Описанный четырехугольник

Сегодня ты узнаешь некоторые теоремы, которые помогут тебе в решении, казалось бы, сложных задач по геометрии.

Но после прочтения этой статьи они станут легкими!

Ведь ты будешь знать все об описанном четырехугольнике!

Поехали!

Коротко о главном

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

В буквах: \( \large AB+CD=AD+BC\)

Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это – ромб.

Что такое описанный четырехугольник

Посмотри – сперва нарисуем:

А теперь напишем:

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

А что, разве не всегда существует такая окружность?

Ведь вон треугольник-то всегда является описанным – потому что во всякий треугольник можно вписать окружность. Чем же четырехугольник-то хуже? И вот оказывается, что чем-то, да хуже.

Представь себе, например, длинный прямоугольник.

Как вот в него, спрашивается, можно вписать окружность? Конечно, никак. И это лишь один из примеров четырехугольника, в которой НЕЛЬЗЯ вписать окружность.

А в какие же можно? Вот, оказывается есть такая теорема (утверждение то есть).

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Вот как это записывается в буквах:

\( \displaystyle a+c=b+d\)
или (то же самое)
\( \displaystyle AB+CD=AD+BC\)

Для лучшего понимания давай в буквальном смысле разберём на кусочки описанный четырехугольник. Смотри: пусть в четырехугольнике ???????????????? «сидит» окружность.

Но тогда у нас есть огромное количество касательных! Ты ещё помнишь, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны? Ну, вот, значит

\( \displaystyle BK=BN\) (обозначим \( \displaystyle x\))

\( \displaystyle CK=CL\) (обозначим \( \displaystyle y\))

\( \displaystyle DL=DM\) (обозначим \( \displaystyle z\))

\( \displaystyle AM=AN\) (обозначим \( \displaystyle u\))

А теперь получилось, что

\( \displaystyle \left| \begin{array}{l}AB=x+u\\CD=y+z\end{array} \right.\Rightarrow AB+CD=x+y+z+u\)

и

\( \displaystyle \left| \begin{array}{l}BC=x+y\\AD=u+z\end{array} \right.\Rightarrow BC+AD=x+y+z+u\)

То есть \( \displaystyle AB+CD=AD+BC\)! Здорово, правда?

А теперь получим простое, но красивое следствие из этой теоремы.

Следствие. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это ромб.

Почему? Давай разберёмся. Пусть есть параллелограмм \( \displaystyle ABCD\).

Раз параллелограмм, то \( \displaystyle AB=CD,~AD=BC\) (вспоминаем свойства параллелограмма). Обозначим \( \displaystyle \text{AB}=\text{CD}\) буквой \( \displaystyle a\), а \( \displaystyle \text{AD}=\text{BC}\) буквой \( \displaystyle b\).

А теперь применим теорему. \( \displaystyle ABCD\) описанный \( \displaystyle \Rightarrow a+a=b+b\), то есть \( \displaystyle a=b\) – вот и получился ромб.

Видишь, как сработала теорема?

Вот и ты, если видишь в задачке надпись «в четырёхугольник вписана окружность» или, конкретнее, скажем, «в трапецию вписана окружность», то сразу вспоминай, что \( \displaystyle AB+CD=AD+BC\), – и задача решится!

Ну… или не сразу решится, но этот факт непременно тебе поможет.

Доказательство теоремы об окружности, вписанной в четырехугольник

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

Давай прежде всего осознаем, что, в отличие от треугольника, далеко не во всякий четырехугольник можно поместить окружность так, чтобы она касалась всех его сторон.

Ну, вот пример:

А раз так, то математики, конечно же, не могли успокоиться, пока не придумали теорему, которая сообщит нам, что же такое нужно требовать от четырехугольника, чтобы в него можно было поместить окружность, касающуюся всех сторон.

И вот эта теорема:

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

В буквах:

\( \large a+c=b+d\)
или (в других буквах)
\( \large AB+CD=AD+BC\)

Заметь, что (как всегда) слова «тогда и только тогда» означают сразу два утверждения: «туда» и «обратно». Итак, если подробнее, то теорема утверждает:

  • Если в четырехугольник можно вписать окружность, то \( AB+CD=AD+BC\)
  • Если в четырехугольнике есть \( AB+CD=AD+BC\), то в него можно вписать окружность.

(Вспоминаем Алису с безумным шляпником и их «ем то, что вижу» и «вижу то, что ем»)

А теперь – доказательство!

Пункт 1 вообще ОЧЕНЬ лёгкий. Смотри:

Пусть в \( ABCD\) вписана окружность. Тогда получается из точек \( A,B,C,\) и \( D\) проведено по две касательных, которые равны!

(Вспоминаем о равенстве отрезков касательных проведённых из одной точки)

Итак, у нас

\( \displaystyle BK=BN\) (обозначим \( x\))

\( \displaystyle CK=CL\) (обозначим \( y\))

\( \displaystyle DL=DM\) (обозначим \( z\))

\( \displaystyle AM=AN\) (обозначим \( u\))

И теперь получается, что

\( \begin{array}{*{20}{c}}{AB = x + u}\\{CD = y + z}\end{array} \Rightarrow AB + CD = x + y + z + u\)

и

\( \begin{array}{*{20}{c}}{BC = x + u}\\{AD = u + z}\end{array} \Rightarrow AD + BC = x + y + z + u\)

\( \displaystyle \Rightarrow AB+CD=AD+BC!\)

Обе этих суммы состоят из одинаковых кусочков, просто взятых в разном порядке.

Готово: пункт 1 доказали.

А теперь, наоборот, пункт 2.

Пусть в \( \displaystyle ABCD\) выполняется \( \displaystyle AB+CD=AD+BC\)

Чтобы что-то понять, впишем окружность сперва в такую «кастрюлю» – \( \displaystyle ABCD\) без стороны \( \displaystyle AD\).

Обрати внимание, что это всегда можно сделать – центром \( \displaystyle O\) такой окружности будет пересечение биссектрис углов \( \displaystyle B\) и \( \displaystyle C\).

Ну вот, в «кастрюле» сидит окружность. При этом сторона \( \displaystyle AD\), если она НЕ касается этой окружности, может либо пересекать её, либо вовсе не иметь с ней общих точек.

Разберём эти случаи и убедимся, что оба они ведут к противоречию.

Пусть \( \displaystyle AD\) пересекает окружность. Давай тогда проведём \( \displaystyle A{{D}_{1}}\), которая будет касаться окружности.

По пункту 1 для четырехугольника \( \displaystyle ABC{{D}_{1}}\) должно быть

\( \displaystyle AB+C{{D}_{1}}=A{{D}_{1}}+BC\),

а по условию для четырехугольника \( \displaystyle ABCD\)

\( \displaystyle AB+CD=AD+BC\).

Значит (вычитаем нижнее равенство из верхнего)

\( \displaystyle C{{D}_{1}}-CD=A{{D}_{1}}-AD\)

То есть \( \displaystyle D{{D}_{1}}+AD=A{{D}_{1}}\)

Но так СОВСЕМ не может быть – нарушается неравенство треугольника для \( \Delta AD{{D}_{1}}\):

должно быть \( D{{D}_{1}}+AD>A{{D}_{1}}\), а у нас \( D{{D}_{1}}+AD=A{{D}_{1}}\).

Вот и противоречие. Поэтому точно выяснили, что \( AD\) НЕ МОЖЕТ пересекать окружность.

Пусть теперь \( AD\) «не дотягивается» до окружности:

А теперь посмотрим, как работает эта теорема. Докажем следующее следствие из теоремы.

Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это – ромб. Доказательство 

Следствие. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это – ромб.

Доказываем: пусть есть параллелограмм \( \displaystyle ABC{{D}}\).

По свойству параллелограмма \( \displaystyle AB=CD~\) (обозначим \( \displaystyle a\)) и \( \displaystyle BC=AD~\) (обозначим \( \displaystyle b\)).

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук – ведущий курсов

  • тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
  • автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
  • закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
  • репетиторский стаж – 19 лет (c 2003 года);
  • в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
  • отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *