Описанный четырехугольник. Начальный уровень.

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. В буквах:

Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это – ромб.

Что такое описанный четырехугольник? Посмотри – сперва нарисуем:

А теперь напишем:

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

А что, разве не всегда существует такая окружность? Ведь вон треугольник-то всегда является описанным – потому что во всякий треугольник можно вписать окружность. Чем же четырехугольник-то хуже? И вот оказывается, что чем-то, да хуже.

Представь себе, например длинный прямоугольник.

Как вот в него, спрашивается, можно вписать окружность? Конечно, никак. И это лишь один из примеров четырехугольника, в которой НЕЛЬЗЯ вписать окружность.

А в какие же можно? Вот, оказывается есть такая теорема (утверждение то есть).

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Вот как это записывается в буквах:

или (то же самое)

Для лучшего понимания давай в буквальном смысле разберём на кусочки описанный четырехугольник. Смотри: пусть в четырехугольнике   «сидит» окружность.

Но тогда у нас есть огромное количество касательных! Ты ещё помнишь, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны? Ну, вот, значит

  (обозначим  )

  (обозначим  )

  (обозначим  )

  (обозначим  )

А теперь получилось, что

 

и

 

То есть  ! Здорово, правда?

А теперь получим простое, но красивое следствие из этой теоремы.

Следствие. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это ромб.

Почему? Давай разберёмся. Пусть есть параллелограмм  .

Раз параллелограмм, то   (вспоминаем свойства параллелограмма). Обозначим   буквой  , а   буквой  .

А теперь применим теорему.   описанный  , то есть   – вот и получился ромб.

Видишь, как сработала теорема?

Вот и ты, если видишь в задачке надпись «в четырёхугольник вписана окружность» или, конкретнее, скажем, «в трапецию вписана окружность», то сразу вспоминай, что   – и задача решится! … Ну… или не сразу решится, но этот факт непременно тебе поможет.

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

Давай прежде всего осознаем, что, в отличие от треугольника, далеко не во всякий четырехугольник можно поместить окружность так, чтобы она касалась всех его сторон.

Ну, вот пример:

А раз так, то математики, конечно же, не могли успокоиться, пока не придумали теорему, которая сообщит нам, что же такое нужно требовать от четырехугольника, чтобы в него можно было поместить окружность, касающуюся всех сторон.

И вот эта теорема:

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

В буквах:   или (в других буквах)

Заметь, что (как всегда) слова «тогда и только тогда» означают сразу два утверждения: «туда» и «обратно». Итак, если подробнее, то теорема утверждает

a) Если в четырехугольник можно вписать окружность, то  

b) Если в четырехугольнике есть  , то в него можно вписать окружность.

(Вспоминаем Алису с безумным шляпником и их «ем то, что вижу» и «вижу то, что ем»)

А теперь – доказательство!

Пункт a) вообще ОЧЕНЬ лёгкий. Смотри:

Пусть в   вписана окружность. Тогда получается из точек   и   проведено по две касательных, которые равны! (Вспоминаем о равенстве отрезков касательных проведённых из одной точки)

Итак, у нас

  (обозначим  )

  (обозначим  )

  (обозначим  )

  (обозначим  )

И теперь получается, что

 

и

 

 

Обе этих суммы состоят из одинаковых кусочков, просто взятых в разном порядке.

Готово: пункт a) доказали.

А теперь, наоборот, пункт б).

Пусть в   выполняется  

Чтобы что-то понять, впишем окружность сперва в такую «кастрюлю» -   без стороны  .

Обрати внимание, что это всегда можно сделать – центром   такой окружности будет пересечение биссектрис углов   и  .

Ну вот, в «кастрюле» сидит окружность. При этом сторона  , если она НЕ касается этой окружности, может либо пересекать её, либо вовсе не иметь с ней общих точек. Разберём эти случаи и убедимся, что оба они ведут к противоречию.

Пусть   пересекает окружность. Давай тогда проведём  , которая будет касаться окружности.

По пункту а) для четырехугольника   должно быть

 ,

а по условию для четырехугольника   

 .

Значит (вычитаем нижнее равенство из верхнего)

 

То есть  

Но так СОВСЕМ не может быть – нарушается неравенство треугольника для  :

должно быть  , а у нас  .

Вот и противоречие. Поэтому точно выяснили, что   НЕ МОЖЕТ пересекать окружность.

Пусть теперь   «не дотягивается» до окружности.

Снова проведём  , которая этой окружности каснется. И опять   и  . Теперь вычитаем из нижнего верхнее.

То есть   – опять нарушаем неравенство треугольника для   - значит, опять имеем противоречие и заключаем, что   НЕ МОЖЕТ вовсе не иметь общих точек с окружностью.

И что же этой бедной   остаётся?

Только касаться окружности.

Вот и доказали пункт б), а с ним и всю теорему.

А теперь посмотрим, как работает эта теорема. Докажем такое следствие:

Следствие. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это – ромб.

Доказываем: пусть есть параллелограмм  .

По свойству параллелограмма   (обозначим  ) и   (обозначим  ).

Раз в   можно вписать окружность, то  , то есть  ;  .

Вот и получился ромб. Понравилось?

Вот и прими на вооружение: если в задаче сказано, что окружность вписана в какой-нибудь четырехугольник, то постарайся применить то, что тогда   или даже прямо структуру из кусочков касательных – обязательно поможет!