28 июля

0 comments

Площадь поверхности различных фигур (ЕГЭ – 2021)

Привет!

Если тебя заинтересовало то, как находить площадь поверхностей различных фигур, читай эту статью!

Подробное объяснение, разборы и иллюстрации. Всё это здесь.

Есть ли общая формула? Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Площадь полной поверхности призмы – это сумма площадей всех граней.
\( \displaystyle {{S}_{полн. пов.\ \ }}={{S}_{боков.пов.\ \ }}+2\cdot {{S}_{основания\ \ }}\)

Формулу можно написать для прямой призмы:

\( \displaystyle {{\text{S}}_{боков.}}=\text{H}\cdot \text{P}\), где \( \displaystyle P\) - периметр основания.

\( \displaystyle {{S}_{полной\ \ \ }}=H\cdot P+2\cdot {{S}_{основания\ \ }}\)

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы. Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).

\( \displaystyle {{\text{S}}_{полн.}}={{\text{S}}_{бок.}}+2\cdot {{\text{S}}_{\text{осн}.}}\)

Все боковые грани – прямоугольники. Значит \( \displaystyle {{\text{S}}_{\text{бок.}}}=6\cdot \text{ab}\).

\( \displaystyle {{\text{S}}_{осн.}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}{{\text{a}}^{2}}\) - это уже выводили при подсчёте объёма.

Итак, получаем:

\( \displaystyle {{\text{S}}_{\text{полн.}}}=6\text{ab}+3\sqrt{3}{{\text{a}}^{2}}\).

Для пирамиды тоже действует общее правило:

Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма площадей всех граней.
\( \displaystyle {{S}_{полн. пов.\ \ }}={{S}_{боков.пов.\ \ }}+{{S}_{основания\ \ }}\)

Теперь давай посчитаем площадь поверхности самых популярных пирамид.

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\). Нужно найти \( \displaystyle {{S}_{осн}}\) и \( \displaystyle {{S}_{ASB}}\).

И тогда

\( \displaystyle {{S}_{полн. пов.\ \ }}=3{{\text{S}}_{ASB}}+{{\text{S}}_{\text{осн}.}}\)

Вспомним теперь, что

\( \displaystyle {{S}_{осн}}\) - это площадь правильного треугольника \( \displaystyle ABC\).

И еще вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

\( \displaystyle S=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \gamma \).

У нас «\( \displaystyle a\)» - это \( \displaystyle a\), а «\( \displaystyle b\)» - это тоже \( \displaystyle a\), а \( \displaystyle \sin \gamma =\sin 60{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Значит, \( \displaystyle {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}{{a}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\).

Теперь найдем \( \displaystyle {{S}_{\Delta ASB}}\).

Пользуясь основной формулой площади и теоремой Пифагора, находим

\( \displaystyle {{S}_{\Delta ASB}} = \frac{1}{2}a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}\)

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. \( \displaystyle b=a\)), то формула получается такой:

\( \displaystyle S={{a}^{2}}\sqrt{3}\).

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).

\( \displaystyle {{S}_{полн. пов.\ \ }}=4{{\text{S}}_{ASB}}+{{\text{S}}_{\text{осн}.}}\)

В основании – квадрат, и поэтому \( \displaystyle {{S}_{OCH}}={{a}^{2}}\).

Осталось найти площадь боковой грани

\( \displaystyle {{S}_{\Delta ASB}} = \frac{1}{2}a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}\)

Площадь поверхности правильной шестиугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро \( \displaystyle b\).

\( \displaystyle {{S}_{полн. пов.\ \ }}=4{{\text{S}}_{ASB}}+{{\text{S}}_{\text{осн}.}}\)

Как найти \( \displaystyle {{S}_{OCH}}\)? Шестиугольник \( \displaystyle ABCDEF\) состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете площади поверхности правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

\( \displaystyle {{S}_{ABCDEF}}=6\cdot {{S}_{AOF}}=6\cdot \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}\)

Ну, и площадь боковой грани мы уже искали аж два раза

\( \displaystyle {{S}_{\Delta ASB}} = \frac{1}{2}a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}\)

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Поделись с нами!

Сегодня ты научился искать площадь поверхностей различных фигур. Может, ты искал эту статью, чтобы решить какую-то определенную задачу. А может ты просто изучал это в курсе геометрии 🙂

В любом случае, это полезно знать!

Теперь мы хотим услышать тебя! Расскажи нам в комментариях ниже, понравилась ли тебе статья и помогла ли она тебе?

А если у тебя есть вопросы, задай их там же! И мы обязательно тебе ответим.

Удачи!

{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>