Описанный четырехугольник. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Что такое описанный четырехугольник? Посмотри – сперва нарисуем:

описанный четырехугольник. определение

А теперь напишем:

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

А что, разве не всегда существует такая окружность? Ведь вон треугольник-то всегда является описанным – потому что во всякий треугольник можно вписать окружность. Чем же четырехугольник-то хуже? И вот оказывается, что чем-то, да хуже.

Представь себе, например длинный прямоугольник.

не описанный четырехугольник

Как вот в него, спрашивается, можно вписать окружность? Конечно, никак. И это лишь один из примеров четырехугольника, в которой НЕЛЬЗЯ вписать окружность.

А в какие же можно? Вот, оказывается есть такая теорема (утверждение то есть).

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Вот как это записывается в буквах:

описанный четырехугольник 2  
или (то же самое)
 

Для лучшего понимания давай в буквальном смысле разберём на кусочки описанный четырехугольник. Смотри: пусть в четырехугольнике   «сидит» окружность.

Но тогда у нас есть огромное количество касательных! Ты ещё помнишь, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны? Ну, вот, значит

  (обозначим  )

  (обозначим  )

  (обозначим  )

  (обозначим  )

А теперь получилось, что

 

и

 

То есть  ! Здорово, правда?

А теперь получим простое, но красивое следствие из этой теоремы.

Следствие. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это ромб.

Почему? Давай разберёмся. Пусть есть параллелограмм  .

описанный четырехугольник 3

Раз параллелограмм, то   (вспоминаем свойства параллелограмма). Обозначим   буквой  , а   буквой  .

А теперь применим теорему.   описанный  , то есть   – вот и получился ромб.

описанный четырехугольник 4 Видишь, как сработала теорема?

Вот и ты, если видишь в задачке надпись «в четырёхугольник вписана окружность» или, конкретнее, скажем, «в трапецию вписана окружность», то сразу вспоминай, что   – и задача решится! … Ну… или не сразу решится, но этот факт непременно тебе поможет.

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok