Коротко о главном Начальный уровень

Площадь треугольника и четырехугольника. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018

Определение площади

Что такое площадь? Странный вопрос – не правда ли? В обычной жизни мы привыкли к тому, что у всяких плоских фигур (таких как поверхность стола, стула, пол наших квартир и т.д.) есть не только длина и ширина, но и какая-то еще характеристика, которую мы, не задумываясь, называем площадью. А теперь вот давай задумаемся: что же все-таки такое площадь?

Давай начнем с самого простого. За основу берется тот факт, что:

Площадь единичного квадрата Площадь квадрата со стороной, равной   единице длины, равна   единице площади.

Другими словами, площадь квадрата со стороной   метр мы считаем одним «метром площади».

площадь квадрата со стороной 1 Но писать все время «метр площади» и слишком длинно, и звучит как-то странно. И вот, математики придумали название «метр квадратный» и обозначение « »

Посмотри внимательно на картинку и убедись, что там действительно нарисован – «метр квадратный»! И запомни обозначение.

А вот теперь хитрый вопрос: а что такое  ? Площадь квадрата со стороной  ? А вот и нет!

Смотри: квадрат со стороной  .

площадь квадрата со стороной 2 Пересчитай-ка сколько в нем квадратных метров? Удивительно, но получается  !

А чтобы получить   квадратных метра (то есть,  ), мы должны нарисовать, например так:

Площадь 2 квадратных метра Видишь, здесь действительно нарисовано   квадратных метра?

А как получить, скажем,  ? Ну например так:

Да и вообще, если мы возьмем прямоугольник, у которого стороны равны   метров и   метров, то в этом прямоугольнике:

площадь произвольного прямоугольника

Поместится ровно   квадратных метров. Посмотри внимательно: у нас есть   «слоев», в каждом из которых ровно   квадратных метров.

Значит, всего в прямоугольнике размером  x  поместилось   квадратных метров. Вот это число, сколько квадратных метров поместилось в прямоугольнике, и есть его площадь.

А если фигура – вовсе не прямоугольник, а какая-то абракадабра?

Можно ли узнать, сколько квадратных метров в ней находится? Можно ведь некоторые квадратные метры «порезать» , переставить и т.д….?

Удивлю тебя – бывают такие ужасные абракадабры, для которых совершенно невозможно установить сколько там квадратных метров. Даже приблизительно! К сожалению нарисовать такие фигуры – невозможно.

Но они есть! Они похожи, например, на такую «расческу» с очень мелкими зубьями.

Но мы такими «расческами» орудовать не будем, а будем рассматривать нормальные фигуры.

И вот, для нормальных фигур можно интуитивно (то есть для себя) считать ,что площадь фигуры – это такое число, сколько в этой фигуре «поместится» квадратных единиц (метров, сантиметров и т.д.) Более строгое, «настоящее» определение площади смотри в следующих уровнях теории.

И представь себе, математики для многих фигур научились выражать площади через какие-то линейные (те, что можно измерить линейкой) элементы фигур. Эти выражения называются «формулы площади». Формул этих довольно много – математики долго старались. Ты постарайся запомнить сначала самые простые и основные формулы, а потом уже те, что посложнее.

Формулы площади

Квадрат

Площадь квадрата   - это просто, не правда ли?

Прямоугольник

Площадь прямоугольника   - это мы уже успели обсудить.

Прямоугольный треугольник

Площадь прямоугольного треугольника Прямоугольный треугольник - ровно половина прямоугольника. Поэтому:
 
 ,   – катеты.

Треугольник (произвольный)

Для треугольника есть сразу несколько формул площади.

Основная формула

Основная формула площади треугольника  
  – любая сторона,
  – высота к этой стороне.

Вторая основная формула

Вторая основная формула площади треугольника  
 ,   – любые две стороны,
  - угол между ними.

Третья формула

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности  
  - полупериметр,
  – радиус вписанной окружности.

Формула Герона

Формула Герона  
 , ,  - стороны,
  - полупериметр.

Какую же формулу выбрать для твоей задачки? Основными являются формулы 1 и 2. Третью формулу нужно применять, если тебе все дано: и три стороны, и радиус вписанной окружности. Но так ведь не бывает, верно? Поэтому формулу 3 мы используем, скорее наоборот, для нахождения радиуса вписанной окружности . Тогда нужно найти площадь по одной из формул 1, 2 или 4, а потом уже радиус:  .

Ну и формула 4 позволяет по  -м сторонам с помощью длиннющей арифметики находить площадь. И не ошибайся в арифметике, когда будешь применять формулу Герона!

Произвольный четырехугольник

Площадь произвольного четырехугольника  
  - диагонали
  - угол между ними

Для произвольного четырехугольника больше ничего нет, а вот для «хороших» четырехугольников – есть другие формулы.

Параллелограмм

Основная формула

основная формула площади параллелограмма  
  - любая сторона,
  - высота, опущенная на эту! cторону

Вторая формула

Вторая формула площади параллелограмма И, как для всякого четырехугольника:
 
  - диагонали,
  - угол между ними.

Ромб

У ромба диагонали перпендикулярны, поэтому основной для него становится  формула:

основная формула площади ромба   - и никакого   потому что  , и  
  - как всегда, диагонали

Вторая формула

А дополнительной формулой становится

вторая формула площади ромба  
  - сторона,
  - высота, опущенная на cторону.

Трапеция

Основная формула

Основная формула площади трапеции  
  - основания,
  - высота.

Вторая формула

вторая формула площади трапеции   - ведь трапеция – тоже четырехугольник.
  - диагонали,
  - угол между ними.

«Хитрые вопросы о площади»

Кроме задачек, в которых просят просто найти площадь, встречаются еще всякие вопросики. Ну вот например:

Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его сторону увеличить в три раза?

Давай ответим на этот вопрос двумя способами. Первый способ – формальный: используем формулу площади квадрата. Итак, было  , значит   - площадь увеличилась в   раз!

В случае с квадратами есть и второй способ «пощупать» и убедится напрямую в этом числе  .

Рисуем:

Видишь, в квадрате со стороной   уместилось ровно   квадратов со стороной  . Значит формулам действительно можно верить.

Если же у тебя не квадрат, то остается только подставлять новые значения в формулы – и не удивляйся, если вдруг числа получатся довольно большими.

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok