Описанный четырехугольник. Визуальный гид (2020)
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Что такое описанный четырехугольник? Посмотри – сперва нарисуем:
А теперь напишем:
Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон. |
А что, разве не всегда существует такая окружность? Ведь вон треугольник-то всегда является описанным – потому что во всякий треугольник можно вписать окружность. Чем же четырехугольник-то хуже? И вот оказывается, что чем-то, да хуже.
Представь себе, например длинный прямоугольник.
Как вот в него, спрашивается, можно вписать окружность? Конечно, никак. И это лишь один из примеров четырехугольника, в которой НЕЛЬЗЯ вписать окружность.
А в какие же можно? Вот, оказывается есть такая теорема (утверждение то есть).
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. |
Вот как это записывается в буквах:
![]() |
или (то же самое) |
Для лучшего понимания давай в буквальном смысле разберём на кусочки описанный четырехугольник. Смотри: пусть в четырехугольнике
Но тогда у нас есть огромное количество касательных! Ты ещё помнишь, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны? Ну, вот, значит
А теперь получилось, что
и
То есть
А теперь получим простое, но красивое следствие из этой теоремы.
Следствие. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это ромб. |
Почему? Давай разберёмся. Пусть есть параллелограмм
Раз параллелограмм, то
А теперь применим теорему.
![]() |
Видишь, как сработала теорема? |
Вот и ты, если видишь в задачке надпись «в четырёхугольник вписана окружность» или, конкретнее, скажем, «в трапецию вписана окружность», то сразу вспоминай, что
ОПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
![]() |
Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон. |
Давай прежде всего осознаем, что, в отличие от треугольника, далеко не во всякий четырехугольник можно поместить окружность так, чтобы она касалась всех его сторон.
Ну, вот пример:
А раз так, то математики, конечно же, не могли успокоиться, пока не придумали теорему, которая сообщит нам, что же такое нужно требовать от четырехугольника, чтобы в него можно было поместить окружность, касающуюся всех сторон.
И вот эта теорема:
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. |
![]() |
В буквах: или (в других буквах) |
Заметь, что (как всегда) слова «тогда и только тогда» означают сразу два утверждения: «туда» и «обратно». Итак, если подробнее, то теорема утверждает
a) Если в четырехугольник можно вписать окружность, то
b) Если в четырехугольнике есть
(Вспоминаем Алису с безумным шляпником и их «ем то, что вижу» и «вижу то, что ем»)
А теперь – доказательство!
Пункт a) вообще ОЧЕНЬ лёгкий. Смотри:
![]() |
Пусть в |
Итак, у нас
И теперь получается, что
и
Обе этих суммы состоят из одинаковых кусочков, просто взятых в разном порядке.
Готово: пункт a) доказали.
А теперь, наоборот, пункт б).
Пусть в
Чтобы что-то понять, впишем окружность сперва в такую «кастрюлю» -
![]() |
Обрати внимание, что это всегда можно сделать – центром |
Ну вот, в «кастрюле» сидит окружность. При этом сторона
![]() |
Пусть |
По пункту а) для четырехугольника
а по условию для четырехугольника
Значит (вычитаем нижнее равенство из верхнего)
То есть
Но так СОВСЕМ не может быть – нарушается неравенство треугольника для
должно быть
Вот и противоречие. Поэтому точно выяснили, что
Пусть теперь
![]() |
Снова проведём |
То есть
И что же этой бедной
Только касаться окружности.
Вот и доказали пункт б), а с ним и всю теорему.
А теперь посмотрим, как работает эта теорема. Докажем такое следствие:
Следствие. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это – ромб. |
Доказываем: пусть есть параллелограмм
![]() |
По свойству параллелограмма |
Раз в
![]() |
Вот и получился ромб. Понравилось? |
Вот и прими на вооружение: если в задаче сказано, что окружность вписана в какой-нибудь четырехугольник, то постарайся применить то, что тогда
ОПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.
![]() |
|
![]() |
|
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER
Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:
ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!
Комментарии
Илья, добрый вечер. Скажите, пожалуйста, чем вы пользуетесь для просмотра сайта? Модель телефона/планшета/компьютера и диагональ экрана.
А правая часть чего не видна? Текста? Вы можете сделать скриншот и прислать на адрес youclever@youclever.org? И еще, через какой браузер смотрите? Нам не удается повторить ошибку.
У вас правая часть не видна и некоторый контэнт тежело понять
ответить