Начальный уровень

Описанный четырехугольник. Визуальный гид (2019)

Что такое описанный четырехугольник? Посмотри – сперва нарисуем:

описанный четырехугольник. определение

А теперь напишем:

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

А что, разве не всегда существует такая окружность? Ведь вон треугольник-то всегда является описанным – потому что во всякий треугольник можно вписать окружность. Чем же четырехугольник-то хуже? И вот оказывается, что чем-то, да хуже.

Представь себе, например длинный прямоугольник.

не описанный четырехугольник

Как вот в него, спрашивается, можно вписать окружность? Конечно, никак. И это лишь один из примеров четырехугольника, в которой НЕЛЬЗЯ вписать окружность.

А в какие же можно? Вот, оказывается есть такая теорема (утверждение то есть).

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Вот как это записывается в буквах:

описанный четырехугольник 2  
или (то же самое)
 

Для лучшего понимания давай в буквальном смысле разберём на кусочки описанный четырехугольник. Смотри: пусть в четырехугольнике   «сидит» окружность.

Но тогда у нас есть огромное количество касательных! Ты ещё помнишь, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны? Ну, вот, значит

  (обозначим  )

  (обозначим  )

  (обозначим  )

  (обозначим  )

А теперь получилось, что

 

и

 

То есть  ! Здорово, правда?

А теперь получим простое, но красивое следствие из этой теоремы.

Следствие. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это ромб.

Почему? Давай разберёмся. Пусть есть параллелограмм  .

описанный четырехугольник 3

Раз параллелограмм, то   (вспоминаем свойства параллелограмма). Обозначим   буквой  , а   буквой  .

А теперь применим теорему.   описанный  , то есть   – вот и получился ромб.

описанный четырехугольник 4 Видишь, как сработала теорема?

Вот и ты, если видишь в задачке надпись «в четырёхугольник вписана окружность» или, конкретнее, скажем, «в трапецию вписана окружность», то сразу вспоминай, что   – и задача решится! … Ну… или не сразу решится, но этот факт непременно тебе поможет.

ОПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

Давай прежде всего осознаем, что, в отличие от треугольника, далеко не во всякий четырехугольник можно поместить окружность так, чтобы она касалась всех его сторон.

Ну, вот пример:

А раз так, то математики, конечно же, не могли успокоиться, пока не придумали теорему, которая сообщит нам, что же такое нужно требовать от четырехугольника, чтобы в него можно было поместить окружность, касающуюся всех сторон.

И вот эта теорема:

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
В буквах:
 
или (в других буквах)
 

Заметь, что (как всегда) слова «тогда и только тогда» означают сразу два утверждения: «туда» и «обратно». Итак, если подробнее, то теорема утверждает

a) Если в четырехугольник можно вписать окружность, то  

b) Если в четырехугольнике есть  , то в него можно вписать окружность.

(Вспоминаем Алису с безумным шляпником и их «ем то, что вижу» и «вижу то, что ем»)

А теперь – доказательство!

Пункт a) вообще ОЧЕНЬ лёгкий. Смотри:

Пусть в   вписана окружность. Тогда получается из точек   и   проведено по две касательных, которые равны! (Вспоминаем о равенстве отрезков касательных проведённых из одной точки)

Итак, у нас

  (обозначим  )

  (обозначим  )

  (обозначим  )

  (обозначим  )

И теперь получается, что

 

и

 

 

Обе этих суммы состоят из одинаковых кусочков, просто взятых в разном порядке.

Готово: пункт a) доказали.

А теперь, наоборот, пункт б).

Пусть в   выполняется  

Чтобы что-то понять, впишем окружность сперва в такую «кастрюлю» -   без стороны  .

Обрати внимание, что это всегда можно сделать – центром   такой окружности будет пересечение биссектрис углов   и  .

Ну вот, в «кастрюле» сидит окружность. При этом сторона  , если она НЕ касается этой окружности, может либо пересекать её, либо вовсе не иметь с ней общих точек. Разберём эти случаи и убедимся, что оба они ведут к противоречию.

Пусть   пересекает окружность. Давай тогда проведём  , которая будет касаться окружности.

По пункту а) для четырехугольника   должно быть

 ,

а по условию для четырехугольника   

 .

Значит (вычитаем нижнее равенство из верхнего)

 

То есть  

Но так СОВСЕМ не может быть – нарушается неравенство треугольника для  :

должно быть  , а у нас  .

Вот и противоречие. Поэтому точно выяснили, что   НЕ МОЖЕТ пересекать окружность.

Пусть теперь   «не дотягивается» до окружности.

Снова проведём  , которая этой окружности каснется. И опять   и  . Теперь вычитаем из нижнего верхнее.
 

То есть   – опять нарушаем неравенство треугольника для   - значит, опять имеем противоречие и заключаем, что   НЕ МОЖЕТ вовсе не иметь общих точек с окружностью.

И что же этой бедной   остаётся?

Только касаться окружности.

Вот и доказали пункт б), а с ним и всю теорему.

А теперь посмотрим, как работает эта теорема. Докажем такое следствие:

Следствие. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это – ромб.

Доказываем: пусть есть параллелограмм  .

По свойству параллелограмма   (обозначим  ) и   (обозначим  ).

Раз в   можно вписать окружность, то  , то есть   .

Вот и получился ромб. Понравилось?

Вот и прими на вооружение: если в задаче сказано, что окружность вписана в какой-нибудь четырехугольник, то постарайся применить то, что тогда   или даже прямо структуру из кусочков касательных – обязательно поможет!

ОПИСАННЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

  • В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. В буквах:  
  • Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это – ромб.

Комментарии

Илья
05 января 2019

У вас правая часть не видна и некоторый контэнт тежело понять

ответить

Александр (админ)
05 января 2019

Илья, добрый вечер. Скажите, пожалуйста, чем вы пользуетесь для просмотра сайта? Модель телефона/планшета/компьютера и диагональ экрана.

ответить

Илья
10 января 2019

я пользууюсь ноутбуком диагональ экрана-45 см ноутбук от HP

ответить

Александр (админ)
11 января 2019

А правая часть чего не видна? Текста? Вы можете сделать скриншот и прислать на адрес youclever@youclever.org? И еще, через какой браузер смотрите? Нам не удается повторить ошибку.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть