Формулы тригонометрии. Начальный уровень.

Основные формулы:

  • Основное тригонометрическое тождество (нужно его помнить, даже если тебя разбудили среди ночи и спросили!)
     
  • Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса)
     
  • Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса)
     
  • Синус суммы и разности:
     
  • Косинус суммы и разности:
     
  • Тангенс суммы и разности:
     

Формулы понижения степени:

Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Формулы преобразования суммы функций

Данная группа формул позволяет преобразовать произведение в сумму и сумму в произведение.

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Формулы преобразования произведений функций

  •  
  •  
  •  

Привет!

Сегодня мы с тобой разберем ряд полезных формул тригонометрии, которые без труда позволят тебе решать большинство задачек на тригонометрию в части B в ЕГЭ.

Эти задачки будут в основном связаны с упрощением некоторых изначально “страшных” выражений до милого и приятного вида, для того, чтобы потом ты мог вычислить значение выражения в некоторой заданной точке.

Конечно, ты можешь возразить мне, что можно и без всякого упрощения все посчитать. Ну что мне сказать, можно!

Я бы с удовольствием посмотрел на тебя, как ты посчитаешь значение, скажем выражения:

 

при  . Не думаю, что у тебя выйдет что-то путное за вменяемое время, ты уж меня извини. Тут тебя может спасти только знание формул тригонометрии. Так что к их изучению мы и приступим.

Как ты уже понял, тригонометрические выражения – это выражения, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций. Стоп! Вот прямо здесь мы и остановимся! Я задам тебе вопрос: какие тригонометрические функции ты знаешь? Верно! Их всего четыре!

  1. Синус  
  2. Косинус  
  3. Тангенс  
  4. Котангенс  

Хотя, положа руку на сердце, я скажу тебе, что знание последней не так уж и обязательно (хотя желательно!), поскольку она легко выражается через тангенс.

Да и сам тангенс, по сути – тоже лишь тригонометрическое выражение, зависящее от синуса и косинуса.

Таким образом, у нас есть две основные тригонометрические функции – синус и косинус и две «второстепенные» - тангенс и котангенс.

Я не буду сейчас определять, что такое синус и косинус, ты и так это уже знаешь из предыдущих разделов. Я лишь скажу пару слов про важность этих понятий.

Итак, пара слов: первые зачатки тригонометрии возникли более 3 тысяч лет назад. Я думаю, что тебе очевидно, что тогда люди не занимались «формулами ради формул».

Так что тригонометрические функции имеют полезные практические свойства. Я не буду их перечислять. Если тебе интересно, ты всегда можешь найти море информации в интернете. Сейчас я приведу тебе некоторые основные соотношения между тригонометрическими величинами, которые оказываются полезными при решении задач.

Формулы тригонометрии (основа)

  1. Основное тригонометрическое тождество (нужно его помнить, даже если тебя разбудили среди ночи и спросили!)
     
  2. Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса)
     
  3. Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса)
     
  4. Первое следствие формулы 1:
     
  5. Второе следствие формулы 1:
     
  6. Третье следствие формулы 1:
     
  7. Четвертое следствие формулы 1:
     

Уже получилось 7 формул! К сожалению, это еще далеко не предел. Совсем не предел.

Тем не менее последние 4 формулы есть ни что иное, как простое следствие первой. В самом деле, ты заметил, почему это так?

Формула 4 получается делением обеих частей формулы 1 на   и применением формулы 2.

Формула 5 получается аналогично: разделим обе части формулы 1 на   и вместо выражения   запишем  , исходя из определения 3. Формулы 1 – 5 мы трактуем вполне однозначно. Чего нельзя сказать про формулы 6 и 7.

В чем «фишка» формул 6 и 7? Их особенность заключается в знаке  , который стоит перед корнем.

Как это понимать? А понимать надо так: в некоторых случаях мы ставим плюс, а в некоторых – минус. Теперь у тебя должен возникнуть вопрос: в каких-таких «некоторых случаях»? Туманность этой формулировки снимается следующим правилом:

  • Если в формуле

     

    Угол   таков, что  , то ставим знак «минус», иначе – «плюс».

  • Если в формуле

     

    Угол   таков, что  , то ставим знак «минус», иначе – «плюс».

Есть опять некий «запутанный» момент в правиле, не так ли? В чем осталось разобраться?

Осталось понять, как связан угол со знаком тригонометрической функции. Ответом на этот вопрос (если ты, конечно, забыл) служат следующие картинки:

Они подскажут тебе, какой нужно выбирать знак для той или иной функции, так что ты не допустишь досадной ошибки.

К тому же это избавит тебя от мучительных размышлений по поводу того «а зачем в этом примере нужен этот угол?!».

Тебе не кажется, что пришла пора мне уже перейти от теории к некоторой практике? Давай начнем!

  1. Най­ди­те  , если   и  .
  2. Най­ди­те  , если   и  .
  3. Най­ди­те   если   и  .
  4. Най­ди­те  , если   и  .

Ну что же, давай разбираться:

1. Так как  , то подставим сюда значение , тогда  

 

Теперь дело за малым: разобраться со знаком. Что нам для этого нужно? Знать, в какой четверти находится наш угол.

По условию задачи: . Смотри на картинку. Какая это четверть? Четвертая.

Каков знак косинуса в четвертой четверти? На картинке стоит знак «плюс», значит косинус в четвертой четверти положительный.

Тогда нам остается выбрать знак «плюс» перед  .  , тогда  .

Ответ:  .

Ну вот видишь, ничего сложного. Абсолютно ничего. Нужно лишь запомнить знаки синуса, косинуса и тангенса (котангенса) по четвертям. Ну а как это делать автоматически описано в статье, посвященной тригонометрической окружности.

Давай разберем оставшиеся примеры.

2. Так как  , то все, что нам нужно – это подставить   в нашу формулу. Что мы с тобой и сделаем:

 .

Опять нужно определиться со знаком. Смотрим на рисунок. Четверть – снова четвертая. Знак синуса четвертой четверти – отрицательный. Ставим знак «минус».  , тогда  .

Ответ:  .

3. Ничего нового. Скорее для закрепления. Снова подставляем в формулу   значение  :

 .

Смотрим на знак косинуса при  . Какая это четверть? Вторая. Косинус второй четверти отрицательный. Тогда выбираем знак «минус».

Ответ:  .

4. Здесь перед нами стоит задачка чуть сложнее. Однако, не стоит огорчаться. Давай вспомним, что такое тангенс. Это ведь отношение синуса к косинусу. Синус нам уже дан.

Давай вначале найдем косинус. Как это сделать, ты уже знаешь.  .

Так как   (это угол в третьей четверти, а косинус в третьей четверти имеет знак «минус»), то  .

Теперь все, что нам осталось, это воспользоваться определением тангенса:

 

Ответ:  .

Уф, выдохнули! Ну вот мы с тобой решили некоторые (довольно типичные и распространенные) примеры. Ты спросишь: «и что, это все?». Я отвечу, увы нет. Это далеко не все.

Далее нам потребуются более сложные формулы тригонометрии.

Формулы тригонометрии – 2 (более сложные).

  1. Синус суммы и разности:
     
  2. Косинус суммы и разности:
     
  3. Тангенс суммы и разности:
     
  4. Синус двойного угла (следствие формулы 1)
     
  5. Косинус двойного угла (следствие формулы 2)
     
     
  6. Тангенс двойного угла:
     

Как распознать, что тебе требуются именно эти, а не какие-нибудь другие формулы?

Очень просто: если ты видишь косинус, синус, тангенс от суммы двух углов или двойных углов, то это должно служить тебе индикатором – мне нужно применить одну из формул для суммы/разности или для двойного угла.

Звучит несколько путано? Давай посмотрим на примеры. Заодно я дам еще ряд важных комментариев.

1.  

2.  

3.  

4. Най­ди­те  , если  

5. Най­ди­те  , если  

6. Най­ди­те  , если   и  .

7. Най­ди­те  , если  .

8. Най­ди­те  , если  

9. Най­ди­те  , если  .

Список этих заданий можно продолжать бесконечно… Но я выбрал здесь а) не самые сложные формулы б) не самые «страшные» углы. Страшные углы я припас нам напоследок.

А пока что давай решать эти примеры.

Кстати, здесь тебе понадобится знание также тех формул, которые я привел в самом начале. Поехали!

 

1.  

Ни ты, ни я не знаем, чему в точности равен синус или косинус   градусов, и чему равен синус   градусов. Но что мы должны заметить? Верно!  . Значит, снизу записан синус двойного угла! Тогда применим формулу синуса двойного угла:

 

Подставим это значение в знаменатель нашей дроби и сократим!

 .

 

Ответ:  .

Ну вот, ничего страшного не случилось? Пример решился в одну строчку с применением одной единственной формулы. Другое дело, иногда не совсем очевидно, какую из формул применять. Тут тебе нужен опыт. Нужно, как говорится, «набить руку» на таких примерах.

 

2.  

 

Опять-таки, сразу можно заметить, что  .   градуса стоит в косинусе. Это говорит о том, что в примере спрятан косинус двойного угла. Вспомним его определение:

 

Что же у нас есть в числителе? А там все наоборот: синус в квадрате вычитается из косинуса в квадрате. Тогда в числителе у нас написана формула чего? Да все того же косинуса двойного угла, только «наоборот», со знаком «минус»!

 

 .

Тогда получим:

 .

 

 

Ответ:  .

 

3.  

Здесь нет ничего сложного, абсолютно ничего! Но есть одно «но!».

Это «но» заключается в том, что тебе нужно помнить таблицу значений тригонометрических функций для углов хотя бы первой четверти! Я сейчас нарисую здесь эту таблицу, а потом объясню тебе, как сделать ее запоминание проще:

Или ее расширенный вариант для всех «основных углов»:

Я ни в коей мере не настаиваю (и даже не надеюсь), что ты выучишь вторую таблицу. Сказать по-правде, я и сам ее не знаю.

Но первую таблицу знать совершенно необходимо. Не всегда на экзамене у тебя будет время, чтобы вывести самостоятельно, скажем, синус   градусов.

Для того, чтобы запомнить первую таблицу можно поступить так:

Запомнить всего 5 значений для, скажем, синуса. Затем тебе не составит труда заметить, что для косинуса все значения идут «наоборот»:

  • Например, синус   градусов равен нулю значит, косинус   градусов - наоборот единица.
  • Синус   градусов равен единице, значит косинус   градусов равен нулю.
  • Синус   градусов равен  , значит косинус   градусов равен   и т. д.

Тангенс можно получить, разделив синус угла на косинус. Как же всегда вывести большую таблицу, зная малую, я тебе непременно расскажу чуть позднее.

 

Но давай вернемся к нашему примеру и посмотрим в таблицу:

 ,  . Подставим эти значения в нашу формулу:

 .

Ответ:  

Вот видишь, знание первой таблицы совершенно необходимо! Без нее – вообще нет никакой тригонометрии. Так что, пожалуйста, будь добр, выучи.

Это не потребует от тебя значительных усилий и избавит от массы глупых ошибок в будущем. Еще раз специально скажу: большую таблицу учить не надо!!!

 

4. По условию  , нам же надо найти  . Что тогда надо сделать?

Верно, наша цель – выразить косинус двойного угла через угол «одинарный». Есть ли такая формула? Конечно, есть! Вот она:

 

 

Тогда  

 

 

 

Ответ:  

5.   - это то, что надо вычислить, а   - это то, что есть.

Ну что же, надо отталкиваться от того, что есть. Вроде бы этого должно быть достаточно. Здесь все опять несложно!

 

Нужно лишь заметить, что  . Давай это и подставим в числитель исходной дроби. Что же мы имеем?

О чудо: косинусы сократились, а чему равен   мы знаем из условия!

 

 

 

Ответ:  .

 

6.  - то, что нужно найти, а   и   - то, что мы имеем.

На самом деле здесь можно поступать двояко. Но о втором способе я скажу тебе чуть позже. А пока давай подумаем, что нужно найти.

А найти нужно по сути косинус от суммы двух углов. Причем один из них известен. Давай не будем долго думать и разложим косинус суммы на произведение:

 

 

Вспомни единичную окружность (ну или на худой конец посмотри в расширенную таблицу). Косинус углов:   равен нулю! Тогда  , а синусы:   равны при этом   и   соответственно. Тогда  . Окончательно получим:

 

Но вот незадача: синус-то нам не дан! Вместо него мы знаем, что   и  . Как по этим данным найти неизвестный синус – ты уже знаешь! Мы в самом начале решали такие задачки. Так что результат будет таков:

 .

Снова нужно определиться со знаком: . Это значит, что четверть четвертая, а синус в четвертой четверти имеет знак «минус». Тогда  , что значит, что  .

 

 

Ответ:  .

7. Нужно найти:  , а дано:  .

Тут все можно сделать только зная, что такое тангенс и основное тригонометрическое тождество. По-порядку:

 

 ,
 

Тогда решить задачу можно вот как: найти по-отдельности значения синуса в квадрате и косинуса в квадрате, а затем при помощи полученных значений найти тангенс. Так мы с тобой и сделаем:

Вначале найдем синус в квадрате.

Так как  , то

 

 

 

 

 

Тогда из  , получим, что  

Наконец, найдем тангенс:

 

 

 

Ответ:  

 

8. Надо найти  , зная, что  . На какую мысль тебя это должно было натолкнуть?

А на ту, что если нам дан тангенс, то и наше выражение нужно привести к такому виду, чтобы оно зависело от тангенсов, которые мы потом в него и подставим. Напомню тебе, что

 

 

У меня же в выражении есть просто косинусы и синусы. Что нам нужно сделать? Давай возьмем и «насильно» разделим числитель и знаменатель дроби на  . Это поможет мне «выделить» тангенс в чистом виде:

 .

Конечно, есть одна неприятность: у нас появились дроби с косинусами. Но есть надежда, что мы с ними справимся! А пока что давай подставим вместо   его числовое значение  . Тогда получим:

 

Ну вот! Косинусы сократятся и мы получим ответ:  .

 

 

Ответ:  .

 

9. Нужно найти , если дано  .

Давай опять проанализируем, что нам нужно вычислить: искомая формула состоит из разности косинуса от суммы двух углов и синуса от суммы двух углов.

Давай упрощать: раскроем каждую из сумм (опять-таки повторюсь, что далее я опишу способ, который позволит обходиться без раскрытия такого рода сумм):

 

 

Опять-таки, тебе должно быть известно, что  .

Если тебе это неизвестно, то настоятельно рекомендую тебе повторить тему тригонометрическая окружность.

Тогда моя формула примет вид:

 

Теперь с синусом:

 .

Снова, грамотные люди, такие как ты, вспоминают окружность (или, на худой конец, таблицу):  , тогда

 

Нам осталось подставить найденные значения в исходную формулу:

 

 

 

Ответ:  .

 

Формулы приведения

Теперь мы знаем уже почти что все. Осталось совсем немного. Последнее, на что я хочу обратить внимание, это обещанный мною метод «легкого» перехода от большой таблицы значений углов к маленькой.

Этот переход обеспечивают так называемые формулы приведения. Еще раз поясню, зачем они используются: ты будешь их применять в том случае, когда тебе нужно найти синус, косинус или тангенс угла, большего чем   градусов.

Например, найти синус угла   градусов.

Здесь мы поступаем следующим образом. Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

  1. Синус и косинус имеют период   (  градусов), то есть

     
     

    Тангенс (котангенс) имеют период   (  градусов)

     
     
      – любое целое число

  2. Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

     
     
     

Теперь непосредственно сам алгоритм:

  1. Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул (2). Например:

     

  2. Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды:   (по   градусов), а для тангенса – "половинки"   (  градусов). Например:

       

  3. Если оставшийся «уголок» меньше   градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице»
  4. Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол  : это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!
  5. Представляем угол   в одной из следующих форм

      (если во второй четверти)
      (если во второй четверти)
      (если в третьей четверти)
      (если в третьей четверти)
      (если в четвертой четверти)
      (если в четвертой четверти)

    так, чтобы оставшийся угол   был больше нуля и меньше   градусов. Например:

     
     
     
     
     
    ...

    В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

  6. Теперь смотрим, что у нас получилось: если ты выбрал запись через   или   градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь   или   и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла. Если же ты выбрал запись через   или   градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс – на тангенс.
  7. Ставим перед получившимся выражением знак из пункта 4.

Давай продемонстрируем все вышесказанное на примерах:

  1. Вычислить  
  2. Вычислить  
  3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:  

Начнем по порядку:

1. Действуем согласно нашему алгоритму. Выделяем целое число кругов для  :

 

В общем, делаем вывод, что в угол   помещается целиком 5 раз по  , а сколько осталось? Осталось  . Тогда

 

Ну вот, лишнее мы отбросили. Теперь разбираемся со знаком.

 

  лежит в 4 четверти. Синус четвертой четверти имеет знак «минус», его я и не должен забыть поставить в ответе. Далее, представляем   согласно одной из двух формул пункта 5 правил приведения. Я выберу:  

 

Теперь смотрим, что получилось: у нас случай с   градусами, тогда отбрасываем   и синус меняем на косинус. И ставим перед ним знак «минус»!

 

  градусов – угол в первой четверти. Мы знаем (ты мне обещал выучить малую таблицу!!) его значение:

 

Тогда получим окончательный ответ:

 

 

 

Ответ:  

  все то же самое, но вместо градусов – радианы. Ничего страшного. Главное помнить, что

 

 

Но можно и не заменять радианы на градусы. Это вопрос твоего вкуса. Я не буду ничего менять. Начну опять-таки с отбрасывания целых кругов:

 

Отбрасываем   - это два целых круга. Осталось вычислить  . Данный угол находится в третьей четверти. Косинус третьей четверти отрицательный. Не забудем поставить знак «минус» в ответе.   можно представить как  . Снова вспоминаем правило: у нас случай «целого» числа   (  или  ), тогда функция не меняется:

 

Тогда  .

 

Ответ:  .

 . Нужно проделать все то же самое, но уже с двумя функциями.

 

Я буду несколько более краток:   и   градусов – углы второй четверти. Косинус второй четверти имеет знак «минус», а синус – «плюс».   можно представить как:  , а   как  , тогда

 

Оба случая – «половинки от целого  ». Тогда синус меняется на косинус, а косинус – на синус. Причем перед косинусом стоит знак «минус»:

 

 

 

Ответ:  .

Тренировка. Реши эти 10 заданий и ты научишься пользоваться формулами тригонометрии!

Ну вот, теперь на мой взгляд, ты готов к решению всех оставшихся «за бортом» задач. Страшные углы теперь тебе более не помеха. Попробуй прорешать примеры самостоятельно, а потом мы с тобой сравним результаты.

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

6.  

7.  

8.  

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  , если  .

10. Най­ди­те  , если   и  .

Начнем проверять вместе:

  Ключ к успеху – заметить, что:

 

 !!! Тогда, например  :

 

 – угол первой четверти. Косинус первой четверти – положительный. Поскольку мы вычитаем из   градусов, то косинус меняется на синус:

 

 

 

Ответ:  .

 Опять задача целиком на формулы приведения. Вначале....
 

 

избавимся от минуса, вынеся его перед синусом (поскольку синус – функция нечетная!!!). Затем рассмотрим углы

 

Отбрасываем целое количество кругов – то есть три круга  . Остается вычислить:  
Также поступаем и со вторым углом:

 

Удаляем целое число кругов –3 круга ( ) тогда:

 

Теперь думаем: в какой четверти лежит оставшийся угол? Он «не дотягивает» до   всего  . Тогда какая это четверть? Четвертая. Каков знак косинуса четвертой четверти? Положительный. Теперь представим  . Так как вычитаем мы из целого количества  , то знак косинуса не меняем:

 

Подставляем все полученные данные в формулу:

 

 

 

Ответ:  .

 
 

 

Стандартно: убираем минус из косинуса, пользуясь тем, что  . Осталось сосчитать косинус   градусов. Уберем целые круги:  . Тогда

 

Тогда  

 

 
Ответ:  .

 Действуем, как в предыдущем примере.

 

 

Поскольку ты помнишь, что период у тангенса –   градусов (или  ) в отличие от косинуса или синуса, у которых он в 2 раза больше, то удалим целое количество  .

 

  градусов – угол во второй четверти. Тангенс второй четверти отрицательный, тогда не забудем в конце о «минусе»!   можно записать как  . Тангенс меняется на котангенс. Окончательно получим:

 

Тогда  .

 

 

Ответ:  .

 

 Снизу у нас все хорошо – маленький уголок первой четверти. Наверху же – все плохо:

 

угол большой, надо его упростить по формулам приведения.   (я уже воздержусь тут от комментариев, тебе и так все ясно).

 .

 

Ответ:  .

 
Вся проблема, как ты понимаешь, в косинусе. Но не беда, решим.

 

Смотри, на знак нам все равно, поскольку косинус-то у нас в квадрате и знак всегда будет «плюс».То есть на четверти можно не смотреть. В то же время:

 
 

Какой формулой я воспользовался в знаменателе? Помнишь, ты обещал ее выучить и быть готовым ответить, проснувшись среди ночи?!).

 

 

Ответ:  .

  1. Пример немного похитрее.   Прежде всего заметим, что  . Тогда давай представим числитель как синус двойного угла!

     

    Тебе это ничего не напоминает? Задача в точности такая же, как в номере 1. Я тогда так и поступлю, заметив, что у меня опять:  !

     .

    Ответ:  .

  2.  
    Опять задание комбинированное! Легко увидеть и вынести за скобки общий множитель  :

     

    Как называется формула внутри скобок? Пробегись глазами по списку наших формул! Нашел? Это косинус двойного угла!

     

    И снова формулы приведения: косинус второй четверти отрицательный, так как вычитаем мы из целого числа  , то косинус не меняется:

     

    Окончательно получим:

     

    Ответ:  .

  3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  , если  .
    У тангенса период –  , так что не задумываясь отбрасываем его:

     

    Здесь мы использовали еще и тот факт, что тангенс – функция нечетная.
     
     
    Ответ:  .

  4. Най­ди­те  , если   и  
    Вначале упростим выражение, используя формулы приведения (вначале отбросим целые круги и уберем минус):

     

    Теперь: наш оставшийся угол – во третьей четверти (посмотри на условия на угол в условии задачи!!!). Синус имеет знак минус, так как складываем мы с «половинкой от пи», то синус меняется на косинус.

     

    Теперь все как в самом начале урока. По известному синусу надо найти косинус.

     

    Так как сам угол лежит во второй четверти, а косинус второй четверти отрицательный, то выбираем знак «минус». Окончательно получим:

     .

    Ответ:  .

Ну вот, справился со всем без проблем? Очень на это надеюсь! Я думаю, что если ты еще самостоятельно порешаешь примеры из группы B11 в ЕГЭ, то скоро у тебя возникнет абсолютно ясное понимание, где и как применять ту или иную формулу тригонометрии. Здесь все зависит только от тебя и от твоего упорства.

В следующей статье по теме «формулы тригонометрии» я буду вводить более сложные и изощренные формулы, опираясь при этом на изложенные здесь результаты, не проводя уже таких детальных выкладок, как делал в этом обзоре.

И снова тригонометрия! Однако, здесь я уже буду рассматривать более «навороченные» формулы, которые используются для решения более сложных задач, нежели те, что мы с тобой рассмотрели в предыдущей статье "Формулы тригонометрии. Подробная теория для начального уровня". Я сразу оговорюсь, что в части С современного ЕГЭ нет задач, которые бы звучали как «упростите выражение…». Это звучало бы слишком банально, не так ли? Но неявно эти формулы могут использоваться, скажем, при упрощении тригонометрических уравнений. А вот такие задания – основа С1. Поэтому будь внимателен, в некоторых (не очень тривиальных) случаях, следующие формулы помогут тебе выйти из затруднительной ситуации.

Первая группа формул является универсальной: она позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному. Это, конечно, имеет важное приложение при решении уравнений, но здесь мы рассмотрим, как эти формулы помогают при упрощении тригонометрических выражений.

Формулы понижения степени:

  1.  
  2.  
  3.  

Универсальная тригонометрическая подстановка:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

В чем прелесть этих формул? Первые две позволяют «убрать степени», то есть понизить порядок выражения (или повысить, за счёт снижения кратности угла), вторая группа формул позволяет свести любое тригонометрическое выражение к виду, зависящему только от тангенсов! Иногда это единственный способ решить ту или иную задачу. Перейдём к примерам.

  1. Доказать тождество:

     

    С виду тождество угрожающе! Но разберёмся по порядку. Формулы понижения степени, конечно, если их прочитать задом наперёд повышают степень! И вообще, приглядись внимательно: первые две формулы есть ничто иное, как косинус двойного угла, записанный в несколько странной форме! Вот и распишем по правилам:
     
    Тебе ничего по форме не напоминают числитель и знаменатель дроби? Приглядись внимательно, здесь «зарыта» хорошо известная тебе формула. Увидел её? Это же квадрат разности и квадрат суммы!

     

    А выражение в скобках есть ничто иное, как  , окончательно получим:

     

    Тождество доказано!
    Следующий пример очень схож с предыдущим, постарайся решить его самостоятельно:

  2. Доказать тождество:

     

    Решение (хотя может и отличаться от твоего)
    Опять «повысим степень» у косинуса:  
     
    Надо сокращать дальше! Что делать? Ясно, что надо избавляться от двойных углов у синуса. Действуем по формуле синуса двойного угла и сокращаем двойки:
     
    Числитель раскладывается на множители. Знаменатель –пока нет. До тех пор, пока мы не применим основное тригонометрическое тождество:

     

     
    Вот ещё один пример, но не такой простой:

  3. Доказать, что если  , то  
    Зачем нам дан угол? Наверное, чтобы оценить выражения: синус  будет положительным,  
    Тогда и левая, и правая части тождества больше нуля.
    Это даёт мне право без задней мысли возвести их в квадрат:
      – вот такое тождество нам нужно теперь доказать.
    Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности!
     
    Я не сомневаюсь в твоей грамотности и поэтому даже не упоминаю про использованные мною формулы в выкладках. Теперь надо бы убрать корень из косинуса. Но мы знаем, что просто так это делать нельзя, ибо  . В то же время вспоминаем про четверть: наш угол лежит в первой четверти, тогда косинус имеет знак «плюс» и мы просто убираем корень:  
    Тогда нам надо доказать, что
     
     
    Справа применим формулу понижения степени:
     ,тогда

     

    Тождество доказано!

Конечно, можно привести ещё массу примеров, где применяются формулы понижения степени, ты их и сам без труда отыщешь. Я не буду приводить примеры на основную тригонометрическую подстановку, так как она выполняет несколько иную роль – роль «универсального решателя» уравнений. Так что мы к ней ещё непременно вернёмся, когда будем решать тригонометрические уравнения.

Теперь вторая (и заключительная в этом обзоре) группа формул – формулы преобразования произведения в сумму и суммы в произведение:

Формулы преобразования суммы функций

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Иногда бывают полезны и обратные преобразования:

Формулы преобразования произведений функций

  1.  
  2.  
  3.  

Сразу же рассмотрим примеры:

  1. Доказать тождество:

     

    Давай не будем долго думать, а как говорится, пойдём в лобовую атаку: в числителе и знаменателе перейдём от суммы к произведению:
     
    И минуты не прошло, а пример уже решён!
    Теперь попробуй сам.

  2. Доказать тождество:

     

    Решение - опять лобовая атака:
     
    Так как синус - функция нечётная, а косинус - чётная, то:

     

  3. Этот пример чуть похитрее, будь внимателен!
    Доказать тождество:

     

    Я не хочу трогать синус двойного угла. Уж больно он удобно раскладывается на множители. Чего не скажешь о синусе тройного и тем более пятикратного угла. Поэтому я сверну в произведение последние 2 слагаемых в числителе:
     
    Конечно, теперь можно было бы и свернуть числитель ещё раз, но я пойду иным путём. В знаменателе у меня тоже спрятана формула, вот она:  . Что это за формула? Это косинус двойного угла!
     
     
    Тождество доказано!

  4. Теперь попробуй решить вот этот пример для закрепления пройденного материала.
    Доказать тождество:

     

    Проверяем!

     

    C другой стороны:

     

    Тождество доказано!

На этом примере я буду закругляться потихоньку. Сразу оговорюсь: не переживай и не волнуйся, если у тебя что-то сразу не выходит. Тригонометрия – сложная и очень обширная тема. Здесь все зависит не только от знания формул, но и от мастерства и смекалки. На их выработку тебе понадобится время и усердие. Более того скажу тебе вот что: изначально я хотел вставить другой пример в качестве заключительного. Однако на его решение мне понадобилось около 20 минут, причём я использовал ещё более сложную методику его решения. Так что не только ты сталкиваешься с трудностями при решении примеров, трудности бывают у всех! Все-таки я приведу здесь этот трудный пример, вдруг да и получится у тебя решить его, может, я что-то упустил. Вот он:

Упростить:  

А вот какой у меня получился в итоге ответ:  

Дерзай!

В следующей же статье я рассмотрю его решение, но прибегу к ещё более изощрённой технике нежели та, что рассматривалась здесь! Удачи!

В дополнение к уже изложенному материалу, я бы хотел рассмотреть (довольно кратко) еще небольшую группку формул, которая осталась «за бортом». Эти формулы – некоторое обобщение уже рассмотренных ранее формул понижения степени. Но вот понижаемые степени у них повыше:

 

 

Из данных формул можно в частности вывести формулы тройного угла:

 

 

 

 

Ты мне можешь задать резонный вопрос: как часто эти формулы используются? Я отвечу: постарайся избегать прибегать к ним. Они нужны на тот случай, когда ничего другого уже не можешь придумать. В частности, они могут быть полезными при решении сложных уравнений, которые встречаются во вступительных экзаменах на математические специальности. Однако уравнениям у нас будет посвящена отдельная статья, так что здесь я рассмотрю случаи, когда данные формулы позволяют упрощать тригонометрические выражения.

Пример 1: упростить:  

Подставим вместо   и   их представления согласно формулам тройного угла, тогда:

 

Теперь вынесем в оставшемся выражении общий множитель за скобки:

 

По формулам двойного угла:  ,  :

 

Ну а здесь снова спрятан синус двойного угла:

 

Ответ:  

Следующий пример попробуй решить самостоятельно. Не уверен, что в нем обязательно использовать формулу тройного угла, но можно сделать и с ее помощью:

Пример: упростить:  

Решение: моя цель, свести числитель дроби к выражению, зависящему только от синусов одиночного угла. Для этого я преобразую

 

 

 

Имеем:

 

Казалось бы, стало еще хуже. Но это так кажется. Давай для удобства вычислений заменим  , тогда мне надо упростить дробь

 

Нижнее выражение разложим на множители:

 

С верхним фокус сложнее. Мы не умеем с тобой решать кубические уравнения. Но мы хорошо играем в «угадайку». Угадай-ка один корень уравнения  . Угадал? Я угадал  . Тогда по теореме Безу (которую ты, быть может, знаешь, а если не знаешь, то без проблем отыщешь сам) выражение   делится без остатка на  

Разделим столбиком   на  . Я получу:

 

В свою очередь  

Окончательно получим:

 

Тогда исходное выражение можно упростить до:  

В завершение я приведу тебе пример одного уравнения, которое было предложено на психологический (???!!!!) факультет одного из ВУЗов в 1990 году. Такие задачи называются задачи-гробы (никакая смекалка без знания конкретной формулы не позволит их решить):

Решить уравнение:

 

Не сделав вот такую странную замену:   решить его очень сложно. А с такой заменой у нас получится вот что:

 

 

 

 

 

А вот ради чего весь этот сыр-бор:  

 

Это уравнение уже несказанно легче решается. Скоро мы вместе в этом убедимся. Но тут проблема в обратной замене… Тем не менее, эта задача почти нерешаема без знания формулы тангенса тройного угла. Вот так вот.

Комментарии

Матвей
28 ноября 2017

В некоторых примерах в числителе пропущены цифры. Например, в примере номер 1 из раздела "Формулы-2" в первом примере сначала стоит цифра 2 перед скобкой, а потом оказывается, что это 12. Тоже самое во 2 - было 2, а стало 24

ответить

Александр (админ)
28 ноября 2017

Спасибо за замечание, Матвей. Проверим.

ответить

Анна
03 января 2018

В решении 3 задания на "формулы-2" допущена ошибка. Вместо значения тангенса взято значение котангенса

ответить

Анастасия
05 января 2018

В разделе "Формулы (основа)" во 2 примере судя по решению должно стоять 5sin​ α вместо 5cos α.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть