Площадь треугольника и четырехугольника. Примеры решения задач (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Определение площади

Что такое площадь? Странный вопрос – не правда ли? В обычной жизни мы привыкли к тому, что у всяких плоских фигур (таких как поверхность стола, стула, пол наших квартир и т.д.) есть не только длина и ширина, но и какая-то еще характеристика, которую мы, не задумываясь, называем площадью. А теперь вот давай задумаемся: что же все-таки такое площадь?

Давай начнем с самого простого. За основу берется тот факт, что:

Площадь единичного квадрата Площадь квадрата со стороной, равной   единице длины, равна   единице площади.

Другими словами, площадь квадрата со стороной   метр мы считаем одним «метром площади».

площадь квадрата со стороной 1 Но писать все время «метр площади» и слишком длинно, и звучит как-то странно. И вот, математики придумали название «метр квадратный» и обозначение « »

Посмотри внимательно на картинку и убедись, что там действительно нарисован – «метр квадратный»! И запомни обозначение.

А вот теперь хитрый вопрос: а что такое  ? Площадь квадрата со стороной  ? А вот и нет!

Смотри: квадрат со стороной  .

площадь квадрата со стороной 2 Пересчитай-ка сколько в нем квадратных метров? Удивительно, но получается  !

А чтобы получить   квадратных метра (то есть,  ), мы должны нарисовать, например так:

Площадь 2 квадратных метра Видишь, здесь действительно нарисовано   квадратных метра?

А как получить, скажем,  ? Ну например так:

Да и вообще, если мы возьмем прямоугольник, у которого стороны равны   метров и   метров, то в этом прямоугольнике:

площадь произвольного прямоугольника

Поместится ровно   квадратных метров. Посмотри внимательно: у нас есть   «слоев», в каждом из которых ровно   квадратных метров.

Значит, всего в прямоугольнике размером  x  поместилось   квадратных метров. Вот это число, сколько квадратных метров поместилось в прямоугольнике, и есть его площадь.

А если фигура – вовсе не прямоугольник, а какая-то абракадабра?

Можно ли узнать, сколько квадратных метров в ней находится? Можно ведь некоторые квадратные метры «порезать» , переставить и т.д….?

Удивлю тебя – бывают такие ужасные абракадабры, для которых совершенно невозможно установить сколько там квадратных метров. Даже приблизительно! К сожалению нарисовать такие фигуры – невозможно.

Но они есть! Они похожи, например, на такую «расческу» с очень мелкими зубьями.

Но мы такими «расческами» орудовать не будем, а будем рассматривать нормальные фигуры.

И вот, для нормальных фигур можно интуитивно (то есть для себя) считать ,что площадь фигуры – это такое число, сколько в этой фигуре «поместится» квадратных единиц (метров, сантиметров и т.д.) Более строгое, «настоящее» определение площади смотри в следующих уровнях теории.

И представь себе, математики для многих фигур научились выражать площади через какие-то линейные (те, что можно измерить линейкой) элементы фигур. Эти выражения называются «формулы площади». Формул этих довольно много – математики долго старались. Ты постарайся запомнить сначала самые простые и основные формулы, а потом уже те, что посложнее.

Формулы площади

Квадрат

Площадь квадрата   - это просто, не правда ли?

Прямоугольник

Площадь прямоугольника   - это мы уже успели обсудить.

Прямоугольный треугольник

Площадь прямоугольного треугольника Прямоугольный треугольник - ровно половина прямоугольника. Поэтому:
 
 ,   – катеты.

Треугольник (произвольный)

Для треугольника есть сразу несколько формул площади.

Основная формула

Основная формула площади треугольника  
  – любая сторона,
  – высота к этой стороне.

Вторая основная формула

Вторая основная формула площади треугольника  
 ,   – любые две стороны,
  - угол между ними.

Третья формула

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности  
  - полупериметр,
  – радиус вписанной окружности.

Формула Герона

Формула Герона  
 , ,  - стороны,
  - полупериметр.

Какую же формулу выбрать для твоей задачки? Основными являются формулы 1 и 2. Третью формулу нужно применять, если тебе все дано: и три стороны, и радиус вписанной окружности. Но так ведь не бывает, верно? Поэтому формулу 3 мы используем, скорее наоборот, для нахождения радиуса вписанной окружности . Тогда нужно найти площадь по одной из формул 1, 2 или 4, а потом уже радиус:  .

Ну и формула 4 позволяет по  -м сторонам с помощью длиннющей арифметики находить площадь. И не ошибайся в арифметике, когда будешь применять формулу Герона!

Произвольный четырехугольник

Площадь произвольного четырехугольника  
  - диагонали
  - угол между ними

Для произвольного четырехугольника больше ничего нет, а вот для «хороших» четырехугольников – есть другие формулы.

Параллелограмм

Основная формула

основная формула площади параллелограмма  
  - любая сторона,
  - высота, опущенная на эту! cторону

Вторая формула

Вторая формула площади параллелограмма И, как для всякого четырехугольника:
 
  - диагонали,
  - угол между ними.

Ромб

У ромба диагонали перпендикулярны, поэтому основной для него становится  формула:

основная формула площади ромба   - и никакого   потому что  , и  
  - как всегда, диагонали

Вторая формула

А дополнительной формулой становится

вторая формула площади ромба  
  - сторона,
  - высота, опущенная на cторону.

Трапеция

Основная формула

Основная формула площади трапеции  
  - основания,
  - высота.

Вторая формула

вторая формула площади трапеции   - ведь трапеция – тоже четырехугольник.
  - диагонали,
  - угол между ними.

«Хитрые вопросы о площади»

Кроме задачек, в которых просят просто найти площадь, встречаются еще всякие вопросики. Ну вот например:

Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его сторону увеличить в три раза?

Давай ответим на этот вопрос двумя способами. Первый способ – формальный: используем формулу площади квадрата. Итак, было  , значит   - площадь увеличилась в   раз!

В случае с квадратами есть и второй способ «пощупать» и убедится напрямую в этом числе  .

Рисуем:

Видишь, в квадрате со стороной   уместилось ровно   квадратов со стороной  . Значит формулам действительно можно верить.

Если же у тебя не квадрат, то остается только подставлять новые значения в формулы – и не удивляйся, если вдруг числа получатся довольно большими.

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

 

Прямоугольник

 

Прямоугольный треугольник

 

Треугольник (произвольный)

 

 

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для перехода в 10-й класс или поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Я рекомендую использовать для этих целей наш учебник "YouClever" (который ты сейчас читаешь) и решебник и программу подготовки "100gia".

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Добрый день!

Закрытые части учебника YouClever предназначены только для учеников YouClever.

Если вы хотите им стать, приобретите один из курсов здесь.

Или оставьте Email и я пришлю в качестве бесплатного бонуса доступ к разделу учебника «Базовые темы алгебры».

В дополнение к этому я создам вам аккаунт ученика на нашем сайте 100gia, где вы сможете бесплатно пройти пробный ОГЭ или ЕГЭ и воспользоваться другими бесплатными сервисами сайта 100gia.

Для справки: Раздел «Базовые темы алгебры» состоит из следующих 15 статьей:

  1. НОК и НОД, признаки делимости и методы группировки;
  2. Степень и ее свойства;
  3. 7 волшебных формул сокращенного умножения;
  4. 5 способов разложения многочлена на множители;
  5. Дроби. Рациональные числа. Операции с дробями;
  6. Все о десятичных дробях;
  7. Задачи на проценты. Как найти процент от числа;
  8. Преобразование выражений. Подробная теория;
  9. Сравнение чисел;
  10. Квадратный корень;
  11. Корень и его свойства. Подробная теория с примерами;
  12. Свойства логарифмов и примеры их решений;
  13. Замена переменных;
  14. Модуль числа;
  15. ОДЗ - область допустимых значений.

Все они станут доступными без ограничений после регистрации.

Оставьте Email и получите ваши бонусы!
Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть