Производная функции. Исчерпывающее руководство (2020)
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Представим себе прямую дорогу, проходящую по холмистой местности. То есть она идет то вверх, то вниз, но вправо или влево не поворачивает.
Если ось
Ось
Также мы можем сказать: при изменении аргумента (продвижение вдоль оси абсцисс) изменяется значение функции (движение вдоль оси ординат).
А теперь давай подумаем, как определить «крутизну» нашей дороги? Что это может быть за величина?
Очень просто: на сколько изменится высота при продвижении вперед на определенное расстояние.
Ведь на разных участках дороги, продвигаясь вперед (вдоль оси абсцисс) на один километр, мы поднимемся или опустимся на разное количество метров относительно уровня моря (вдоль оси ординат).
Продвижение вперед обозначим
Греческую букву
То есть
Важно: выражение
То есть, например,
Итак, мы продвинулись вперед, по горизонтали, на
Величину
Вернемся к «крутизне»: это величина, которая показывает, насколько сильно (круто) увеличивается высота при перемещении вперед на единицу расстояния:
Предположим, что на каком-то участке пути при продвижении на
А если дорога при продвижении на
Тогда крутизна равна
А теперь рассмотрим вершину какого-нибудь холма.
Если взять начало участка за полкилометра до вершины, а конец – через полкилометра после него, видно, что высота практически одинаковая.
То есть, по нашей логике выходит, что крутизна здесь почти равна нулю, что явно не соответствует действительности.
Просто на расстоянии в
Например, если измерять изменение высоты при перемещении на один метр, результат будет намного точнее. Но и этой точности нам может быть недостаточно – ведь если посреди дороги стоит столб, мы его можем просто проскочить.
Какое расстояние тогда выберем? Сантиметр? Миллиметр? Чем меньше, тем лучше!
В реальной жизни измерять расстояние с точностью до милиметра – более чем достаточно. Но математики всегда стремятся к совершенству.
Поэтому было придумано понятие бесконечно малого, то есть величина по модулю меньше любого числа, которое только можем назвать.
Например, ты скажешь: одна триллионная! Куда уж меньше?
А ты подели это число на
Если хотим написать, что величина
Очень важно понимать, что это число не равно нулю! Но очень близко к нему. Это значит, что на него можно делить.
Понятие, противоположное бесконечно малому – бесконечно большое (
Ты уже наверняка сnалкивался с ним, когда занимался неравенствами: это число по модулю больше любого числа, которое только можешь придумать.
Если ты придумал самое большое из возможных чисел, просто умножь его на два, и получится еще больше. А бесконечность еще больше того, что получится.
Фактически бесконечно большое и бесконечно малое обратны друг другу, то есть при
Теперь вернемся к нашей дороге.
Идеально посчитанная крутизна – это куртизна, вычисленная для бесконечно малого отрезка пути, то есть:
Замечу, что при бесконечно малом перемещении изменение высоты тоже будет бесконечно мало.
Но напомню, бесконечно малое – не значит равное нулю. Если поделить друг на друга бесконечно малые числа, может получиться вполне обычное число.
Например,
К чему все это?
Дорога, крутизна… Мы ведь не в автопробег отправляемся, а математику учим. А в математике все точно так же, только называется по-другому.
Понятие производной
Производная функции это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.
Приращением в математике называют изменение.
То, насколько изменился аргумент (
То, насколько изменилась функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси
Итак, производная функции
Обозначаем производную той же буквой, что и функцию, только со штрихом сверху справа:
Итак, запишем формулу производной, используя эти обозначения:
Как и в аналогии с доро́гой здесь при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.
А бывает ли производная равна нулю?
Конечно. Например, если мы едем по ровной горизонтальной дороге, крутизна равна нулю. И правда, высота ведь не совсем меняется. Так и с производной: производная постоянной функции (константы) равна нулю:
так как приращение такой функции равно нулю при любом
А еще?
Давай вспомним пример с вершиной холма. Там получалось, что можно так расположить концы отрезка по разные стороны от вершины, что высота на концах оказывается одинаковой, то есть отрезок располагается параллельно оси
Но большие отрезки – признак неточного измерения. Будем поднимать наш отрезок вверх параллельно самому себе, тогда его длина будет уменьшаться.
В конце концов, когда мы будем бесконечно близко к вершине, длина отрезка станет бесконечно малой.
Но при этом он остался параллелен оси
Значит, производная
Понять это можно так: когда мы стоим на самой вершине, меленькое смещение влево или вправо изменяет нашу высоту ничтожно мало.
Есть и чисто алгебраическое объяснение: левее вершины функция возрастает, а правее – убывает.
Как мы уже выяснили ранее, при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.
Но меняется она плавно, без скачков (т.к. дорога нигде не меняет наклон резко).
Поэтому между отрицательными и положительными значениями обязательно должен быть
То же самое справедливо и для впадины (область, где функция слева убывает, а справа – возрастает):
Немного подробнее о приращениях.
Итак, мы меняем аргумент на величину
Можем выбрать любую точку, и сейчас будем от нее плясать.
Рассмотрим точку с координатой
Затем делаем то самое приращение: увеличиваем координату
Чему теперь равен аргумент?
Очень легко:
А чему теперь равно значение функции?
Куда аргумент, туда и функция:
А что с приращением функции?
Ничего нового: это по-прежнему величина, на которую изменилась функция:
Потренируйся находить приращения:
- Найди приращение функции
- То же самое для функции
Решения:
В разных точках при одном и том же приращении аргумента приращение функции будет разным. Значит, и производная в каждой точке своя (это мы обсуждали в самом начале – крутизна дороги в разных точках разная). Поэтому когда пишем производную, надо указывать, в какой точке:
«Ну ладно, ладно, уже давно понятно, что такое производная! Но как ее применить на практике? Давайте уже возьмем и вычислим какую-нибудь производную, в конце концов!» – скажешь ты. Щас все будет.
Вычисление производных
Начнем с простого.
Константа.
Это мы уже обсуждали: если функция
То есть, произвоная от константы равна нулю:
Степенная функция.
Степенной называют функцию, где аргумент в какой-то степени (логично, да?).
Причем – в любой степени:
Простейший случай – это когда показатель степени
a)
Найдем ее производную в точке
Итак, аргумент меняется с
Приращение – это
Производная равна:
Производная от
b) Теперь рассмотрим квадратичную функцию (
А теперь вспомним, что
Итак, у нас родилось очередное правило:
c) Продолжаем логический ряд:
Это выражение можно упростить по-разному: раскрыть первую скобку по формуле сокращенного умножения куб суммы, или же разложить все выражение на множители по формуле разности кубов. Попробуй сделать это сам любым из предложенных способов.
Итак, у меня получилось следующее:
И снова вспомним, что
Получаем:
d) Аналогичные правила можно получить и для больших степеней:
e) Оказывается, это правило можно обобщить для степенной функции с произвольным показателем, даже не целым:
Можно сформулировать правило словами: «степень выносится вперед как коэффициент, а потом уменьшается на
Докажем это правило позже (почти в самом конце). А сейчас рассмотрим несколько примеров. Найди производную функций:
Решения:
Да-да, корень – это тоже степень, только дробная:
Значит, наш квадратный корень – это всего лишь степень с показателем
Производную ищем по недавно выученной формуле:
Если в этом месте снова стало непонятно, повторяй тему «Степень и ее свойства»!!! (про степень с отрицательным показателем)
А теперь через определение (не забыл еще?):
Теперь, как обычно, пренебрегаем слагаемым, содержащим
Тригонометрические функции.
Здесь будем использовать один факт из высшей математики:
При
Доказательство ты узнаешь на первом курсе института (а чтобы там оказаться, надо хорошо сдать ЕГЭ). Сейчас только покажу это графически:
Видим, что при
Впредь будем считать, что при
Дополнительно можешь проверить это правило с помощью калькулятора. Да-да, не стесняйся, бери калькулятор, мы ведь не на ЕГЭ еще.
Итак, пробуем:
Не забудь перевести калькулятор в режим «Радианы»!
Попробуй теперь сам для
Убедился? Идем дальше.
a) Рассмотрим функцию
Превратим разность синусов в произведение. Для этого используем формулу (вспоминаем тему «Формулы тригонометрии»):
Теперь производная:
Сделаем замену:
А теперь вспоминаем, что при
Итак, получаем следующее правило: производная синуса равна косинусу:
b) Теперь косинус:
Значит, производная косинуса равна минус синусу:
Это базовые («табличные») производные. Вот они одним списком:
Позже мы к ним добавим еще несколько, но эти – самые важные, так как используются чаще всего.
Потренируйся:
- Найди производную функции
- Найди производную функции
- Найди производную функции
Решения:
- Сперва найдем производную в общем виде, а затем подставим вместо
- Тут у нас что-то похожее на степенную функцию. Попробуем привести ее к
нормальному виду:
Отлично, теперь можно использовать формулу:
Ладно, ты прав, такие производные находить мы еще не умеем. Здесь у нас комбинация нескольких типов функций. Чтобы работать с ними, нужно выучить еще несколько правил:
Экспонента и натуральный логарифм.
Есть в математике такая функция, производная которой при любом
Основание этой функции – константа
Итак, правило:
Запомнить очень легко.
Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:
В нашем случае основанием служит число
Такой логарифм (то есть логарифм с основанием
Чему равен
Производная от натурального логарифма тоже очень простая:
Примеры:
- Найди производную функции
- Чему равна производная функции
Ответы: Экспонента и натуральный логарифм – функции уникально простые с точки зрения производной. Показательные и логарифмические функции с любым другим основанием будут иметь другую производную, которую мы с тобой разберем позже, после того как пройдем правила дифференцирования.
Правила дифференцирования
Правила чего? Опять новый термин, опять?!...
Дифференцирование – это процесс нахождения производной.
Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же... Дифференциалом математики называют то самое приращение функции
При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например,
Всего имеется 5 правил.
Константа выносится за знак производной.
Если
Это правило употребляется чаще всех. Докажем его:
Пусть
Пример: Найдите производную функции
Решение:
Ты сперва сам попробуй решить, а потом посмотри решение.
Итак, константа здесь – это
Производная суммы.
Производная суммы равна сумме производных:
Очевидно, это правило работает и для разности:
Докажем. Пусть
Примеры.
Найдите производные функций:
Решения:
Производная произведения
Хм, все сложнее и сложнее. Ну, давай разбираться.
Снова введем новую функцию:
Вспомним, о чем говорили в самом начале этого раздела:
Итак,
Производная:
Но при
Примеры:
- Докажи правило 0 с помощью правила 2;
- Найди производную выражения
- Найди производную функции
Решения:
Производная частного.
Здесь все аналогично: введем новую функцию
Производная:
Примеры:
- Найдите производные функций
- Найдите производную функции
Решения:
Производная показательной функции
Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).
Итак,
Мы уже знаем производную функции
Для этого воспользуемся простым правилом:
Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция – сложная.
Получилось?
Вот, проверь себя:
Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было
Примеры:
Найди производные функций:
Ответы:
-
Заметим, что здесь частное двух функций, поэтому применим соответствующее правило дифференцирования:
-
В этом примере произведение двух функций:
Производная логарифмической функции
Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:
Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например,
Нужно привести этот логарифм к основанию
Только теперь вместо
В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной
Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.
Производная сложной функции.
Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».
Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.
Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат. Итак, нам дают число
Другими словами, сложная функция – это функция, аргументом которой является другая функция:
Для нашего примера
Тогда
Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь
Второй пример:
Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией, а действие, совершаемое первым – соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).
Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:
Ответы:Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции
- Первым будем выполнять какое действие? Сперва посчитаем синус, а только потом возведем в куб. Значит, внутренняя функция
А исходная функция является их композицией: - Внутренняя:
Проверка: - Внутренняя:
Проверка: - Внутренняя:
Проверка: - Внутренняя:
Проверка:
Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку – искать производную. Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции. Применительно к исходному примеру это выглядит так:
Другой пример:
Итак, сформулируем, наконец, официальное правило:
или проще:
Алгоритм нахождения производной сложной функции:
Алгоритм | Пример: |
1.Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную. | Внутренняя функция: |
2.Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную. | Внешняя функция: |
3. Умножаем результаты первого и второго пунктов. |
Вроде бы всё просто, да?
Проверим на примерах:
Решения:
1) Внутренняя:
Внешняя:
2) Внутренняя:
Внешняя:
(только не вздумай теперь сократить на
3) Внутренняя:
Внешняя:
4)
Сразу видно, что здесь трёхуровневая сложная функция: ведь
То есть сперва продифференцируем корень, затем косинус, и только потом выражение в скобках. А потом все это перемножим.
В таких случаях удобно пронумеровать действия. То есть, представим, что нам известен
1. Сначала – действие в скобках Это будет функция |
|
2. Затем считаем косинус полученного числа Это будет функция |
|
3. Ну и, наконец, вычисляем корень Это будет функция |
Чем позже совершается действие, тем более «внешней» будет соответствующая функция. Последовательность действий – как и раньше:
5)
Здесь вложенность вообще 4-уровневая. Давай определим порядок действий.
1. Подкоренное выражение.
2. Корень.
3. Синус.
4. Квадрат.
5. Собираем все в кучу:
6.
7.
Прямо сейчас рекомендую перейти к теме «Уравнение касательной к графику функции». Там ты разберешь геометрический смысл производной, что поспособствует лучшему ее пониманию.
ПРОИЗВОДНАЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Производная функции - отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента:
Базовые производные:
Правила дифференцирования:
Константа выносится за знак производной:
Производная суммы:
Производная произведения:
Производная частного:
Производная сложной функции:
Алгоритм нахождения производной от сложной функции:
- Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную.
- Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную.
- Умножаем результаты первого и второго пунктов.
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER
Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:
ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!
Комментарии
Сергей, очистите кэш, пожалуйста: Ctrl + F5. Должно помочь. Если не поможет дайте знать.
Возникла такая же проблема. Обновил и всё в порядке. Правда, я через Яндекс.
Да, Степа, можно просто обновить. Если не сработает, тогда Ctrl + F5
Огромное спасибо. Единственное, что в решении примера №2 из раздела "Производная частного" вместо -11x^2 должно быть -6x^2, следовательно, правильный ответ: 37/64.
Кирилл и тебе спасибо. Особенно за внимательность, то, что находишь ошибки.
У вас ошибка в коде.Это выводится на экран: $\Delta f=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)=\underbrace{{{\left( x+\Delta x \right)}^{3}}}_{f\left( x+\Delta x \right)}-\underbrace{{{x}^{3}}}_{f\left( x \right)}.$
Это не ошибка в коде, qwer. Нужно просто почистить кэш на вашем компьютере: Ctr +F5
Все объяснено предельно просто и понятно. Огромное спасибо за Ваши труды!
Есть довольно просто обьяснение производной без секущих и нагромождений формул. Довольно сложно будет объяснить вез визуального ряда, но попробую. Берем график y(x) =х, у можете опустить, ибо график будет соответствовать геометрической фигуре квадрата. Линия графика будет делить площадь две половины. Интеграл каждой половины = (x^2)/2. То есть треугольник = половина квадрата. Так вот производная - это отношение верхней площади к нижней, так как эти площади в этом случае равны, то и производна равна 1. Тоже самое можно продолжить и дальше: y(x^2) =х; То есть геометрически это уже будет кубом - х^3. Обьем верхней части графика относительно нижней = 2, что и равно производной. У меня эта тема есть в рисунках, могу дать, если нужно
Здравствуйте а можно более подробно ваше объяснение получить Производная как. Отношение площадей Заранее спасибо
Спасибо, Стас. Интересное объяснение. Я всегда за то, чтобы сначала объяснять разными путями, лишь бы дошла суть. Потом можно добиться строгости формулировок и понятий... Шлите материал, попробуем разместить здесь.
Я отправил Вам сообщение, но первый раз случайно раньше, чем дописал, поэтому там будет еще второе ( уже дописанное)
Спасибо за простоту и доходчивость. Решила помочь сыну подтянуть материал и по его лекциям не разобралась в теме, но когда прочла ваш материал, то сразу все легло по полочкам. Занимаюсь теперь с сыном. Спасибо.
Пожалуйста, Ирина! Успехов вам и сыну в изучении математики!
Там где разбирают сложные функции и ответ -2косХсинХ должно быть без двойки по формуле 2го угла синуса
Под формулой производной показательной функции ( в рамке), опечатка: множитель не na, a lna
Круто, разобрался с нахождением производной по определению и производной сложной функции. Спасибо, хороший материал , лайк!
Завидую, Глеб. В свое время не мог найти учебник и долго с производными возился.
Исправьте формулы. Часть формул не отображается(смотрел через Google chrome)
ответить