Производная функции. Исчерпывающее руководство (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ

Представим себе прямую дорогу, проходящую по холмистой местности. То есть она идет то вверх, то вниз, но вправо или влево не поворачивает.

Если ось   направить вдоль дороги горизонтально, а   – вертикально, то линия дороги будет очень похожа на график какой-то непрерывной функции:

Производная рис. 1

Ось   – это некий уровень нулевой высоты, в жизни мы используем в качестве него уровень моря. Двигаясь вперед по такой дороге, мы также движемся вверх или вниз. 

Также мы можем сказать: при изменении аргумента (продвижение вдоль оси абсцисс) изменяется значение функции (движение вдоль оси ординат).

А теперь давай подумаем, как определить «крутизну» нашей дороги? Что это может быть за величина?

Очень просто: на сколько изменится высота при продвижении вперед на определенное расстояние.

Ведь на разных участках дороги, продвигаясь вперед (вдоль оси абсцисс) на один километр, мы поднимемся или опустимся на разное количество метров относительно уровня моря (вдоль оси ординат).

Продвижение вперед обозначим   (читается «дельта икс»).

Греческую букву   (дельта) в математике обычно используют как приставку, означающую «изменение».

То есть   – это изменение величины  ,   – изменение  ; тогда что такое  ? Правильно, изменение величины  .

Важно: выражение   – это единое целое, одна переменная. Никогда нельзя отрывать «дельту» от «икса» или любой другой буквы!

То есть, например,  .

Итак, мы продвинулись вперед, по горизонтали, на  . Если линию дороги мы сравниваем с графиком функции  , то как мы обозначим подъем? Конечно,  . То есть, при продвижении вперед на   мы поднимаемся выше на  .

Величину   посчитать легко: если в начале мы находились на высоте  , а после перемещения оказались на высоте  , то  . Если конечная точка оказалась ниже начальной,   будет отрицательной – это означает, что мы не поднимаемся, а спускаемся.

Производная рис. 2

Вернемся к «крутизне»: это величина, которая показывает, насколько сильно (круто) увеличивается высота при перемещении вперед на единицу расстояния:

 .

Предположим, что на каком-то участке пути при продвижении на   км дорога поднимается вверх на   км. Тогда крутизна в этом месте равна  .

А если дорога при продвижении на   м опустилась на  км?

Тогда крутизна равна  .

А теперь рассмотрим вершину какого-нибудь холма.

Если взять начало участка за полкилометра до вершины, а конец – через полкилометра после него, видно, что высота практически одинаковая.

Производная рис. 3

То есть, по нашей логике выходит, что крутизна здесь почти равна нулю, что явно не соответствует действительности.

Просто на расстоянии в   км может очень многое поменяться.

Нужно рассматривать более маленькие участки для более адекватной и точной оценки крутизны.

Например, если измерять изменение высоты при перемещении на один метр, результат будет намного точнее. Но и этой точности нам может быть недостаточно – ведь если посреди дороги стоит столб, мы его можем просто проскочить.

Какое расстояние тогда выберем? Сантиметр? Миллиметр?

Чем меньше, тем лучше!

В реальной жизни измерять расстояние с точностью до милиметра – более чем достаточно. Но математики всегда стремятся к совершенству.

Поэтому было придумано понятие бесконечно малого, то есть величина по модулю меньше любого числа, которое только можем назвать.

Например, ты скажешь: одна триллионная! Куда уж меньше?

А ты подели это число на   – и будет еще меньше. И так далее.

Если хотим написать, что величина   бесконечно мала, пишем так:   (читаем «икс стремится к нулю»).

Очень важно понимать, что это число не равно нулю! Но очень близко к нему. Это значит, что на него можно делить.

Понятие, противоположное бесконечно малому – бесконечно большое ( ).

Ты уже наверняка сnалкивался с ним, когда занимался неравенствами: это число по модулю больше любого числа, которое только можешь придумать.

Если ты придумал самое большое из возможных чисел, просто умножь его на два, и получится еще больше. А бесконечность еще больше того, что получится.

Фактически бесконечно большое и бесконечно малое обратны друг другу, то есть при  , и наоборот: при  .

Теперь вернемся к нашей дороге.

Идеально посчитанная крутизна – это куртизна, вычисленная для бесконечно малого отрезка пути, то есть:

 .

Замечу, что при бесконечно малом перемещении изменение высоты тоже будет бесконечно мало.

Но напомню, бесконечно малое – не значит равное нулю. Если поделить друг на друга бесконечно малые числа, может получиться вполне обычное число.

Например,  . То есть одна малая величина может быть ровно в   раза больше другой.

К чему все это?

Дорога, крутизна… Мы ведь не в автопробег отправляемся, а математику учим.

А в математике все точно так же, только называется по-другому.

Понятие производной

Производная функции это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.

Приращением в математике называют изменение.

То, насколько изменился аргумент ( ) при продвижении вдоль оси  , называется приращением аргумента и обозначается  

То, насколько изменилась функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси   на расстояние  , называется приращением функции и обозначается  .

Итак, производная функции   – это отношение   к   при  .

Обозначаем производную той же буквой, что и функцию, только со штрихом сверху справа:   или просто  .

Итак, запишем формулу производной, используя эти обозначения:

 

Как и в аналогии с доро́гой здесь при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.

А бывает ли производная равна нулю?

Конечно. Например, если мы едем по ровной горизонтальной дороге, крутизна равна нулю. И правда, высота ведь не совсем меняется. Так и с производной: производная постоянной функции (константы) равна нулю:

 ,

так как приращение такой функции равно нулю при любом  .

А еще?

Давай вспомним пример с вершиной холма. Там получалось, что можно так расположить концы отрезка по разные стороны от вершины, что высота на концах оказывается одинаковой, то есть отрезок располагается параллельно оси  :

Производная рис. 4

Но большие отрезки – признак неточного измерения. Будем поднимать наш отрезок вверх параллельно самому себе, тогда его длина будет уменьшаться.

Производная рис. 5

В конце концов, когда мы будем бесконечно близко к вершине, длина отрезка станет бесконечно малой.

Но при этом он остался параллелен оси  , то есть разность высот на его концах   равна нулю (не стремится, а именно равна).

Значит, производная

 .

Понять это можно так: когда мы стоим на самой вершине, меленькое смещение влево или вправо изменяет нашу высоту ничтожно мало.

Есть и чисто алгебраическое объяснение: левее вершины функция возрастает, а правее – убывает.

Как мы уже выяснили ранее, при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.

Но меняется она плавно, без скачков (т.к. дорога нигде не меняет наклон резко).

Поэтому между отрицательными и положительными значениями обязательно должен быть  . Он и будет там, где функция ни возрастает, ни убывает – в точке вершины.

То же самое справедливо и для впадины (область, где функция слева убывает, а справа – возрастает):

Производная рис. 6

Немного подробнее о приращениях.

Итак, мы меняем аргумент на величину  . Меняем от какого значения? Каким он (аргумент) теперь стал?

Можем выбрать любую точку, и сейчас будем от нее плясать.

Рассмотрим точку с координатой  . Значение функции в ней равно  .

Затем делаем то самое приращение: увеличиваем координату   на  .

Чему теперь равен аргумент?

Очень легко:  .

А чему теперь равно значение функции?

Куда аргумент, туда и функция:  .

А что с приращением функции?

Ничего нового: это по-прежнему величина, на которую изменилась функция:

 .

Потренируйся находить приращения:

  1. Найди приращение функции   в точке   при приращении аргумента, равном  .
  2. То же самое для функции   в точке  .

Решения:

  1.  
     
  2.  
     
     

В разных точках при одном и том же приращении аргумента приращение функции будет разным. Значит, и производная в каждой точке своя (это мы обсуждали в самом начале – крутизна дороги в разных точках разная). Поэтому когда пишем производную, надо указывать, в какой точке:

  (1)

 

«Ну ладно, ладно, уже давно понятно, что такое производная! Но как ее применить на практике? Давайте уже возьмем и вычислим какую-нибудь производную, в конце концов!» – скажешь ты. Щас все будет.

Вычисление производных

Начнем с простого.

Константа

Это мы уже обсуждали: если функция  , где   – некое постоянное число, то каким бы ни было приращение аргумента  , функция нисколько не изменяется:  .

А значит,

 

То есть, произвоная от константы равна нулю:

 .

Степенная функция

Степенной называют функцию, где аргумент в какой-то степени (логично, да?).

Причем – в любой степени:  .

Простейший случай – это когда показатель степени  :

a)  .

Найдем ее производную в точке  . Вспоминаем определение производной:

 

Итак, аргумент меняется с   до  . Каково приращение функции?

Приращение – это  . Но функция в любой точке равна своему аргументу. Поэтому:

 .

Производная равна:

 

Производная от   равна  :  

b) Теперь рассмотрим квадратичную функцию ( ):  .

 

 .

А теперь вспомним, что  . Это значит, что значением приращения можно пренебречь, так как оно бесконечно мало, и поэтому незначительно на фоне другого слагаемого:

 .

Итак, у нас родилось очередное правило:

 

c) Продолжаем логический ряд:  .

 

Это выражение можно упростить по-разному: раскрыть первую скобку по формуле сокращенного умножения куб суммы, или же разложить все выражение на множители по формуле разности кубов. Попробуй сделать это сам любым из предложенных способов.

Итак, у меня получилось следующее:

 

 .

И снова вспомним, что  . Это значит, что можно пренебречь всеми слагаемыми, содержащими  :

 .

Получаем:  .

d) Аналогичные правила можно получить и для больших степеней:

 

e) Оказывается, это правило можно обобщить для степенной функции с произвольным показателем, даже не целым:

  (2)

Можно сформулировать правило словами: «степень выносится вперед как коэффициент, а потом уменьшается на  ».

Докажем это правило позже (почти в самом конце). А сейчас рассмотрим несколько примеров. Найди производную функций:

  1.  ;
  2.   (двумя способами: по формуле и используя определение производной – посчитав приращение функции);
  3.  .

Решения:

  1.  . Не поверишь, но это степенная функция. Если у тебя возникли вопросы типа «Как это? А где же степень?», вспоминай тему «Степень и ее свойства»!
    Да-да, корень – это тоже степень, только дробная:  .
    Значит, наш квадратный корень – это всего лишь степень с показателем  :
     .
    Производную ищем по недавно выученной формуле:
     
    Если в этом месте снова стало непонятно, повторяй тему «Степень и ее свойства»!!! (про степень с отрицательным показателем)
  2.  . Теперь показатель степени  :
     
    А теперь через определение (не забыл еще?):
     ;
     .
    Теперь, как обычно, пренебрегаем слагаемым, содержащим  :
     .
  3.  . Комбинация предыдущих случаев:  .
     

Тригонометрические функции

Здесь будем использовать один факт из высшей математики:

При   выражение  .

Доказательство ты узнаешь на первом курсе института (а чтобы там оказаться, надо хорошо сдать ЕГЭ). Сейчас только покажу это графически:

Производная sinx/x

Видим, что при   функция не существует – точка на графике выколота. Но чем ближе   к значению  , тем ближе функция к  . Это и есть то самое «стремится».

Впредь будем считать, что при   это выражение равно  :  .

Дополнительно можешь проверить это правило с помощью калькулятора. Да-да, не стесняйся, бери калькулятор, мы ведь не на ЕГЭ еще.

Итак, пробуем:  ;

Не забудь перевести калькулятор в режим «Радианы»!

Попробуй теперь сам для   и так далее.

  и т.д. Видим, что чем меньше  , тем ближе значение отношения к  .

Убедился? Идем дальше.

a) Рассмотрим функцию  . Как обычно, найдем ее приращение:

 .

Превратим разность синусов в произведение. Для этого используем формулу (вспоминаем тему «Формулы тригонометрии»):  .

 

Теперь производная:

 

Сделаем замену:  . Тогда при бесконечно малом     также бесконечно мало:  . Выражение для   принимает вид:

 .

А теперь вспоминаем, что при   выражение  . А также, что если бесконечно малой величиной   можно пренебречь в сумме   (то есть   при  ).

 .

Итак, получаем следующее правило: производная синуса равна косинусу:

 

b) Теперь косинус:  . Здесь будем использовать формулу разности косинусов:  :

 .

 .

Значит, производная косинуса равна минус синусу:

 

Это базовые («табличные») производные. Вот они одним списком:

 

Позже мы к ним добавим еще несколько, но эти – самые важные, так как используются чаще всего.

Потренируйся:

  1. Найди производную функции   в точке  ;
  2. Найди производную функции   в точке  ;
  3. Найди производную функции  .

Решения:

  1. Сперва найдем производную в общем виде, а затем подставим вместо   его значение:
     ;
     .
  2. Тут у нас что-то похожее на степенную функцию. Попробуем привести ее к
    нормальному виду:
     .
    Отлично, теперь можно использовать формулу:
     .
     .
  3.  . Ээээээ….. Что это????

Ладно, ты прав, такие производные находить мы еще не умеем. Здесь у нас комбинация нескольких типов функций.

Чтобы работать с ними, нужно выучить еще несколько правил...

 

 

Экспонента и натуральный логарифм.

Есть в математике такая функция, производная которой при любом   равна значению самой функции при этом же  . Называется она «экспонента», и является показательной функцией

 .

Основание этой функции – константа   – это бесконечная десятичная дробь, то есть число иррациональное (такое как  ). Его называют «число Эйлера», поэтому и обозначают буквой  .

Итак, правило:

 

Запомнить очень легко.

Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:

 

В нашем случае основанием служит число  :

 

Такой логарифм (то есть логарифм с основанием  ) называется «натуральным», и для него используем особое обозначение  : вместо   пишем  .

Чему равен  ? Конечно же,  .

Производная от натурального логарифма тоже очень простая:

 

Примеры:

  1. Найди производную функции  .
  2. Чему равна производная функции  ?

Ответы: Экспонента и натуральный логарифм – функции уникально простые с точки зрения производной. Показательные и логарифмические функции с любым другим основанием будут иметь другую производную, которую мы с тобой разберем позже, после того как пройдем правила дифференцирования.

 

  1.  
  2.  

Правила дифференцирования

Правила чего? Опять новый термин, опять?!...

Дифференцирование – это процесс нахождения производной.

Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же... Дифференциалом математики называют то самое приращение функции   при  . Происходит этот термин от латинского differentia — разность. Вот.

При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например,   и  . Нам понадобятся также формулы их приращений:

 

Всего имеется 5 правил.

Константа выносится за знак производной.

Если   – какое-то постоянное число (константа), тогда.

 

Это правило употребляется чаще всех. Докажем его:

Пусть  , или проще  .

 .

 , ч.т.д.

Пример: Найдите производную функции   в точке  .

Решение:

Ты сперва сам попробуй решить, а потом посмотри решение.

Итак, константа здесь – это  , функция –  :

 

Производная суммы.

Производная суммы равна сумме производных:

 

Очевидно, это правило работает и для разности:  .

Докажем. Пусть  , или проще  .

 

 .

Примеры.

Найдите производные функций:

  1.   в точке  ;
  2.   в точке  ;
  3.   в точке  ;
  4.   в точке  .

Решения:

  1.   (производная одинакова во всех точках, так как это линейная функция, помнишь?);
  2.  
     ;
  3.  
     ;
  4.  
     .

Производная произведения

 

Хм, все сложнее и сложнее. Ну, давай разбираться.

Снова введем новую функцию:  , или проще  .

 .

Вспомним, о чем говорили в самом начале этого раздела:

 

Итак,

 

Производная:

 
 

Но при   приращение любой функции тоже бесконечно мало:  . Поэтому последним слагаемым в выражении для производной   можно пренебречь:

 , ч.т.д.

Примеры:

  1. Докажи правило 0 с помощью правила 2;
  2. Найди производную выражения  ;
     

     

  3. Найди производную функции  .

Решения:

  1.  , ч.т.д;
  2.  ;
  3.  
     .

Производная частного.

 

Здесь все аналогично: введем новую функцию   и найдем ее приращение:

 .

Производная:

 .

Примеры:

  1. Найдите производные функций  и  ;
  2. Найдите производную функции   в точке  .

Решения:

  1.        
  2.  

Производная показательной функции

Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).

Итак,  , где   – это какое-то число  .

Мы уже знаем производную функции  , поэтому давай попробуем привести нашу функцию   к новому основанию  :

Для этого воспользуемся простым правилом:  . Тогда:

 .

Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция – сложная.

Получилось?

Вот, проверь себя:

 

 

Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было  , так и осталось, появился только множитель  , который является просто числом, но не переменной.

Примеры:
Найди производные функций:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Ответы:

  1.  .

  – это просто число, которое невозможно посчитать без калькулятора, то есть никак не записать в более простом виде. Поэтому в ответе его в таком виде и оставляем.

  1.  .

  2. Заметим, что здесь частное двух функций, поэтому применим соответствующее правило дифференцирования:

     

  3. В этом примере произведение двух функций:

     

Производная логарифмической функции

Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:

 ,

Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например,  :

 ,

Нужно привести этот логарифм к основанию  . А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу:

 .

Только теперь вместо   будем писать  :

 ,

В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной  ). Производная получается очень просто:

 

 

Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.

Производная сложной функции.

Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».

Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.

Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат. Итак, нам дают число   (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось? Функция  . Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.

Другими словами, сложная функция – это функция, аргументом которой является другая функция:  .

Для нашего примера  ,  .

Тогда  .

Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь   в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа:  . Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется.

Второй пример:  (то же самое).  .

Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией, а действие, совершаемое первым – соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).

Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Ответы: Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции

  1. Первым будем выполнять какое действие? Сперва посчитаем синус, а только потом возведем в куб. Значит, внутренняя функция  , а внешняя  .
    А исходная функция является их композицией:  .
  2. Внутренняя:  ; внешняя: .
    Проверка: .
  3. Внутренняя:  ; внешняя:  .
    Проверка:  .
  4. Внутренняя:  ; внешняя:  .
    Проверка:  .
  5. Внутренняя:  ; внешняя:  .
    Проверка:  .

  производим замену переменных   и получаем функцию  .

Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку – искать производную. Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции. Применительно к исходному примеру это выглядит так:

 

Другой пример:

 

 .

Итак, сформулируем, наконец, официальное правило:

 

или проще:

 

Алгоритм нахождения производной сложной функции:

Алгоритм Пример: 
1.Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную. Внутренняя функция:  . 
2.Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную. Внешняя функция: . 
3. Умножаем результаты первого и второго пунктов.  .

Вроде бы всё просто, да?

Проверим на примерах:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  .
  6.  
  7.  

Решения:

1) Внутренняя:  ;

Внешняя:  ;

 .

2) Внутренняя:  ;

Внешняя:  

 .

(только не вздумай теперь сократить на  ! Из под косинуса ничего не выносится, помнишь?)

3) Внутренняя:  ;

Внешняя:  ;

 .

4)  .

Сразу видно, что здесь трёхуровневая сложная функция: ведь   – это уже сама по себе сложная функция, а из нее еще извлекаем корень, то есть выполняем третье действие (шоколадку в обертке и с ленточкой кладем в портфель). Но пугаться нет причин: все-равно «распаковывать» эту функцию будем в том же порядке, что и обычно: с конца.

То есть сперва продифференцируем корень, затем косинус, и только потом выражение в скобках. А потом все это перемножим.

В таких случаях удобно пронумеровать действия. То есть, представим, что нам известен  . В каком порядке будем совершать действия, чтобы вычислить значение этого выражения? Разберем на примере  :

1. Сначала – действие в скобках
Это будет функция  		  
2. Затем считаем косинус полученного числа
Это будет функция  		  
3. Ну и, наконец, вычисляем корень
Это будет функция  		  

Чем позже совершается действие, тем более «внешней» будет соответствующая функция. Последовательность действий – как и раньше:

 

5)  .

Здесь вложенность вообще 4-уровневая. Давай определим порядок действий.

1. Подкоренное выражение.  .

2. Корень.  .

3. Синус.  .

4. Квадрат.  .

5. Собираем все в кучу:

 

6.  ;

7.  .

 

Прямо сейчас рекомендую перейти к теме «Уравнение касательной к графику функции». Там ты разберешь геометрический смысл производной, что поспособствует лучшему ее пониманию.

ПРОИЗВОДНАЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Производная функции - отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента:

  при  

Базовые производные:

 

Правила дифференцирования:

Константа выносится за знак производной:  

Производная суммы:  

Производная произведения:  

Производная частного:  

Производная сложной функции:  

Алгоритм нахождения производной от сложной функции:

  1. Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную.
  2. Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную.
  3. Умножаем результаты первого и второго пунктов.

 

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене "чашка кофе в месяц", 

А также получить бессрочный доступ к учебнику "YouClever", Программе подготовки (решебнику) "100gia", неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

 

 

 

 

Комментарии

Сергей
17 октября 2017

Исправьте формулы. Часть формул не отображается(смотрел через Google chrome)

ответить

Александр (админ)
17 октября 2017

Сергей, очистите кэш, пожалуйста: Ctrl + F5. Должно помочь. Если не поможет дайте знать.

ответить

Стёпа
30 ноября 2017

Возникла такая же проблема. Обновил и всё в порядке. Правда, я через Яндекс.

ответить

Александр (админ)
30 ноября 2017

Да, Степа, можно просто обновить. Если не сработает, тогда Ctrl + F5

ответить

Нина
10 января 2018

Добрый день, есть ли у вас теория об интегралах на сайте?

ответить

Александр (админ)
11 января 2018

Добрый день, Нина. К сожалению пока нет.

ответить

Кирилл
20 января 2018

Огромное спасибо. Единственное, что в решении примера №2 из раздела "Производная частного" вместо -11x^2 должно быть -6x^2, следовательно, правильный ответ: 37/64.

ответить

Александр (admin)
22 января 2018

Кирилл и тебе спасибо. Особенно за внимательность, то, что находишь ошибки.

ответить

Сергей
15 февраля 2018

Спасибо, помогли повторить основы дифференцирования.

ответить

Александр (админ)
20 февраля 2018

Сергей, спасибо и тебе. Всегда приятно слышать!

ответить

qwer
09 июня 2018

У вас ошибка в коде.Это выводится на экран: $\Delta f=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)=\underbrace{{{\left( x+\Delta x \right)}^{3}}}_{f\left( x+\Delta x \right)}-\underbrace{{{x}^{3}}}_{f\left( x \right)}.$

ответить

Александр (админ)
10 июня 2018

Это не ошибка в коде, qwer. Нужно просто почистить кэш на вашем компьютере: Ctr +F5

ответить

Никита
20 июня 2018

Отличное объяснение. Спасибон.

ответить

Александр (админ)
20 июня 2018

Пожалуйста, Никита! И спасибо за теплые слова!

ответить

Валентин
22 июня 2018

Спасибо! А когда будет тема интегралов?

ответить

Виктория
01 января 2019

Все объяснено предельно просто и понятно. Огромное спасибо за Ваши труды!

ответить

Александр (админ)
02 января 2019

Спасибо, Виктория! Удачи на экзамене!

ответить

Стасик-таракан
25 февраля 2019

Есть довольно просто обьяснение производной без секущих и нагромождений формул. Довольно сложно будет объяснить вез визуального ряда, но попробую. Берем график y(x) =х, у можете опустить, ибо график будет соответствовать геометрической фигуре квадрата. Линия графика будет делить площадь две половины. Интеграл каждой половины = (x^2)/2. То есть треугольник = половина квадрата. Так вот производная - это отношение верхней площади к нижней, так как эти площади в этом случае равны, то и производна равна 1. Тоже самое можно продолжить и дальше: y(x^2) =х; То есть геометрически это уже будет кубом - х^3. Обьем верхней части графика относительно нижней = 2, что и равно производной. У меня эта тема есть в рисунках, могу дать, если нужно

ответить

Иванива
30 ноября 2019

Здравствуйте а можно более подробно ваше объяснение получить Производная как. Отношение площадей Заранее спасибо

ответить

Александр (админ)
25 февраля 2019

Спасибо, Стас. Интересное объяснение. Я всегда за то, чтобы сначала объяснять разными путями, лишь бы дошла суть. Потом можно добиться строгости формулировок и понятий... Шлите материал, попробуем разместить здесь.

ответить

Стасик-таракан
25 февраля 2019

Я отправил Вам сообщение, но первый раз случайно раньше, чем дописал, поэтому там будет еще второе ( уже дописанное)

ответить

Александр (админ)
25 февраля 2019

Все получил. Спасибо.

ответить

Ирина
25 апреля 2019

Спасибо за простоту и доходчивость. Решила помочь сыну подтянуть материал и по его лекциям не разобралась в теме, но когда прочла ваш материал, то сразу все легло по полочкам. Занимаюсь теперь с сыном. Спасибо.

ответить

Александр (админ)
25 апреля 2019

Пожалуйста, Ирина! Успехов вам и сыну в изучении математики!

ответить

Раха
02 августа 2019

Спасибо большое очень хороший сайт вы создали

ответить

Александр (админ)
02 августа 2019

Раха и вам спасибо! Удачи!

ответить

123
14 августа 2019

Там где разбирают сложные функции и ответ -2косХсинХ должно быть без двойки по формуле 2го угла синуса

ответить

Алексей Шевчук
14 августа 2019

Спасибо, готово.

ответить

Глеб Рождественский
01 декабря 2019

Круто, разобрался с нахождением производной по определению и производной сложной функции. Спасибо, хороший материал , лайк!

ответить

Александр (админ)
01 декабря 2019

Завидую, Глеб. В свое время не мог найти учебник и долго с производными возился.

ответить

Майнец
13 января 2020

супер

ответить

Александр (админ)
13 января 2020

Спасибо, Майнец!

ответить

Ученик
01 апреля 2020

"Высота ведь не совсем будет меняться" . Может высота ведь совсем не будет меняться?

ответить

Александр (админ)
01 апреля 2020

Да, слово "совсем" можно убрать

ответить

Билолиддин
09 апреля 2020

Спасибо вам за такой труд! Вы классно объяснили всю эту крутизну)

ответить

Александр (админ)
09 апреля 2020

Очень приятно слышать, Билолиддин!

ответить

Гость
18 мая 2020

Статья в начале понятная, дальше не понял и перестал читать

ответить

Александр (админ)
18 мая 2020

Попробуйте еще раз, Гость. Не спешите и не бросайте читать.

ответить

Алина
24 мая 2020

Скажите, а тема с интегралами на сайте будет?

ответить

Александр
24 мая 2020

В этом году не будет точно, Алина. На следущий год мы точно включим ее в наши вебинары. Вот здесь о них подробнее: https://youclever.org/sales-page-d/

ответить

2013-2019 © YouClever.org

Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

Создание сайта - FokGroup

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Привет!

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Если вы хотите им стать, пройдите по ссылке и ознакомьтесь с условиями.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть