25 июля

1 comments

Основные аксиомы планиметрии. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)

Представь, что ты вдруг очутился на другой планете, ну или… в компьютерной игре.

Перед тобой набор неизвестных продуктов, а твоя задача – приготовить из этого набора как можно больше вкусных блюд. Что тебе понадобится?

Конечно же, правила, инструкции – что можно делать с теми или иными продуктами. А то вдруг ты сваришь то, что едят только в сыром виде или, наоборот, положишь в салат то, что непременно нужно варить или жарить? Так что, без инструкций – никуда!

Хорошо, но к чему такое вступление? При чем тут геометрия? Понимаешь, великое множество утверждений о всяких фигурах в геометрии и есть то самое множество «блюд», которые мы должны научиться готовить.

Но из чего? Из основных объектов геометрии! А вот инструкция по их «употреблению» называется умными словами «система аксиом».

Так что, внимание!

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Основные понятия планиметрии

Почему все в картинках и без слов? А нужны ли слова? Мне кажется, на первых порах не очень нужны.

Вообще-то, математики, конечно, умеют все описывать словами, и такие описания ты можешь найти в следующих уровнях теории, а сейчас продолжим картинками.

Что же еще? Ах да, нам же нужно научиться измерять отрезки и углы.

У каждого отрезка есть длина – число, которое этому отрезку (зачем-то …) поставили в соответствие. Длину принято измерять … линейкой, конечно, в сантиметрах, миллиметрах, метрах и даже в километрах.

А теперь измерение углов. Углы почему-то принято измерять в градусах. Почему? На это есть исторические причины, но мы сейчас занимаемся не историей. Поэтому придется принять просто как должное следующее соглашение.

В развернутом угле \( \displaystyle 180\) градусов.

Для краткости пишут: \( \displaystyle {{180}^{\circ }}\). При этом, конечно же, величину всех остальных углов можно найти, если выяснить, какую часть от развернутого угла составляет данный угол.

Инструмент для измерения углов называется транспортир. Думаю, ты его уже не раз в жизни видел.

Два основных факта об углах

I. Смежные углы в сумме составляют \( \displaystyle {{180}^{\circ }}\).

Это совсем естественно, не правда ли? Ведь смежные углы вместе составляют развернутый угол!

II. Вертикальные углы равны.

Почему? А смотри:

\( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 3\) – смежные
\( \displaystyle \Rightarrow \angle 1+\angle 3={{180}^{\circ }}\).\( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 3\) – тоже смежные
\( \displaystyle \Rightarrow \angle 2+\angle 3={{180}^{\circ }}\)

Что теперь?

Ну, конечно, отсюда следует, что \( \displaystyle \angle 1=\angle 2\). (Достаточно, например, вычесть из первого равенства второе. А вообще-то, можно просто посмотреть на картинку).

Прямой угол

Если угол равен смежному с ним, то он называется прямым углом.

Чему равна величина прямого угла?

Ну конечно, \( \displaystyle {{90}^{\circ }}\)! Ведь \( \displaystyle {{90}^{\circ }}+{{90}^{\circ }}={{180}^{\circ }}\).

Острый и тупой углы

Углы, меньшие \( \displaystyle {{90}^{\circ }}\), называются острыми углами.

Углы от \( \displaystyle {{90}^{\circ }}\) до \( \displaystyle {{180}^{\circ }}\) называются тупыми углами.

Еще раз: угол в \( \displaystyle {{90}^{\circ }}\)- прямойугол.

Вот, в общем-то и все, что тебе нужно знать для начала. Почему же мы ни слова не сказали об аксиомах?

Аксиомы – это правила действия с основными объектами планиметрии, самые первые утверждения о точках и прямых. Эти утверждения берутся за основу, не доказываются.

Почему же все-таки мы их не формулируем и не обсуждаем? Понимаешь, аксиомы планиметрии в некотором смысле просто описывают ясные интуитивно понятные соотношения довольно длинным математическим языком.

Четкое осознание аксиоматики необходимо чуть позже, когда ты привыкнешь к геометрическим понятиям на уровне здравого смысла.

Тогда – добро пожаловать в следующие уровни теории по этой теме – там есть довольно подробное обсуждение аксиом.

А пока попробуй поступать как совсем древние греки, до времен Евклида – просто решай задачи, пользуясь здравым смыслом. Уверяю тебя, множество задач тебе поддадутся!

Основные объекты планиметрии

Точка и прямая

Это и есть самые главные понятия планиметрии. Математики говорят, что это «неопределяемые понятия». Как так? А вот так, нужно же с чего-то начинать.

Теперь первые правила обращения с точками и прямыми. Эти правила математики называют «аксиомы» – утверждения, которые принимаются за основу , из которых потом все основное будет выводиться (помнишь, что у нас большая кулинарная миссия по «приготовлению» геометрии?). Так вот, первая серия аксиом называется

Аксиомы

Аксиома 1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Обрати внимание, эта аксиома позволяет рисовать так:

и так:

Аксиома 1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Вот так: было две точки:

И тут же нашлась прямая:

А другой – нет! Прямая только одна!

Если тебе все это кажется слишком очевидным, то вспомни, что ты – на другой планете и до сих пор совершенно не знал, что делать с объектами «точка» и «прямая».

Луч, отрезок, угол

Вот теперь мы научились наносить точки на прямые и проводить прямые через точки, поэтому уже можем приготовить первые простейшие "блюда" - луч, отрезок, угол.

Любая точка, лежащая на прямой, делит эту прямую на две полупрямые. Каждая из этих полупрямых называется еще лучом.

Вот он, луч:

А это отрезок:

Любые две точки на прямой ограничивают отрезок прямой.
Углом называется часть плоскости, заключенная между двумя лучами этой плоскости, имеющими общее начало.

Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их общее начало  вершиной угла.

Угол, образованный дополнительными лучами, называется развернутым.

Теперь наведем порядок. Следующая серия аксиом так и называется:

Аксиома 2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Аксиома 2.2. Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Теперь – следующий уровень. Нам нужны инструкции по измерению отрезков и углов. Эти аксиомы называются

Аксиома 3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

\( \displaystyle d={{d}_{1}}+{{d}_{2}}\)

Аксиома 3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен \( \displaystyle 180{}^\circ \). Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

\( \displaystyle x=x_{1}^{{}^\circ }+x_{2}^{{}^\circ }\)

Аксиома 3.3. Каково бы ни было число \( \displaystyle d>0\) , существует отрезок длины \( \displaystyle d\).

А теперь уже совсем странно.

Аксиома 4.1. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

Более понятными являются два следствия из этой аксиомы:

Следствие 1. От данной точки данной прямой в данную сторону можно отложить отрезок данной длины, причем единственным образом.
Следствие 2. От данного луча в данную полуплоскость можно отложить угол данной величины, причем единственным образом.

Ну, и последняя легендарная аксиома параллельных!

Но сперва определение:

Прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Аксиома 5.1. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Ну вот, и закончились аксиомы планиметрии! Слишком много их? Но представь себе, все они нужны. Для каждой из них есть хитрое-хитрое рассуждение, которое показывает, что если удалить эту аксиому, то развалится всё здание геометрии! Ну, или останется нечто, совершенно непохожее на то, к чему мы привыкли.

А теперь два основных факта об углах!

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами.

Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной

Теорема. Сумма смежных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \)

\( \displaystyle 180{}^\circ=x_{1}^{{}^\circ }+x_{2}^{{}^\circ }\)

Это совсем простая теорема, правда?

Ведь общая сторона смежных углов просто-напросто разбивает развернутый угол на два угла и поэтому (ВНИМАНИЕ: работает Аксиома 3.2!) сумма смежных углов равна величине развернутого, то есть \( \displaystyle 180{}^\circ \).

Вертикальные углы проще нарисовать, чем описывать – смотри картинку.

Теорема. Вертикальные углы равны.

Это легкая теорема. Убедись:

\( \displaystyle \angle 1+\angle 3=180{}^\circ \) (они смежные).

\( \displaystyle \angle 2+\angle 3=180{}^\circ \) (тоже смежные)\( \displaystyle \angle 1=\angle 2\) – и ВСЁ!

Если угол равен смежному с ним, то он называется прямым.

Его величина равна \( \displaystyle 90{}^\circ \) (ну конечно, ведь \( \displaystyle 90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ \))

Углы, меньшие \( \displaystyle 90{}^\circ \), называются острыми углами.

Углы от \( \displaystyle 90{}^\circ \) до \( \displaystyle 180{}^\circ \) называются тупыми углами.

Вот и всё… Дальше нужно говорить о параллельности и о треугольниках. Так что, вперед, в следующие темы.

Аксиомы принадлежности:

  • Аксиома 1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
  • Аксиома 2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Аксиомы порядка:

  • Аксиома 3. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
  • Аксиома 4. Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Аксиомы мер для отрезков и углов:

  • Аксиома 5. Каждый отрезок имеет определенную длину, больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
  • Аксиома 6. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен \( \displaystyle 180{}^\circ \). Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Аксиомы существования треугольника, равного данному:

  • Аксиома 7. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

Следствие 1. От данной точки данной прямой в данную сторону можно отложить отрезок данной длины, причем единственным образом

Следствие 2. От данного луча в данную полуплоскость можно отложить угол данной величины, причем единственным образом

Аксиома параллельных:

  • Аксиома 8. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Основные факты об углах:

  • Теорема. Сумма смежных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \).

\( \displaystyle 180{}^\circ=x_{1}^{{}^\circ }+x_{2}^{{}^\circ }\)

  • Теорема. Вертикальные углы равны.

\( \displaystyle \angle 1=\angle 2\).

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Скажи погромче!

А теперь мы хотим узнать твое мнение!

Напиши комментарий ниже и расскажи нам, помогла ли тебе эта статья. Все ли было понятно?

Круто ведь, что аксиомы не надо доказывать? 🙂

И кстати, ты можешь задать любые вопросы! Или написать свои предложения.

Мы обязательно тебе ответим!

Успехов!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
    Анна
    08 мая 2018
    Большое спасибо!!!

    Александр (админ)
    08 мая 2018
    Пожалуйста, Анна! Удачи на экзаменах.

    Виктория
    14 мая 2019
    Скажите, пожалуйста, есть ли задачник по вашему учебнику геометрии? Может порекомендуете какой-нибудь, чтобы можно было практику проходить (чтоб с ответами)? Теория просто волшебная! Но надо ж закрепить! С уважением

    Александр (админ)
    14 мая 2019
    Конечно есть, Виктория. Задачник, если можно так сказать, находится на сайте 100gia.ru Это тоже наш сайт. Там очень много чего есть, в том числе и задачи по геометрии, с решениями и с ответами. Там вообще более 6000 задач. Изначально все это было на одном сайте. Но потом мы разделили его на два, по просьбам… Спасибо, кстати, за теплые слова. И обязательно закрепляйте. Вы тут абсолютно правы.

    Наталья

    01 декабря 2019
    Ну вот это просто класс! Мой нелюбящий сын геометрию, сегодня после первого вашего урока просто в неё влюбился!

    Александр (админ)
    01 декабря 2019
    Спасибо, огромное, Наталья! Очень приятно слышать. Сыну — успехов в геометрии и удачи на всех экзаменах!

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >