Прямоугольный треугольник. Начальный уровень.

Прямоугольный треугольник - треугольник, у которого один из углов – прямой =  .

  •   - катеты
  •   - гипотенуза
  • В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов.

Теорема Пифагора: 

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:  .

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  • по двум катетам:  
  • по катету и гипотенузе:   или  
  • по катету и прилежащему острому углу:     или    
  • по катету и противолежащему острому углу:     или    
  • по гипотенузе и остром углу:     или    .

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

  • одному острому углу:   или  
  • из пропорциональности двух катетов:  
  • из пропорциональности катета и гипотенузы:   или  .

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике

  • Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:  
  • Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:  
  • Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:  
  • Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему:  .
Высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Каждый из этих треугольников подобен исходному:  

Высота прямоугольного треугольника:   или  .

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:  .

  • Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы (точка О).
  • Радиус описанной окружности:  .
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности:
 

Площадь прямоугольного треугольника:

  • через катеты:  
  • через катет и острый угол:  .
Прямоугольный треугольник рис. 1 Что такое прямоугольный треугольник? Посмотри на картинку. Название говорит само за себя.
Прямоугольный треугольник – такой треугольник, один из углов которого – прямой (то есть равен  ).

В задачах прямой угол вовсе не обязательно – левый нижний, так что тебе нужно научиться узнавать прямоугольный треугольник и в таком виде,

Прямоугольный треугольник рис. 2

и в таком,

Прямоугольный треугольник рис. 3

и в таком
Прямоугольный треугольник рис. 4
Что же хорошего есть в прямоугольном треугольнике? Ну..., во-первых, есть специальные красивые названия для его сторон.

Стороны, между которыми прямой угол, называются катеты, а третья сторона (самая длинная) называется гипотенуза. Внимание на рисунок!

Стороны, между которыми прямой угол, называются катеты, а третья сторона (самая длинная) называется гипотенуза

Запомни и не путай: катетов – два, а гипотенуза – всего одна (единственная, неповторимая и самая длинная)!

Ну вот, названия обсудили, теперь самое важное: Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора.

Эта теорема – ключик к решению многих задачек с участием прямоугольного треугольника. Её доказал Пифагор в совершенно незапамятные времена, и с тех пор она принесла много пользы знающим её. А самое хорошее в ней то, что она – простая.

Итак, Теорема Пифагора:

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Прямоугольный треугольник рис. 5 В буквах это так:   или так:  

Помнишь шутку: «Пифагоровы штаны на все стороны равны!»?

Давай нарисуем эти самые пифагоровы штаны и посмотрим на них.
Пифагоровы штаны на все стороны равны!
Правда, похоже на какие – то шорты? Ну и на какие стороны и где она равны? Почему и откуда возникла шутка? А шутка эта связана как раз с теоремой Пифагора, точнее с тем, как сам Пифагор формулировал свою теорему. А формулировал он её так:

«Сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе».

Правда, немножко по-другому звучит? И вот, когда Пифагор нарисовал утверждение своей теоремы, как раз и получилась такая картинка.

Пифагоровы штаны на все стороны равны!
На этой картинке сумма площадей маленьких квадратов равна площади большого квадрата. А чтобы дети лучше запоминали, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, кто-то остроумный и выдумал эту шутку про Пифагоровы штаны.

Почему же мы сейчас формулируем теорему Пифагора

Прямоугольный треугольник рис. 6   

А Пифагор мучился и рассуждал про площади?

Понимаешь, в древние времена не было… алгебры! Не было никаких обозначений   и так далее. Не было надписей  . Представляешь, как бедным древним ученикам было ужасно запоминать всё словами??! А мы можем радоваться, что у нас есть простая формулировка теоремы Пифагора. Давай её ещё раз повторим, чтобы лучше запомнить:

Прямоугольный треугольник рис. 7  
или
 

Теперь уже должно быть легко:

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Ну вот, самую главную теорему о прямоугольном треугольнике обсудили. Если тебе интересно, как она доказывается, читай следующие уровни теории, а сейчас пойдём дальше… в тёмный лес… тригонометрии! К ужасным словам синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике.

На самом деле все совсем не так страшно. Конечно, «настоящее» определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса нужно смотреть в статье «Синус, косинус...». Но очень не хочется, правда? Можем обрадовать: для решения задач про прямоугольный треугольник можно просто заполнить следующие простые вещи:

Прямоугольный треугольник рис. 8
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

А почему же всё только про угол  ? Где же угол  ? Для того, чтобы в этом разобраться, нужно знать, как утверждения 1 - 4 записываются словами. Смотри, понимай и запоминай!

1.  
Вообще-то звучит это так:

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе рис. 1 Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе.

А что же угол  ? Есть ли катет, который находится напротив угла  , то есть противолежащий (для угла  ) катет? Конечно, есть! Это катет  !

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе рис. 2 Значит,  

2.  

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе рис. 1 Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

А как же угол  ? Посмотри внимательно. Какой катет прилегает к углу  ? Конечно же, катет  . Значит, для угла   катет   – прилежащий, и

 .

А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось:

 

Видишь, как здорово:

  и  

Это очень удобно – если тебе дан в задаче синус одного угла прямоугольного треугольника, то ты знаешь и косинус другого! Итак, запомни очень твёрдо:

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого и наоборот.

Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу.

3.  

Как это теперь записать словами? Катет   каким является по отношению к углу  ? Противолежащим, конечно – он «лежит» напротив угла  . А катет  ? Прилегает к углу  . Значит, что у нас получилось?

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

4.  

Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами?

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему.

Вспомним теперь про угол  . Что будет для него? Правильно:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему   

И теперь снова углы   и   совершили обмен:

 

В прямоугольном треугольнике тангенс одного острого угла равен котангенсу другого.

Резюме

Давай вкратце запишем всё, что мы узнали.

Теорема Пифагора:  
   
   
   
   

Запомни эту табличку как таблицу умножения – и ты сможешь решить много задач про прямоугольный треугольник. Во всяком случае, все задачи первой части ЕГЭ, в которых участвует прямоугольный треугольник, тебе точно будут «по зубам»!
Если тебе хочется научиться решать более сложные задачи, то нужно узнать ещё некоторые замечательные факты о прямоугольном треугольнике – читай следующие уровни теории!

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов – прямой, то есть равен  .

Главная теорема о прямоугольном треугольнике – теорема Пифагора.

Теорема Пифагора

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Высота в прямоугольном треугольнике рис. 1 В буквах это будет так:   или так:  

Кстати, хорошо ли ты помнишь, что такое катеты и гипотенуза? Если не очень, то смотри на рисунок – освежай знания

Высота в прямоугольном треугольнике рис. 2

Вполне возможно, что ты уже много раз использовал теорему Пифагора, а вот задумывался ли ты, почему же верна такая теорема. Как бы её доказать? А давай поступим, как древние греки. Нарисуем квадрат со стороной  .

Высота в прямоугольном треугольнике рис. 3

Видишь, как хитро мы поделили его стороны на отрезки длин   и  !

А теперь соединим отмеченные точки

Высота в прямоугольном треугольнике рис. 4

Тут мы, правда ещё кое что отметили, но ты сам посмотри на рисунок и подумай, почему так.

Чему же равна площадь большего квадрата? Правильно,  . А площадь меньшего? Конечно,  . Осталась суммарная площадь четырех уголков. Представь, что мы взяли их по два и прислонили друг к другу гипотенузами. Что получилось? Два прямоугольника. Значит, площадь «обрезков» равна  .

Давай теперь соберем всё вместе.

 

Преобразуем:  

то есть  

Вот и побывали мы Пифагором – доказали его теорему древним способом.

Прямоугольный треугольник и тригонометрия

Для прямоугольного треугольника выполняются следующие соотношения:

Высота в прямоугольном треугольнике рис. 5

I.  

Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе

II.  

Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

III.  

Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

IV.  

Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету.

И ещё раз всё это в виде таблички:

   
   
   
   

Заметил ли ты одну очень удобную вещь? Посмотри на табличку внимательно.

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого, а тангенс острого угла равен котангенсу другого.

Это очень удобно!

Признаки равенства прямоугольных треугольников

I. По двум катетам

Прямоугольные треугольники равны, если два катета одного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника.

II. По катету и гипотенузе

Признак равенства прямоугольных треугольников: по катету и гипотенузе

Прямоугольные треугольники равны, если катет и гипотенуза одного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого.

III. По гипотенузе и острому углу

Признак равенства прямоугольных треугольников: по гипотенузе и острому углу

Прямоугольные треугольники равны, если гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого.

IV. По катету и острому углу

a)Признак равенства прямоугольных треугольников: по катету и острому углу

b)

Прямоугольные треугольники равны, если катет и острый угол одного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого треугольника.

Внимание! Здесь очень важно, чтобы катеты были «соответствующие». Например, если будет так:

Признак равенства прямоугольных треугольников: катеты соответствующие!

То ТРЕУГОЛЬНИКИ НЕ РАВНЫ, несмотря на то, что имеют по одному одинаковому острому углу.

Нужно, чтобы в обоих треугольниках катет был прилежащим, или в обоих – противолежащим.

Ты заметил, чем отличаются признаки равенства прямоугольных треугольников от обычных признаков равенства треугольников? Загляни в тему «Треугольник» и обрати внимание на то, что для равенства «рядовых» треугольников нужно равенство трех их элементов: две стороны и угол между ними, два угла и сторона между ними или три стороны. А вот для равенства прямоугольных треугольников достаточно всего двух соответственных элементов. Здорово, правда?

Примерно такая же ситуация и с признаками подобия прямоугольных треугольников.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

I. По острому углу

Признак подобия прямоугольных треугольников. По острому углу

Если прямоугольные треугольники имеют по одинаковому острому углу, то они подобны.

II. По двум катетам

Признак подобия прямоугольных треугольников. По двум катетам

Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого, то эти треугольники подобны.

III. По катету и гипотенузе

Признак подобия прямоугольных треугольников. По катету и гипотенузе

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого, то эти треугольники подобны.

Медиана в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы

Почему это так?

Рассмотрим вместо прямоугольного треугольника целый прямоугольник.

Что видим? Треугольник   – половина прямоугольника.

Проведём диагональ   и рассмотрим точку   - точку пересечения диагоналей. Что известно про диагонали прямоугольника?

  • Точкой пересечения диагонали делятся пополам
  • Диагонали равны

И что из этого следует?

  •  
  •    

Вот и получилось, что

  1.   – медиана:
  2.  

Запомни этот факт! Очень помогает!

А что ещё более удивительно, так это то, что верно и обратное утверждение.

Если медиана, проведенная к какой-нибудь стороне треугольника, оказалась равна половине этой стороны, то треугольник – прямоугольный.

Что же хорошего можно получить из того, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы? А давай посмотрим на картинку

Если медиана, проведенная к какой–нибудь стороне треугольника, оказалась равна половине этой стороны, то треугольник – прямоугольный. Здесь   – медиана и равна  . Что же это получилось за точка  ?

Посмотри внимательно. У нас есть:  , то есть расстояния от точки   до всех трёх вершин треугольника оказались равны. Но в треугольнике есть всего одна точка, расстояния от которой о всех трёх вершин треугольника равны, и это – ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ. Значит, что получилось?

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Кроме того, каждый из этих треугольников подобен исходному. Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Кроме того, каждый из этих треугольников подобен исходному.

Вот давай мы начнём с этого «кроме того...».

Посмотрим на   и  .

Высота в прямоугольном треугольнике  У них общий  , и они оба – прямоугольные. Значит (вспоминаем только что прочитанные признаки подобия прямоугольных треугольников) – они подобны!

Еще раз:

Высота в прямоугольном треугольнике рис.1  

Но у подобных треугольников все углы равны!

Высота в прямоугольном треугольнике рис.2   (Посмотри на рисунок)

То же самое можно сказать и про   и  

Высота в прямоугольном треугольнике рис.3  

А теперь нарисуем это вместе:

Высота в прямоугольном треугольнике рис.4 Что видим?
У   и   одинаковые острые углы! 

Какую же пользу можно извлечь из этого «тройственного» подобия.

Ну, например – две формулы для высоты прямоугольного треугольника.

Высота в прямоугольном треугольнике рис.5 Чтобы писать меньше букв, обозначим:  ;  ;  ;   (посмотри на рисунке). Применяем подобие: .

Запишем отношения соответствующих сторон:

Первая формула высоты в прямоугольном треугольнике

Для нахождения высоты решаем пропорцию и получаем первую формулу "Высота в прямоугольном треугольнике":

 

Как же получить вторую?

А теперь применим подобие треугольников   и  .

Высота в прямоугольном треугольнике рис.6 Но сначала обозначим   и   ( смотри на рисунок)

Итак, применим подобие:  .

Значит,

Вторая формула высоты в прямоугольном треугольнике

Что теперь получится?

Опять решаем пропорцию и получаем вторую формулу "Высота в прямоугольном треугольнике":

  ,то есть  

Обе эти формулы нужно очень хорошо помнить и применять ту, которую удобнее. Запишем их ещё раз

 
 

Ну вот, теперь, применяя и комбинируя эти знания с другими, ты решишь любую задачу с прямоугольным треугольником!

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника до конца учебного года.

Всего 299 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть