Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Средний уровень.

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Пройди программу подготовки к ОГЭ Пройди программу подготовки к ЕГЭ

Свойства четырехугольников. Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Параллелограмм.

Свойства параллелограмма

Внимание! Слова «свойства параллелограмма» означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.

Итак,

Теорема о свойствах параллелограмма.

В любом параллелограмме:

1) Противоположные стороны равны Параллелограмм. Противоположные стороны равны.
2) Противоположные углы равны Параллелограмм. Противоположные углы равны.
3) Диагонали делятся пополам точкой пересечения Параллелограмм. Диагонали делятся пополам точкой пересечения.

Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.

Итак, почему верно 1)?

Параллелограмм. Доказательство теоремы. Давай проведём диагональ  . Что получится?
Два треугольника:   и  .

Раз   – параллелограмм, то :

  •     как накрест лежащие
  •     как накрест лежащие.

Значит,   (по II признаку:   и   - общая.)

Ну вот, а раз  , то   и   – всё! – доказали.

Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!

Почему? Но ведь   (смотри на картинку), то есть  , а   именно потому, что  .

Осталось только 3).

Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.

Параллелограмм. Доказательство теоремы 2. Мы уже выяснили, что  . Давай снова отметим равные накрест лежащие углы (посмотри и убедись, что все верно).

И теперь видим, что   - по II признаку (  угла и сторона «между» ними).

Параллелограмм. Доказательство теоремы 3. Значит,   (напротив углов   и  ) и   (напротив углов   и   соответственно).

Свойства доказали! Перейдём к признакам.

Признаки параллелограмма

Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать?", что фигура является параллелограммом.

Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

В значках это так:

Параллелограмм. Признак №1 - 1.  ;      – параллелограмм.

Почему? Хорошо бы понять, почему   – этого хватит. Но смотри:

Параллелограмм. Признак №1 - 2.   по 1 признаку:  ,  - общая и   как накрест лежащие при параллельных   и   и секущей  .

А раз  ,

Параллелограмм. Признак №1 - 2 то   (лежат напротив   и   соответственно). Но это значит, что   (  и   - накрест лежащие и оказались равны).

Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.

Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.
Параллелограмм. Признак №2 - 1  ,       – параллелограмм.

Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ  .

Параллелограмм. Признак №2 - 2. Теперь   просто по трём сторонам.

А значит:

Параллелограмм. Признак №2 - 3.     и    , то есть   – параллелограмм.
Признак 3. Если у четырёхугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.
Параллелограмм. Признак №3 - 1  ,       – параллелограмм.

И тоже несложно. Но …по-другому!

Параллелограмм. Признак №2 - 2   (ведь   – четырехугольник, а  ,   по условию).

Значит,  . Ух! Но   и   – внутренние односторонние при секущей  !

Поэтому тот факт, что   означает, что  .

А если посмотришь с другой стороны, то   и   – внутренние односторонние при секущей  ! И поэтому  .

Видишь, как здорово?!

Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.
Параллелограмм. Признак №3 - 1        – параллелограмм.

И опять просто:

Параллелограмм. Признак №3 - 2  ,   как вертикальные  ,  , и  .

Точно так же  ,    , и  .

Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Достаточные условия для свойств параллелограмма.

Свойства четырехугольников. Прямоугольник.

Прямоугольник. Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые.

Свойства прямоугольника:

  1. Прямоугольник – параллелограмм
  2. Диагонали прямоугольника равны

Пункт 1) совсем очевидный – ведь просто выполнен признак 3 (   )

А пункт 2) – очень важный. Итак, докажем, что

диагонали прямоугольника равны.
Диагонали прямоугольника - равны. Раз прямоугольник – это параллелограмм, то  .

А значит,   по двум катетам (  и   - общий).

Ну вот, раз треугольники   и   равны, то у них и гипотенузы   и   тоже равны.

Доказали, что  !

И представь себе, равенство диагоналей – отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^

Если у параллелограмма равны диагонали, то это прямоугольник.

Давай поймём, почему?

Параллелограмм с равными диагоналями.   – параллелограмм  
  – по условию.
  – теперь уже по трём сторонам.

Значит,   (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что   – параллелограмм, и поэтому  .

Значит,  . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по  ! Ведь в сумме-то они должны давать  !

Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник.

Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах! Не любой четырехугольник с равными диагоналями – прямоугольник, а только параллелограмм!

Свойства четырехугольников. Ромб

Ромб. Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой.

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм, потому что у него   и   (Вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб – параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

Свойство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.

Почему? Ну, раз ромб – это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.

Ромб. Свойство 1. Поэтому   по трём сторонам ( ,   - общая,  ).И значит,  , но они смежные!
  и  .
Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Почему? Да, потому же!

Ромб. Свойство 2. Из-за того, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, а все стороны ромба равны, весь ромб оказался разделён диагоналями на четыре равных треугольника:  .

Поэтому

 

 

Иными словами, диагонали   и   оказались биссектрисами углов ромба.

Как в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные, каждые из них является ещё и признаком ромба.

Признаки ромба.

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны то это – ромб.
Ромб. Признак 1.  
    - ромб

Почему? Смотри:

Ромб. Признак 1. Обоснование.   - параллелограмм  .
Но ещё дано, что
      - по двум катетам.
И значит,   – и всё!
Признак 2. Если в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей делит пополам оба угла, через которые она проходит, то этот параллелограмм – ромб.

А это почему? А посмотри,

Ромб. Признак 2.  , так как   – параллелограмм. Но ещё дано, что   – биссектриса углов   и  .

Значит,   и оба этих треугольника – равнобедренные.

Ромб. Признак 2. Обоснование. Значит,  , то есть   - ромб.

И снова обрати внимание! Не всякий четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями – ромб.

Вот пример:

Не каждый четырехугольник - ромб. Это вовсе не ромб, хоть его диагонали и перпендикулярны.

Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.

Свойства четырехугольников. Квадрат

Квадрат. Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые.

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

Квадрат. Угол между диагональю и стороной. У квадрата угол между диагональю и стороной равен  .

Понятно, почему? Квадрат - ромб     – биссектриса угла  , который равен  . Значит   делит   (да и   тоже) на два угла по  .

Диагонали квадрата. Диагонали квадрата – равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник   диагонали равны; ромб   диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм   диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Зависимость длины диагонали квадрата, от длины его стороны. Если сторона квадрата равна  , то его диагональ равна  .

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к  .

 

Значит,  

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Хотите открыть все скрытые тексты в учебнике? Приобретите подписку и тексты будут открыты до даты экзамена. Стоимость подписки 499 руб

Купить подписку