

    

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения:

    

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения:

    

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений:

    

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений:

    

Теперь докажем все эти формулы.

Формулы сокращенного умножения. Доказательство.

1.  .
Возвести выражение в квадрат - значит умножить его само на себя:
 .

Раскроем скобки и приведем подобные:

 .

2.  .
Делаем то же самое: умножаем разность саму на себя, раскрываем скобки и приводим подобные:
 .

3.  .
Возьмем выражение в правой части и раскроем скобки:
 .

4.  .
Число в кубе можно представить как это число умноженное на свой квадрат:

 

 

 

5.  

Аналогично:
 

 

В разности кубов знаки чередуются.

6.  .
Раскроем скобки в правой части:
 .

7.  .
Раскроем скобки в правой части:
 .

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров

Пример 1:

Найдите значение выражений:

1.  
2.  

Решение:

1. Используем формулу квадрат суммы: .
2. Представим это число в виде разности и используем формулу квадрата разности: .

Пример 2:

Найдите значение выражения:  .

Решение:

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим:

 .

Пример 3:

Упростите выражение:

 .

Решение:

I способ.

Воспользуемся формулами квадрат суммы и квадрат разности:

 

 

II способ.

Воспользуемся формулой разности квадратов двух выражений: