Параллелограмм – признаки и свойства

Привет!

Клод Бернард однажды сказал:

«Думать, что всё знаешь, останавливает тебя от того, чтобы учиться новому»

Давай узнаем что-то новое сегодня, разбирая, казалось бы, такую простую тему!

Статья поможет тебе окончательно разобраться с самыми “популярными” параллелограммами, а наши вебинары дадут тебе необходимую практику.

И на ЕГЭ ты сможешь решить любую задачу на эту тему!

Параллелограмм – коротко о главном

Параллелограмм  четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

  • Противоположные стороны равны: \( \displaystyle AB=CD\), \( \displaystyle AD=BC\).
  • Противоположные углы равны: \( \displaystyle \angle A=\angle C\), \( \displaystyle \angle B=\angle D\).
  • Углы при одной стороне составляют в сумме \( \displaystyle 180{}^\circ \): \( \displaystyle \angle A+\angle B=180{}^\circ \), \( \displaystyle \angle B+\angle C=180{}^\circ \), \( \displaystyle \angle C+\angle D=180{}^\circ \), \( \displaystyle \angle A+\angle D=180{}^\circ \).
  • Диагонали делятся точкой пересечения пополам: \( \displaystyle BO=OD; AO=OC\).

Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые: \( \displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90{}^\circ \).

Свойства прямоугольника:

  • Диагонали прямоугольника равны: \( \displaystyle AC=BD\).
  • Прямоугольник – параллелограмм (для прямоугольника выполняются все свойства параллелограмма).

Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой: \( \displaystyle AB=BC=CD=DA\).

Свойства ромба:

  • Диагонали ромба перпендикулярны: \( \displaystyle AC\bot BD\).
  • Диагонали ромба являются биссектрисами его углов: \( \displaystyle \angle BAC=\angle CAD\); \( \displaystyle \angle BCA=\angle DCA\); \( \displaystyle \angle CBD=\angle DBA\); \( \displaystyle \angle CDB=\angle BDA\).
  • Ромб – параллелограмм (для ромба выполняются все свойства параллелограмма).

Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые: \( \displaystyle AB=BC=CD=DA\); \( \displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90{}^\circ \).

Свойства квадрата:

  • Квадрат – ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А также:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}AC\bot BD\\ABCD\ – параллелограмм\end{array} \right.\Rightarrow\) \( \displaystyle \Rightarrow \)

\( \displaystyle ABCD\) – ромб

Параллелограмм – определения и свойства

Сложное слово «параллелограмм»? А скрывается за ним очень простая фигура.

Параллелограмм –это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны

Смотри:

Ну, то есть, взяли две параллельные прямые:

Пересекли ещё двумя:

И вот внутри – параллелограмм!

Какие же есть свойства у параллелограмма?

Внимание! Слова «свойства параллелограмма» означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться для ее решения.

Итак,

В любом параллелограмме:

1. Противоположные стороны равны: \( \displaystyle AB=CD\) и \( \displaystyle AD=BC\).

2. Противоположные углы равны: \( \displaystyle \angle A=\angle C\) и \( \displaystyle \angle B=\angle D\).

3. Диагонали делятся пополам точкой пересечения. \( \displaystyle AO=OC\) и \( \displaystyle BO=OD\).

Видишь, какое богатство выбора? Что же использовать в задаче?

Попробуй ориентироваться на вопрос задачи, или просто пробуй все по очереди – какой-нибудь «ключик» да подойдёт.

Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.

Доказательство свойств параллелограмма

Давай проведём диагональ 𝐴𝐶. Что получится?

Два треугольника: 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐷𝐶.

Раз 𝐴𝐵𝐶𝐷 – параллелограмм, то:

  • \( \displaystyle AD||BC\) \( \displaystyle \Rightarrow ~\angle 1=\angle 2\) как накрест лежащие;
  • \( \displaystyle AB||CD\ \) \( \displaystyle \Rightarrow ~\angle 3=\angle 4\) как накрест лежащие.

Значит, \( \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\) (по II признаку: \( \displaystyle \angle 1=\angle 2,~~\angle 3=\angle 4~\) и \( \displaystyle AC\) – общая.)

Ну вот, а раз \( \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\), то \( \displaystyle AB=CD\) и \( \displaystyle AD=BC\) – всё! – доказали.

Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2) и осталось только 3)!

Почему?

А теперь зададимся другим вопросом: а как узнать параллелограмм «в лицо»? Что такое должно случиться с четырехугольником, чтобы мы имели право выдать ему «звание» параллелограмма?

На этот вопрос отвечает несколько признаков параллелограмма.

Признаки параллелограмма

Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

В значках это так:

\( \displaystyle AB=CD\);\( \displaystyle AB\parallel CD\) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle ABCD\)  параллелограмм.

Почему? Хорошо бы понять, почему \( \displaystyle AD\parallel BC\) – этого хватит. Но смотри:

Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.

\( \displaystyle AB=CD\), \( \displaystyle AD=BC\) \( \displaystyle \Rightarrow\) \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

Ну, это ещё легче!

Снова проведём диагональ \( \displaystyle AC\).

Теперь \( \displaystyle \Delta ABC=\Delta ACD\) просто по трём сторонам.

А значит:

Признак 3. Если у четырёхугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.

\( \displaystyle \angle A=\angle C\), \( \displaystyle \angle B=\angle D\) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle ABCD\)  параллелограмм.

И тоже несложно. Но… по-другому!

Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.

\( \displaystyle AO=OC\); \( \displaystyle BO=OD\) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

И опять просто:

Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Прямоугольник – определение и свойства

Думаю, что для тебя вовсе не явится новостью то, что…

Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые.

Первый вопрос: а является ли прямоугольник параллелограммом?

Конечно, является!

Ведь у него \( \displaystyle \angle A=\angle C\left( =90{}^\circ \right)\) и \( \displaystyle \angle B=\angle D\left( =90{}^\circ \right)\) – помнишь, наш признак 3?

А отсюда, конечно же, следует, что у прямоугольника, как и у всякого параллелограмма \( \displaystyle AB=CD\) и \( \displaystyle BC=AD\), а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Но есть у прямоугольника и одно отличительное свойство.

Диагонали прямоугольника равны: \( \displaystyle AC=BD\).

Почему это свойство отличительное? Потому что ни у какого другого параллелограмма не бывает равных диагоналей. Сформулируем более чётко.

Если у параллелограмма равны диагонали, то это – прямоугольник.

 Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах! Не любой четырехугольник с равными диагоналями – прямоугольник, а только параллелограмм!

Докажем, что диагонали прямоугольника равны

Пункт о параллелограмме совсем очевидный – ведь просто выполнен признак 3 (\( \displaystyle \angle A=\angle C\) \( \displaystyle \angle B=\angle D\))

А пункт о диагоналях – очень важный. Итак, докажем, что диагонали прямоугольника равны.


Ромб – определение и свойства

Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой.

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм, потому что у него \( \displaystyle AB=CD\) и \( \displaystyle BC=AD\) (Вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб – параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

Свойство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.

Почему? Ну, раз ромб – это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.

Поэтому \( \displaystyle \Delta BOC=\Delta DOC\) по трём сторонам (\( \displaystyle BO=OD\), \( \displaystyle OC\) – общая, \( \displaystyle BC=CD\)).

И значит, \( \displaystyle \angle BOC=\angle COD\), но они смежные!

\( \displaystyle \Rightarrow \angle BOC=90{}^\circ \) и \( \displaystyle \angle COD=90{}^\circ \).

Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Почему? Да потому же!

Из-за того, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, а все стороны ромба равны, весь ромб оказался разделён диагоналями на четыре равных треугольника: 

\( \displaystyle \Delta BOC,\text{ }\Delta BOA,\ \Delta AOD,\text{ }\Delta COD\).

Поэтому

\( \displaystyle \angle 1=\angle 2;\text{ }\angle 5=\angle 6;\) \( \displaystyle \angle 3=\angle 4;\text{ }\angle 7=\angle 8;\)

Иными словами, диагонали \( \displaystyle BD\) и \( \displaystyle AC\) оказались биссектрисами углов ромба.

Как в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные, каждые из них является ещё и признаком ромба.

Признаки ромба

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны то это – ромб.

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}AC\bot BD\\ABCD\ – параллелограмм\end{array} \right.\Rightarrow\)
\( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle ABCD\) – ромб

Почему? Смотри:

\( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм \( \displaystyle \Rightarrow AO=CO;BO=OD\).

Но ещё дано, что \( \displaystyle AC\bot BD\) \( \displaystyle \Rightarrow\) \( \displaystyle \Delta AOB=\Delta BOC=\Delta COD=\Delta AOD\) – по двум катетам.

И значит, \( \displaystyle AB=BC=CD=AD\) – и всё!

Признак 2. Если в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей делит пополам оба угла, через которые она проходит, то этот параллелограмм – ромб.

А это почему? А посмотри:

\( \displaystyle \angle A=\angle C\), так как \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

Но ещё дано, что \( \displaystyle AC\) – биссектриса углов \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle C\).

Значит, \( \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\) и оба этих треугольника – равнобедренные.

Значит, \( \displaystyle AB=BC=CD=DA\), то есть \( \displaystyle ABCD\) – ромб.

И снова обрати внимание! Не всякий четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями – ромб.

Вот пример. Разве это ромб?

Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ \( \displaystyle AC\) – биссектриса углов \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle C\).

Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому \( \displaystyle ABCD\) – НЕ параллелограмм, а значит, и НЕ ромб.

Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.

Квадрат – определения и свойства

Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые.

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

У квадрата угол между диагональю и стороной равен \( \displaystyle 45{}^\circ \).

Понятно, почему?

Квадрат – ромб \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle AC\) – биссектриса угла \( \displaystyle A\), который равен \( \displaystyle 90{}^\circ \).

Значит \( \displaystyle AC\) делит \( \displaystyle \angle A\) (да и \( \displaystyle \angle C\) тоже) на два угла по \( \displaystyle 45{}^\circ \).

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник \( \displaystyle \Rightarrow \) диагонали равны; ромб \( \displaystyle \Rightarrow \) диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм \( \displaystyle \Rightarrow \) диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Если сторона квадрата равна \( \displaystyle a\), то его диагональ равна \( \displaystyle a\sqrt{2}\).

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к \( \displaystyle \Delta ADC\).

\( \displaystyle A{{C}^{2}}=A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}\)

Значит, \( \displaystyle AC=\sqrt{2}\cdot a\)

На этом с теорией, связанной с параллелограммом мы закончим. Если вы хотите попрактиковаться в решении задач, смотрите наши вебинары из бонусной части.

Бонус 1: Площадь фигур на клечатой бумаге – вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

Хотя начиная с 2021 году задача на геометрию на клечатой бумаге не будет входить в ЕГЭ, она очень полезна для того, чтобы начать изучать геометрию, для понимания планиметрии.

На этом вебинаре мы научимся находить длины отрезков; вспомним формулы площади треугольника, параллелограмма и трапеции.

И не только вспомним, но и научимся применять в задаче №3 из ЕГЭ.

А также мы узнаем ещё два универсальных способа нахождения площадей любых многоугольников – с помощью прямоугольной рамки и с помощью разрезания.


Бонус 2. Параллелепипед. Куб. Призма – вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

Итак, куб, параллелепипед и призма – задача №8 из ЕГЭ.

На этом вебинаре мы на примере самых простых объемных фигур научимся находить важнейшие вещи в стереометрии – расстояния и углы в пространстве.

И закрепим все на большом количестве задач.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Расскажи нам…

Понравилась ли тебе статья? 

Оказывается, не нужно зубрить кучу признаков и свойств. Нужно  просто понимать, как они связаны! Параллелограмм – одна из важнейших фигур в геометрии.

Все ли было понятно? Пиши внизу в комментариях!

Мы будем рады узнать твое мнение.

И обязательно ответим на твои вопросы, если такие есть.

Удачи!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

3 комментария

  1. Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    максим
    26 марта 2019
    молодцы

    Даниил
    03 июня 2019
    Спасибо очень помогли!

    Алёшка
    25 мая 2020
    Молодцы просто, имеете могёти просто, чётко