Описанный четырехугольник. Визуальный гид (2019)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что такое описанный четырехугольник? Посмотри – сперва нарисуем:

описанный четырехугольник. определение

А теперь напишем:

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

А что, разве не всегда существует такая окружность? Ведь вон треугольник-то всегда является описанным – потому что во всякий треугольник можно вписать окружность. Чем же четырехугольник-то хуже? И вот оказывается, что чем-то, да хуже.

Представь себе, например длинный прямоугольник.

не описанный четырехугольник

Как вот в него, спрашивается, можно вписать окружность? Конечно, никак. И это лишь один из примеров четырехугольника, в которой НЕЛЬЗЯ вписать окружность.

А в какие же можно? Вот, оказывается есть такая теорема (утверждение то есть).

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Вот как это записывается в буквах:

описанный четырехугольник 2  
или (то же самое)
 

Для лучшего понимания давай в буквальном смысле разберём на кусочки описанный четырехугольник. Смотри: пусть в четырехугольнике   «сидит» окружность.

Но тогда у нас есть огромное количество касательных! Ты ещё помнишь, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны? Ну, вот, значит

  (обозначим  )

  (обозначим  )

  (обозначим  )

  (обозначим  )

А теперь получилось, что

 

и

 

То есть  ! Здорово, правда?

А теперь получим простое, но красивое следствие из этой теоремы.

Следствие. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это ромб.

Почему? Давай разберёмся. Пусть есть параллелограмм  .

описанный четырехугольник 3

Раз параллелограмм, то   (вспоминаем свойства параллелограмма). Обозначим   буквой  , а   буквой  .

А теперь применим теорему.   описанный  , то есть   – вот и получился ромб.

описанный четырехугольник 4 Видишь, как сработала теорема?

Вот и ты, если видишь в задачке надпись «в четырёхугольник вписана окружность» или, конкретнее, скажем, «в трапецию вписана окружность», то сразу вспоминай, что   – и задача решится! … Ну… или не сразу решится, но этот факт непременно тебе поможет.

ОПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

Давай прежде всего осознаем, что, в отличие от треугольника, далеко не во всякий четырехугольник можно поместить окружность так, чтобы она касалась всех его сторон.

Ну, вот пример:

А раз так, то математики, конечно же, не могли успокоиться, пока не придумали теорему, которая сообщит нам, что же такое нужно требовать от четырехугольника, чтобы в него можно было поместить окружность, касающуюся всех сторон.

И вот эта теорема:

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
В буквах:
 
или (в других буквах)
 

Заметь, что (как всегда) слова «тогда и только тогда» означают сразу два утверждения: «туда» и «обратно». Итак, если подробнее, то теорема утверждает

a) Если в четырехугольник можно вписать окружность, то  

b) Если в четырехугольнике есть  , то в него можно вписать окружность.

(Вспоминаем Алису с безумным шляпником и их «ем то, что вижу» и «вижу то, что ем»)

А теперь – доказательство!

Пункт a) вообще ОЧЕНЬ лёгкий. Смотри:

Пусть в   вписана окружность. Тогда получается из точек   и   проведено по две касательных, которые равны! (Вспоминаем о равенстве отрезков касательных проведённых из одной точки)

Итак, у нас

  (обозначим  )

  (обозначим  )

  (обозначим  )

  (обозначим  )

И теперь получается, что

 

и

 

 

Обе этих суммы состоят из одинаковых кусочков, просто взятых в разном порядке.

Готово: пункт a) доказали.

А теперь, наоборот, пункт б).

Пусть в   выполняется  

Чтобы что-то понять, впишем окружность сперва в такую «кастрюлю» -   без стороны  .

Обрати внимание, что это всегда можно сделать – центром   такой окружности будет пересечение биссектрис углов   и  .

Ну вот, в «кастрюле» сидит окружность. При этом сторона  , если она НЕ касается этой окружности, может либо пересекать её, либо вовсе не иметь с ней общих точек. Разберём эти случаи и убедимся, что оба они ведут к противоречию.

Пусть   пересекает окружность. Давай тогда проведём  , которая будет касаться окружности.

По пункту а) для четырехугольника   должно быть

 ,

а по условию для четырехугольника   

 .

Значит (вычитаем нижнее равенство из верхнего)

 

То есть  

Но так СОВСЕМ не может быть – нарушается неравенство треугольника для  :

должно быть  , а у нас  .

Вот и противоречие. Поэтому точно выяснили, что   НЕ МОЖЕТ пересекать окружность.

Пусть теперь   «не дотягивается» до окружности.

Снова проведём  , которая этой окружности каснется. И опять   и  . Теперь вычитаем из нижнего верхнее.
 

То есть   – опять нарушаем неравенство треугольника для   - значит, опять имеем противоречие и заключаем, что   НЕ МОЖЕТ вовсе не иметь общих точек с окружностью.

И что же этой бедной   остаётся?

Только касаться окружности.

Вот и доказали пункт б), а с ним и всю теорему.

А теперь посмотрим, как работает эта теорема. Докажем такое следствие:

Следствие. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это – ромб.

Доказываем: пусть есть параллелограмм  .

По свойству параллелограмма   (обозначим  ) и   (обозначим  ).

Раз в   можно вписать окружность, то  , то есть   .

Вот и получился ромб. Понравилось?

Вот и прими на вооружение: если в задаче сказано, что окружность вписана в какой-нибудь четырехугольник, то постарайся применить то, что тогда   или даже прямо структуру из кусочков касательных – обязательно поможет!

ОПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

  • В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. В буквах:  
  • Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это – ромб.

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

Илья
05 января 2019

У вас правая часть не видна и некоторый контэнт тежело понять

ответить

Александр (админ)
05 января 2019

Илья, добрый вечер. Скажите, пожалуйста, чем вы пользуетесь для просмотра сайта? Модель телефона/планшета/компьютера и диагональ экрана.

ответить

Илья
10 января 2019

я пользууюсь ноутбуком диагональ экрана-45 см ноутбук от HP

ответить

Александр (админ)
11 января 2019

А правая часть чего не видна? Текста? Вы можете сделать скриншот и прислать на адрес youclever@youclever.org? И еще, через какой браузер смотрите? Нам не удается повторить ошибку.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть