Начальный уровень

Параллельные прямые. Визуальный гид (2019)

Параллельные прямые…Прежде всего: что это такое?

Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали.

Вот, как рельсы

параллельные прямые

Принято обозначение:

  – читается как   параллельна  .

Самым важным фактом, который нужно принять без доказательства (не только тебе, но и любому математику) для того, чтобы вся геометрия не развалилась и не превратилась в какую-то неузнаваемую теорию, является так называемая «аксиома параллельных прямых».

Часто ее еще называют «пятый постулат Евклида». Формулируем:

Аксиома параллельных прямых

Через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.
Параллельные прямые. Иллюстрация. Смотри: через любую точку   проходит только одна прямая  , которая параллельна  , все остальные будут пересекать прямую  .

Казалось бы: чего проще – ну , одна так одна… Но ты себе просто не представляешь, сколько споров вели математики на протяжении прямо-таки тысячелетий, прежде чем осознали истинную роль этой аксиомы о параллельных прямых. В конце концов , уже в 19-м веке, после открытий Лобачевского, Гаусса и других ученых стало ясно, что можно построить и другие виды геометрии, в которых не выполняется аксиома параллельных прямых, в которых ее можно выбросить, но эти геометрии уже оказываются не геометриями плоскости, а геометриями на каких-то хитрых поверхностях.

А наша привычная плоскость оттого и называется евклидовой, что при построении геометрии на ней, при решении всех задачек и доказательстве теорем мы считаем этот многострадальный пятый постулат Евклида выполнимым.

Ну вот, а теперь возникает два вопроса:

  1. Если где-то в задаче даны или оказались параллельными две какие-то прямые, то что? Как это использовать?
  2. А как вообще узнать, что какие-то прямые параллельны?

Ответ на первый вопрос называется «свойства параллельных прямых», а ответ на второй вопрос называется «признаки параллельных прямых».

Но прежде нам понадобится много названий, которые нужно запомнить, как таблицу умножения.

Итак, ситуация: две прямые пересечены третьей (она называется секущей)

Аксиома параллельных прямых. Иллюстрация.

Получается куча углов. Целых   штук.

Приняты такие названия этих углов:

Внутренние накрест лежащие углы. Иллюстрация.Внутренние накрест лежащие углы. Иллюстрация 2.

  и   называются внутренними накрест лежащими углами 

  и   – тоже внутренние накрест лежащие углы.

Название говорит само за себя:   и  , так же, как и   и   лежат «накрест» - по разные стороны от секущей и «внутри», между прямыми   и  .

Внутренние односторонние углы. Иллюстрация.Внутренние односторонние углы. Иллюстрация 2.   и   (а еще   и  ) называются внутренними односторонними углами. Они лежат с одной стороны от секущей и «внутри» между прямыми   и  .
Внешние односторонние углы. Иллюстрация.Внутренние односторонние углы. Иллюстрация 2.   и   (а еще   и  ) называются внешними односторонними углами (ты уже догадался, почему?)

И последнее название: соответственные углы.

Соответственные углы. Иллюстрация.Соответственные углы. Иллюстрация 2.Соответственные углы. Иллюстрация 3.Соответственные углы. Иллюстрация 4.

Это пары углов:

  •   и  
  •   и  
  •   и  
  •   и  

Обрати внимание,   и   лежат в одинаковых «соответственных» местах около точек   и  . То же можно сказать и об остальных перечисленных парах – посмотри на рисунок.

Свойства параллельных прямых

Напоминаем (а то отвлеклись на названия), что пытаемся ответить на вопрос: если  , то что?

И вот что:

Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:

  • Внутренние накрест лежащие углы равны
  • Соответственные углы равны
  • Сумма любых двух внутренних односторонних равна  

Запомни – все задачи с участием слова «параллельность» решаются с помощью этой теоремы о свойствах параллельных прямых.

А теперь, наоборот, признаки параллельных прямых.

Признаки параллельных прямых

То есть, как бы узнать, что прямые – параллельны?

Если две прямые (  и  ) пересечены третьей и оказалось, что

  • Какие-нибудь два накрест лежащих угла равны
    ИЛИ
  • Какие нибудь два соответственных угла равны
    ИЛИ
  • Сумма хоть каких-то двух внутренних односторонних равна  
    ИЛИ
  • Сумма хоть каких – то двух внешних односторонних равна  ,

то прямые   и   – параллельны

Заметь, что для того, чтобы установить параллельность прямых, достаточно выяснить, скажем, равенство всего двух углов (или накрест лежащих, или соответственных), а уже все остальное окажется , так сказать, бонусом.

Смотри-ка, вот схема:

Признаки параллельных прямых.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Параллельные прямые - это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали:  .

Секущая - прямая, пересекающая две параллельные прямые:  .

Аксиома параллельных прямых: через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

  •   и    и  
    внутренние накрест лежащие углы;
  •   и    и   - внутренние односторонние углы;
  •   и    и   - внешние односторонние углы;
  •   и    и    и    и   - соответственные углы.

Свойства параллельных прямых:

Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:

  • внутренние накрест лежащие углы равны:   ;
  • соответственные углы равны:     ;
  • сумма любых двух внутренних односторонних углов равна    ;
  • сумма любых двух внешних односторонних углов равна    .

Признаки параллельных прямых:

 

Комментарии

Григорий
09 мая 2018

спасибо за подробную информацию!

ответить

Александр (админ)
09 мая 2018

Пожалуйста, Григорий! Приходи еще и делись инфой с друзьями!

ответить

Алина
23 мая 2018

Какое будет взаимное положение у прямых, пересеченных секущей, если один соответственный угол больше другого?

ответить

Александр
27 июня 2018

Спасибо , очень помогает.

ответить

Александр (админ)
27 июня 2018

Пожалуйста, Александр. Мы рады!))

ответить

Елена
03 июля 2018

Класс!!!!!! Всё просто, понятно и наглядно. Легко усвоилось. Спасибо. Очень нужная информация.

ответить

Александр (админ)
03 июля 2018

Отлично, Елена, что так помог наш текст. Делись им с друзьями, окажешь услугу и им и нам! И удачи на экзамене.

ответить

катя
11 января 2019

всегда пожалуста

ответить

Алексей
17 сентября 2018

очень понятно! Спасибо-о-о-о-о-о-о-о

ответить

Александр (админ)
17 сентября 2018

Очень рады, Алексей! Спасибо и тебе.

ответить

Никита
25 декабря 2018

Спасибо огромное.Кстати мне помогло в школе

ответить

Александр (админ)
25 декабря 2018

Пожалуйста, Никита! Нам очень приятно.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть