Прямоугольный треугольник. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2018Пройти пробный ОГЭ 2018
Прямоугольный треугольник рис. 1 Что такое прямоугольный треугольник? Посмотри на картинку. Название говорит само за себя.
Прямоугольный треугольник – такой треугольник, один из углов которого – прямой (то есть равен  ).

В задачах прямой угол вовсе не обязательно – левый нижний, так что тебе нужно научиться узнавать прямоугольный треугольник и в таком виде,

Прямоугольный треугольник рис. 2

и в таком,

Прямоугольный треугольник рис. 3

и в таком
Прямоугольный треугольник рис. 4
Что же хорошего есть в прямоугольном треугольнике? Ну..., во-первых, есть специальные красивые названия для его сторон.

Стороны, между которыми прямой угол, называются катеты, а третья сторона (самая длинная) называется гипотенуза. Внимание на рисунок!

Стороны, между которыми прямой угол, называются катеты, а третья сторона (самая длинная) называется гипотенуза

Запомни и не путай: катетов – два, а гипотенуза – всего одна (единственная, неповторимая и самая длинная)!

Ну вот, названия обсудили, теперь самое важное: Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора.

Эта теорема – ключик к решению многих задачек с участием прямоугольного треугольника. Её доказал Пифагор в совершенно незапамятные времена, и с тех пор она принесла много пользы знающим её. А самое хорошее в ней то, что она – простая.

Итак, Теорема Пифагора:

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Прямоугольный треугольник рис. 5 В буквах это так:   или так:  

Помнишь шутку: «Пифагоровы штаны на все стороны равны!»?

Давай нарисуем эти самые пифагоровы штаны и посмотрим на них.
Пифагоровы штаны на все стороны равны!
Правда, похоже на какие – то шорты? Ну и на какие стороны и где она равны? Почему и откуда возникла шутка? А шутка эта связана как раз с теоремой Пифагора, точнее с тем, как сам Пифагор формулировал свою теорему. А формулировал он её так:

«Сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе».

Правда, немножко по-другому звучит? И вот, когда Пифагор нарисовал утверждение своей теоремы, как раз и получилась такая картинка.

Пифагоровы штаны на все стороны равны!
На этой картинке сумма площадей маленьких квадратов равна площади большого квадрата. А чтобы дети лучше запоминали, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, кто-то остроумный и выдумал эту шутку про Пифагоровы штаны.

Почему же мы сейчас формулируем теорему Пифагора

Прямоугольный треугольник рис. 6   

А Пифагор мучился и рассуждал про площади?

Понимаешь, в древние времена не было… алгебры! Не было никаких обозначений   и так далее. Не было надписей  . Представляешь, как бедным древним ученикам было ужасно запоминать всё словами??! А мы можем радоваться, что у нас есть простая формулировка теоремы Пифагора. Давай её ещё раз повторим, чтобы лучше запомнить:

Прямоугольный треугольник рис. 7  
или
 

Теперь уже должно быть легко:

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Ну вот, самую главную теорему о прямоугольном треугольнике обсудили. Если тебе интересно, как она доказывается, читай следующие уровни теории, а сейчас пойдём дальше… в тёмный лес… тригонометрии! К ужасным словам синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике.

На самом деле все совсем не так страшно. Конечно, «настоящее» определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса нужно смотреть в статье «Синус, косинус...». Но очень не хочется, правда? Можем обрадовать: для решения задач про прямоугольный треугольник можно просто заполнить следующие простые вещи:

Прямоугольный треугольник рис. 8
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

А почему же всё только про угол  ? Где же угол  ? Для того, чтобы в этом разобраться, нужно знать, как утверждения 1 - 4 записываются словами. Смотри, понимай и запоминай!

1.  
Вообще-то звучит это так:

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе рис. 1 Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе.

А что же угол  ? Есть ли катет, который находится напротив угла  , то есть противолежащий (для угла  ) катет? Конечно, есть! Это катет  !

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе рис. 2 Значит,  

2.  

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе рис. 1 Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

А как же угол  ? Посмотри внимательно. Какой катет прилегает к углу  ? Конечно же, катет  . Значит, для угла   катет   – прилежащий, и

 .

А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось:

 

Видишь, как здорово:

  и  

Это очень удобно – если тебе дан в задаче синус одного угла прямоугольного треугольника, то ты знаешь и косинус другого! Итак, запомни очень твёрдо:

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого и наоборот.

Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу.

3.  

Как это теперь записать словами? Катет   каким является по отношению к углу  ? Противолежащим, конечно – он «лежит» напротив угла  . А катет  ? Прилегает к углу  . Значит, что у нас получилось?

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

4.  

Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами?

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему.

Вспомним теперь про угол  . Что будет для него? Правильно:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему   

И теперь снова углы   и   совершили обмен:

 

В прямоугольном треугольнике тангенс одного острого угла равен котангенсу другого.

Резюме

Давай вкратце запишем всё, что мы узнали.

Теорема Пифагора:  
   
   
   
   

Запомни эту табличку как таблицу умножения – и ты сможешь решить много задач про прямоугольный треугольник. Во всяком случае, все задачи первой части ЕГЭ, в которых участвует прямоугольный треугольник, тебе точно будут «по зубам»!
Если тебе хочется научиться решать более сложные задачи, то нужно узнать ещё некоторые замечательные факты о прямоугольном треугольнике – читай следующие уровни теории!

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть