Площади фигур (ЕГЭ 2022)

Привет!

Если тебя заинтересовало то, как находить площадь поверхностей различных фигур, читай эту статью!

Подробное объяснение, формулы и иллюстрации. 

Всё это здесь.

Площадь поверхности призмы

Есть ли общая формула? Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Площадь полной поверхности призмы – это сумма площадей всех граней.

\( \displaystyle {{S}_{полн. пов.\ \ }}={{S}_{боков.пов.\ \ }}+2\cdot {{S}_{основания\ \ }}\)

Формулу можно написать для прямой призмы:

\( \displaystyle {{\text{S}}_{боков.}}=\text{H}\cdot \text{P}\), где \( \displaystyle P\) – периметр основания.

\( \displaystyle {{S}_{полной\ \ \ }}=H\cdot P+2\cdot {{S}_{основания\ \ }}\)

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы. Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).

\( \displaystyle {{\text{S}}_{полн.}}={{\text{S}}_{бок.}}+2\cdot {{\text{S}}_{\text{осн}.}}\)

Все боковые грани – прямоугольники. Значит \( \displaystyle {{\text{S}}_{\text{бок.}}}=6\cdot \text{ab}\).

\( \displaystyle {{\text{S}}_{осн.}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}{{\text{a}}^{2}}\) – это уже выводили при подсчёте объёма.

Итак, получаем:

\( \displaystyle {{\text{S}}_{\text{полн.}}}=6\text{ab}+3\sqrt{3}{{\text{a}}^{2}}\).

Площадь поверхности пирамиды

Для пирамиды тоже действует общее правило:

Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма площадей всех граней.\( \displaystyle {{S}_{полн. пов.\ \ }}={{S}_{боков.пов.\ \ }}+{{S}_{основания\ \ }}\)

Теперь давай посчитаем площадь поверхности самых популярных пирамид.

Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\). Нужно найти \( \displaystyle {{S}_{осн}}\) и \( \displaystyle {{S}_{ASB}}\).

И тогда

\( \displaystyle {{S}_{полн. пов.\ \ }}=3{{\text{S}}_{ASB}}+{{\text{S}}_{\text{осн}.}}\)

Вспомним теперь, что

\( \displaystyle {{S}_{осн}}\) – это площадь правильного треугольника \( \displaystyle ABC\).

И еще вспомним, как искать эту площадь.

Используем формулу площади:

\( \displaystyle S=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \gamma \).

У нас «\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle a\), а «\( \displaystyle b\)» – это тоже \( \displaystyle a\), а \( \displaystyle \sin \gamma =\sin 60{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Значит, \( \displaystyle {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}{{a}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\).

Теперь найдем \( \displaystyle {{S}_{\Delta ASB}}\).

Пользуясь основной формулой площади и теоремой Пифагора, находим

\( \displaystyle {{S}_{\Delta ASB}} = \frac{1}{2}a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}\)

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. \( \displaystyle b=a\)), то формула получается такой:

\( \displaystyle S={{a}^{2}}\sqrt{3}\).

Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).

\( \displaystyle {{S}_{полн. пов.\ \ }}=4{{\text{S}}_{ASB}}+{{\text{S}}_{\text{осн}.}}\)

В основании – квадрат, и поэтому \( \displaystyle {{S}_{OCH}}={{a}^{2}}\).

Осталось найти площадь боковой грани

\( \displaystyle {{S}_{\Delta ASB}} = \frac{1}{2}a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}\)

Площадь поверхности правильной шестиугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро \( \displaystyle b\).

\( \displaystyle {{S}_{полн. пов.\ \ }}=4{{\text{S}}_{ASB}}+{{\text{S}}_{\text{осн}.}}\)

Как найти \( \displaystyle {{S}_{OCH}}\)? Шестиугольник \( \displaystyle ABCDEF\) состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете площади поверхности правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

\( \displaystyle {{S}_{ABCDEF}}=6\cdot {{S}_{AOF}}=6\cdot \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}\)

Ну, и площадь боковой грани мы уже искали аж два раза

\( \displaystyle {{S}_{\Delta ASB}} = \frac{1}{2}a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}\)

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Поделись с нами!

Сегодня ты научился искать площадь поверхностей различных фигур. Может, ты искал эту статью, чтобы решить какую-то определенную задачу. А может ты просто изучал это в курсе геометрии 🙂

В любом случае, это полезно знать!

Теперь мы хотим услышать тебя! Расскажи нам в комментариях ниже, понравилась ли тебе статья и помогла ли она тебе?

А если у тебя есть вопросы, задай их там же! И мы обязательно тебе ответим.

Удачи!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *