9 июля

1 comments

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат (ЕГЭ – 2021)

Привет!

Клод Бернард однажды сказал:

«Думать, что всё знаешь, останавливает тебя от того, чтобы учиться новому»

Давай узнаем что-то новое сегодня, разбирая, казалось бы, такую простую тему!

Статья поможет тебе окончательно разобраться с самыми "популярными" четырехугольниками 🙂 И на ЕГЭ ты сможешь решить любую задачу!

Поехали!

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Сложное слово «параллелограмм»? А скрывается за ним очень простая фигура.

Смотри:

Параллелограмм  это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны

Ну, то есть, взяли две параллельные прямые:

Пересекли ещё двумя:

И вот внутри – параллелограмм!

Какие же есть свойства у параллелограмма?

Свойства параллелограмма

То есть, чем можно пользоваться, если в задаче дан параллелограмм?

На этот вопрос отвечает следующая теорема.

В любом параллелограмме:

  1. 1
    Противоположные стороны равны;
  2. 2
    Противоположные углы равны;
  3. 3
     Диагонали делятся пополам точкой пересечения

Давай нарисуем все подробно.

Что означает первый пункт теоремы? А то, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то непременно

\( \displaystyle AB=CD\) и \( \displaystyle AD=BC\).

Второй пункт означает, что если ЕСТЬ параллелограмм, то, опять же, непременно:

\( \displaystyle \angle A=\angle C\) и \( \displaystyle \angle B=\angle D\).

Ну, и наконец, третий пункт означает, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то обязательно:

\( \displaystyle AO=OC\) и \( \displaystyle BO=OD\).

Видишь, какое богатство выбора? Что же использовать в задаче? Попробуй ориентироваться на вопрос задачи, или просто пробуй все по очереди – какой-нибудь «ключик» да подойдёт.

А теперь зададимся другим вопросом: а как узнать параллелограмм «в лицо»? Что такое должно случиться с четырехугольником, чтобы мы имели право выдать ему «звание» параллелограмма?

На этот вопрос отвечает несколько признаков параллелограмма.

Признаки параллелограмма

Внимание! Начинаем.

Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это – параллелограмм.

\( \displaystyle AB=CD\); \( \displaystyle AB\parallel CD\) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

\( \displaystyle \text{AB}=\text{CD};\text{AB}\parallel \text{CD}\Rightarrow \text{ABCD}\) - паралелограмм.

Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.

\( \displaystyle AB=CD\); \( \displaystyle AD=BC\) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

Признак 3. Если у четырехугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.

\( \displaystyle AB=CD\); \( \displaystyle AD=BC\) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.

\( \displaystyle AO=OC\); \( \displaystyle BO=OD\) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

Обрати внимание: если ты нашёл хотя бы один признак в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Думаю, что для тебя вовсе не явится новостью то, что

Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые.

Первый вопрос: а является ли прямоугольник параллелограммом?

Конечно, является! Ведь у него \( \displaystyle \angle A=\angle C\left( =90{}^\circ \right)\) и \( \displaystyle \angle B=\angle D\left( =90{}^\circ \right)\) - помнишь, наш признак 3?

А отсюда, конечно же, следует, что у прямоугольника, как и у всякого параллелограмма \( \displaystyle AB=CD\) и \( \displaystyle BC=AD\), а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Но есть у прямоугольника и одно отличительное свойство.

Свойство прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны:

\( \displaystyle AC=BD\).

Почему это свойство отличительное? Потому что ни у какого другого параллелограмма не бывает равных диагоналей. Сформулируем более чётко.

Если у параллелограмма равны диагонали, то это – прямоугольник.

Обрати внимание: чтобы стать прямоугольником, четырехугольнику нужно сперва стать параллелограммом, а потом уже предъявлять равенство диагоналей.

Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой.

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм, потому что у него \( \displaystyle AB=CD\) и \( \displaystyle BC=AD\) (вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромбпараллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

Свойство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.

\( \displaystyle AC\bot BD\) (если ты забыл, напомню: \( \bot \) – значок перпендикулярности)

Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Посмотри на картинку:

Как и в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные, то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм, а именно ромб.

Признаки ромба

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это ромб.

И снова обрати внимание: должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм. Убедись:

Разве это ромб?

Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ \( \displaystyle AC\) – биссектриса углов \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle C\). Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому \( \displaystyle ABCD\) – НЕ параллелограмм, а значит, и НЕ ромб.

Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые.

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

У квадрата угол между диагональю и стороной равен \( \displaystyle 45{}^\circ \).

Понятно почему? Квадрат – ромб \( \displaystyle \Rightarrow AC\) – биссектриса угла A, который равен \( \displaystyle 90{}^\circ \). Значит \( \displaystyle AC\) делит \( \displaystyle \angle A\) (да и \( \displaystyle \angle C\) тоже) на два угла по \( \displaystyle 45{}^\circ \).

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник \( \displaystyle \Rightarrow \)диагонали равны; ромб \( \displaystyle \Rightarrow \)диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм \( \displaystyle \Rightarrow \)диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Если сторона квадрата равна \( \displaystyle a\), то его диагональ равна \( \displaystyle a\sqrt{2}\).

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к \( \displaystyle \Delta ADC\).

\( \displaystyle A{{C}^{2}}=A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}\)

Значит, \( \displaystyle AC=\sqrt{2}\cdot a\).

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Свойства четырехугольников. Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства паралеллограмма

Внимание! Слова «свойства параллелограмма» означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.

Итак,

Теорема о свойствах параллелограмма

В любом параллелограмме:

1. Противоположные стороны равны

2. Противоположные углы равны

3. Диагонали делятся пополам точкой пересечения

Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.

Давай проведём диагональ \( \displaystyle AC\). Что получится?

Два треугольника: \( \displaystyle ABC\) и \( \displaystyle ADC\).

Раз \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм, то:

  • \( \displaystyle AD||BC\) \( \displaystyle \Rightarrow ~\angle 1=\angle 2\) как накрест лежащие;
  • \( \displaystyle AB||CD\ \) \( \displaystyle \Rightarrow ~\angle 3=\angle 4\) как накрест лежащие.

Значит, \( \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\) (по II признаку: \( \displaystyle \angle 1=\angle 2,~~\angle 3=\angle 4~\) и \( \displaystyle AC\) - общая.)

Ну вот, а раз \( \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\), то \( \displaystyle AB=CD\) и \( \displaystyle AD=BC\) – всё! – доказали.

Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!

Почему? Но ведь \( \displaystyle \angle 1+\angle 3=\angle 2+\angle 4\) (смотри на картинку), то есть \( \displaystyle \angle A=\angle C\), а \( \displaystyle \angle B=\angle D\) именно потому, что \( \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\).

Осталось только 3).

Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.

Мы уже выяснили, что \( \displaystyle AB=CD\). Давай снова отметим равные накрест лежащие углы (посмотри и убедись, что все верно).

И теперь видим, что \( \displaystyle \Delta AOB=\Delta COD\) – по II признаку (\( \displaystyle 2\) угла и сторона «между» ними).

Значит, \( \displaystyle BO=OD\) (напротив углов \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 1\)) и \( \displaystyle AO=OC\) (напротив углов \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle 4\) соответственно).

Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать?", что фигура является параллелограммом.

Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

В значках это так:

\( \displaystyle AB=CD\);\( \displaystyle AB\parallel CD\) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle ABCD\)  параллелограмм.

Почему? Хорошо бы понять, почему \( \displaystyle AD\parallel BC\) – этого хватит. Но смотри:

\( \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\) по 1 признаку:

\( \displaystyle AB=CD\), \( \displaystyle AC\)- общая и \( \displaystyle \angle 1=\angle 2\) как накрест лежащие при параллельных

\( \displaystyle AB\) и \( \displaystyle CD\) и секущей \( \displaystyle AC\).

А раз \( \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\),

то \( \displaystyle \angle 3= \angle 4\) (лежат напротив \( \displaystyle AB\) и \( \displaystyle CD\) соответственно).

Но это значит, что \( \displaystyle AD||BC\) (\( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle 4\) - накрест лежащие и оказались равны).

Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.

Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.

\( \displaystyle AB=CD\), \( \displaystyle AD=BC\) \( \displaystyle \Rightarrow\) \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ \( \displaystyle AC\).

Теперь \( \displaystyle \Delta ABC=\Delta ACD\) просто по трём сторонам.

А значит:

\( \displaystyle \angle 1=\angle 2\) \( \displaystyle \Rightarrow AD\parallel BC\) и \( \displaystyle \angle 3=\angle 4\) \( \displaystyle \Rightarrow AB\parallel CD\), то есть \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

Признак 3. Если у четырёхугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.

\( \displaystyle \angle A=\angle C\), \( \displaystyle \angle B=\angle D\) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle ABCD\)  параллелограмм.

И тоже несложно. Но… по-другому!

\( \displaystyle 2\alpha +2\beta =360{}^\circ \) (ведь \( \displaystyle ABCD\) – четырехугольник, а \( \displaystyle \angle A=\angle C\), \( \displaystyle \angle B=\angle D\) по условию).

Значит, \( \displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circ \). Ух! Но \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) – внутренние односторонние при секущей \( \displaystyle AB\)!

Поэтому тот факт, что \( \displaystyle \alpha +\beta =180{}^\circ \) означает, что \( \displaystyle AD\parallel BC\).

А если посмотришь с другой стороны, то \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) – внутренние односторонние при секущей \( \displaystyle AD\)! И поэтому \( \displaystyle AB\parallel CD\).

Видишь, как здорово?!

Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.

\( \displaystyle AO=OC\); \( \displaystyle BO=OD\) \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

И опять просто:

\( \displaystyle BO=OD;AO=OC\), \( \displaystyle \angle 1=\angle 2\) как вертикальные \( \displaystyle \Rightarrow \Delta AOB=\Delta COD\), \( \displaystyle \Rightarrow \angle 3=\angle 4\), и \( \displaystyle \Rightarrow AB||CD\).

Точно так же \( \displaystyle BO=OD; AO=OC\), \( \displaystyle \angle 5=\angle 6\)\( \displaystyle \Rightarrow \Delta AOD=\Delta BOC \Rightarrow \)\( \displaystyle \angle 7=\angle 8\), и \( \displaystyle \Rightarrow AD\parallel BC\).

Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Свойства четырехугольников. Прямоугольник

Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые.

  • Прямоугольник – параллелограмм
  • Диагонали прямоугольника равны

Пункт о параллелограмме совсем очевидный – ведь просто выполнен признак 3 (\( \displaystyle \angle A=\angle C\) \( \displaystyle \angle B=\angle D\))

А пункт о диагоналях – очень важный. Итак, докажем, что...

Диагонали прямоугольника равны.

Раз прямоугольник – это параллелограмм, то \( \displaystyle AB=CD\).

А значит, \( \displaystyle \Delta ABD=\Delta DCA\) по двум катетам (\( \displaystyle AB=CD\) и \( \displaystyle AD\) - общий).

Ну вот, раз треугольники \( \displaystyle ABC\) и \( \displaystyle DCA\) равны, то у них и гипотенузы \( \displaystyle BD\) и \( \displaystyle AC\) тоже равны.

Доказали, что \( \displaystyle AC=BD\)!

Признаки прямоугольника

И представь себе, равенство диагоналей – отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение:

Если у параллелограмма равны диагонали, то это прямоугольник.

Давай поймём, почему?

\( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм \( \displaystyle \Rightarrow AB=CD\)

\( \displaystyle AC=BD\) – по условию.

\( \displaystyle \Rightarrow \Delta ABD=\Delta DCA\) – теперь уже по трём сторонам.

Значит, \( \displaystyle \angle A=\angle D\) (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм, и поэтому \( \displaystyle \angle A=\angle C,\text{ }\angle B=\angle D\).

Значит, \( \displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D\). Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по \( \displaystyle 90{}^\circ \)! Ведь в сумме-то они должны давать \( \displaystyle 360{}^\circ \)!

Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник.

Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах! Не любой четырехугольник с равными диагоналями – прямоугольник, а только параллелограмм!

Свойства четырехугольников. Ромб

Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой.

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм, потому что у него \( \displaystyle AB=CD\) и \( \displaystyle BC=AD\) (Вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб – параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

Свойство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.

Почему? Ну, раз ромб – это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.

Поэтому \( \displaystyle \Delta BOC=\Delta DOC\) по трём сторонам (\( \displaystyle BO=OD\), \( \displaystyle OC\) - общая, \( \displaystyle BC=CD\)).

И значит, \( \displaystyle \angle BOC=\angle COD\), но они смежные!

\( \displaystyle \Rightarrow \angle BOC=90{}^\circ \) и \( \displaystyle \angle COD=90{}^\circ \).

Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Почему? Да потому же!

Из-за того, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, а все стороны ромба равны, весь ромб оказался разделён диагоналями на четыре равных треугольника:

\( \displaystyle \Delta BOC,\text{ }\Delta BOA,\ \Delta AOD,\text{ }\Delta COD\).

Поэтому

\( \displaystyle \angle 1=\angle 2;\text{ }\angle 5=\angle 6;\)

\( \displaystyle \angle 3=\angle 4;\text{ }\angle 7=\angle 8;\)

Иными словами, диагонали \( \displaystyle BD\) и \( \displaystyle AC\) оказались биссектрисами углов ромба.

Как в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные, каждые из них является ещё и признаком ромба.

Признаки ромба

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны то это – ромб.

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}AC\bot BD\\ABCD\ - параллелограмм\end{array} \right.\Rightarrow\)
\( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle ABCD\) – ромб

Почему? Смотри:

\( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм \( \displaystyle \Rightarrow AO=CO;BO=OD\).

Но ещё дано, что \( \displaystyle AC\bot BD\) \( \displaystyle \Rightarrow\) \( \displaystyle \Delta AOB=\Delta BOC=\Delta COD=\Delta AOD\) – по двум катетам.

И значит, \( \displaystyle AB=BC=CD=AD\) – и всё!

Признак 2. Если в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей делит пополам оба угла, через которые она проходит, то этот параллелограмм – ромб.

А это почему? А посмотри:

\( \displaystyle \angle A=\angle C\), так как \( \displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

Но ещё дано, что \( \displaystyle AC\) – биссектриса углов \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle C\).

Значит, \( \displaystyle \Delta ABC=\Delta ADC\) и оба этих треугольника – равнобедренные.

Значит, \( \displaystyle AB=BC=CD=DA\), то есть \( \displaystyle ABCD\) – ромб.

И снова обрати внимание! Не всякий четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями – ромб.

Вот пример:

Это вовсе не ромб, хоть его диагонали и перпендикулярны.

Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.

Свойства четырехугольников. Квадрат

Признаки и свойства квадрата

Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые.

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

У квадрата угол между диагональю и стороной равен \( \displaystyle 45{}^\circ \).

Понятно, почему? Квадрат – ромб \( \displaystyle \Rightarrow \) \( \displaystyle AC\) – биссектриса угла \( \displaystyle A\), который равен \( \displaystyle 90{}^\circ \). Значит \( \displaystyle AC\) делит \( \displaystyle \angle A\) (да и \( \displaystyle \angle C\) тоже) на два угла по \( \displaystyle 45{}^\circ \).

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник \( \displaystyle \Rightarrow \) диагонали равны; ромб \( \displaystyle \Rightarrow \) диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм \( \displaystyle \Rightarrow \) диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Если сторона квадрата равна \( \displaystyle a\), то его диагональ равна \( \displaystyle a\sqrt{2}\).

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к \( \displaystyle \Delta ADC\).

\( \displaystyle A{{C}^{2}}=A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}\)

Значит, \( \displaystyle AC=\sqrt{2}\cdot a\)

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Параллелограмм  четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

  • Противоположные стороны равны: \( \displaystyle AB=CD\), \( \displaystyle AD=BC\).
  • Противоположные углы равны: \( \displaystyle \angle A=\angle C\), \( \displaystyle \angle B=\angle D\).
  • Углы при одной стороне составляют в сумме \( \displaystyle 180{}^\circ \): \( \displaystyle \angle A+\angle B=180{}^\circ \), \( \displaystyle \angle B+\angle C=180{}^\circ \), \( \displaystyle \angle C+\angle D=180{}^\circ \), \( \displaystyle \angle A+\angle D=180{}^\circ \).
  • Диагонали делятся точкой пересечения пополам: \( \displaystyle BO=OD; AO=OC\).

Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые:

\( \displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90{}^\circ \).

Свойства прямоугольника:

  • Диагонали прямоугольника равны: \( \displaystyle AC=BD\).
  • Прямоугольник – параллелограмм (для прямоугольника выполняются все свойства параллелограмма).

Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой:

\( \displaystyle AB=BC=CD=DA\).

Свойства ромба:

  • Диагонали ромба перпендикулярны: \( \displaystyle AC\bot BD\).
  • Диагонали ромба являются биссектрисами его углов: \( \displaystyle \angle BAC=\angle CAD\); \( \displaystyle \angle BCA=\angle DCA\); \( \displaystyle \angle CBD=\angle DBA\); \( \displaystyle \angle CDB=\angle BDA\).
  • Ромб – параллелограмм (для ромба выполняются все свойства параллелограмма).

Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые: 

\( \displaystyle AB=BC=CD=DA\);

\( \displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90{}^\circ \).

Свойства квадрата:

Квадрат – ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А также:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}AC\bot BD\\ABCD\ - параллелограмм\end{array} \right.\Rightarrow\)

\( \displaystyle \Rightarrow \)

\( \displaystyle ABCD\) – ромб

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Расскажи нам...

Понравилась ли тебе статья? 

Оказывается, не нужно зубрить кучу признаков и свойств. Нужно  просто понимать, как они связаны! Параллелограмм – одна из важнейших фигур в геометрии.

Все ли было понятно? Пиши внизу в комментариях!

Мы будем рады узнать твое мнение.

И обязательно ответим на твои вопросы, если такие есть.

Удачи!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    максим
    26 марта 2019
    молодцы

    Даниил
    03 июня 2019
    Спасибо очень помогли!

    Алёшка
    25 мая 2020
    Молодцы просто, имеете могёти просто, чётко

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >