Коротко о главном Начальный уровень

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла и числа. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Синус, косинус, тангенс, котангенс

Понятия синуса ( ), косинуса ( ), тангенса ( ), котангенса ( ) неразрывно связаны с понятием угла. Чтобы хорошо разобраться в этих, на первый взгляд, сложных понятиях (которые вызывают у многих школьников состояние ужаса), и убедиться, что «не так страшен черт, как его малюют», начнём с самого начала и разберёмся в понятии угла.

Понятие угла: радиан, градус

Давай посмотрим на рисунке. Вектор   «повернулся» относительно точки   на некую величину. Так вот мерой этого поворота относительно начального положения и будет выступать угол  .

Понятие угла, радиана

Что же ещё необходимо знать о понятии угла? Ну, конечно же, единицы измерения угла!

Угол, как в геометрии, так и в тригонометрии, может измеряться в градусах и радианах.

Углом в   (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную   части окружности. Таким образом, вся окружность состоит из   «кусочков» круговых дуг, или угол, описываемый окружностью, равен  .

2

То есть на рисунке выше изображён угол  , равный  , то есть этот угол опирается на круговую дугу размером   длины окружности.

Углом в   радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности. Ну что, разобрался? Если нет, то давай разбираться по рисунку.

Центральный угол окружности

Итак, на рисунке изображён угол  , равный   радиану, то есть этот угол опирается на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности (длина   равна длине   или радиус   равен длине дуги  ). Таким образом, длина дуги вычисляется по формуле:

 , где   - центральный угол в радианах.

Ну что, можешь, зная это, ответить, сколько радиан содержит угол, описываемый окружностью? Да, для этого надо вспомнить формулу длины окружности. Вот она:

 

Ну вот, теперь соотнесём эти две формулы и получим, что угол, описываемый окружностью равен  . То есть, соотнеся величину в градусах и радианах, получаем, что  . Соответственно,  . Как можно заметить, в отличие от «градусов», слово «радиан» опускается, так как единица измерения обычно ясна из контекста.

А сколько радиан составляют  ? Всё верно  !

Уловил? Тогда вперёд закреплять:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возникли трудности? Тогда смотри ответы:

 

Прямоугольный треугольник: синус, косинус, тангенс, котангенс угла

Итак, с понятием угла разобрались. А что же всё-таки такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла? Давай разбираться. Для этого нам поможет прямоугольный треугольник.

4

Как называются стороны прямоугольного треугольника? Всё верно, гипотенуза и катеты: гипотенуза - это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона  ); катеты – это две оставшиеся стороны   и   (те, что прилегают к прямому углу), причём, если рассматривать катеты относительно угла  , то катет   – это прилежащий катет, а катет   - противолежащий. Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике  .

Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике  .

Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

В нашем треугольнике  .

Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

В нашем треугольнике  .

Эти определения необходимо запомнить! Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе. А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

Косинус→касаться→прикоснуться→прилежащий;

Котангенс→касаться→прикоснуться→прилежащий.

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле). Не веришь? Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

Нахождение синуса косинуса тангенса и котангенса в треугольнике

Рассмотрим, к примеру, косинус угла  . По определению, из треугольника  :  , но ведь мы можем вычислить косинус угла   и из треугольника   . Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!

Для треугольника  , изображённого ниже на рисунке, найдём  .

6

 

Ну что, уловил? Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла  .

Ответы:  .

Единичная (тригонометрическая) окружность

Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным  . Такая окружность называется единичной. Она очень пригодится при изучении тригонометрии. Поэтому остановимся на ней немного подробней.

Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси   (в нашем примере, это радиус  ).

Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси   и координата по оси  . А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме? Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник. На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник  . Он прямоугольный, так как   является перпендикуляром к оси  .

Чему равен   из треугольника  ? Всё верно  . Кроме того, нам ведь известно, что   – это радиус единичной окружности, а значит,  . Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

 .

А чему равен   из треугольника  ? Ну конечно,  ! Подставим значение радиуса   в эту формулу и получим:

 

Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка  , принадлежащая окружности? Ну что, никак? А если сообразить, что   и   - это просто числа? Какой координате соответствует  ? Ну, конечно, координате  ! А какой координате соответствует  ? Всё верно, координате  ! Таким образом, точка  .

синус и косинус на окружности

А чему тогда равны   и  ? Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что  , а  .

А что, если угол будет больше  ? Вот, к примеру, как на этом рисунке:

9

Что же изменилось в данном примере? Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику. Рассмотрим прямоугольный треугольник  : угол   (как прилежащий к углу  ). Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла  ? Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:

 

Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате  ; значение косинуса угла – координате  ; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям. Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.

Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора – вдоль положительного направления оси  . До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке? Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным. Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы, а при вращении по часовой стрелке – отрицательные.

Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет   или  . А можно повернуть радиус-вектор на   или на  ? Ну конечно, можно! В первом случае,  , таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении   или  .

Во втором случае,  , то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении   или  .

Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на   или   (где   – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.

Ниже на рисунке изображён угол  . Это же изображение соответствует углу   и т.д. Этот список можно продолжить до бесконечности. Все эти углы можно записать общей формулой   или   (где   – любое целое число)

 

10

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:

 

Вот тебе в помощь единичная окружность:

11

Возникли трудности? Тогда давай разбираться. Итак, мы знаем, что:

 

Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла. Ну что же, начнём по порядку: углу в   соответствует точка с координатами  , следовательно:

 ;

 ;

  - не существует;

 .

Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в   соответствуют точки с координатами  , соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

Ответы:

 

 

 

 

  - не существует

 

 

  - не существует

 

 

 

 

  - не существует

 

 

  - не существует

 .

 

 

Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

таблица синуса косинуса тангенса котангенса

Нет необходимости помнить все эти значения. Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

 

А вот значения тригонометрических функций углов в   и  , приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить:

13

Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений:

 

14

 

 

Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трёх мер угла ( ), а также значение тангенса угла в  . Зная эти   значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком -значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:

 

 , зная это можно восстановить значения для  . Числитель « » будет соответствовать  , а знаменатель « » соответствует  . Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего   значения из таблицы.

Координаты точки на окружности

А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота?

Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки.

Вот, к примеру, перед нами такая окружность:

15

Нам дано, что точка   - центр окружности. Радиус окружности равен  . Необходимо найти координаты точки  , полученной поворотом точки   на   градусов.

Как видно из рисунка, координате   точки   соответствует длина отрезка  . Длина отрезка   соответствует координате   центра окружности, то есть равна  . Длину отрезка   можно выразить, используя определение косинуса:

 .

Тогда имеем, что для точки   координата  .

По той же логике находим значение координаты y для точки  . Таким образом,

 .

Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:

 , где

  - координаты центра окружности,

  - радиус окружности,

  - угол поворота радиуса вектора.

Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:

 

 

Ну что, попробуем эти формулы на вкус, поупражняясь в нахождении точек на окружности?

 

1. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки   на  .

2. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки   на  .

3. Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки   на  .

4. Точка   - центр окружности. Радиус окружности равен  . Необходимо найти координаты точки  , полученной поворотом начального радиус-вектора на  .

5. Точка   - центр окружности. Радиус окружности равен  . Необходимо найти координаты точки  , полученной поворотом начального радиус-вектора на  .

 

Возникли проблемы в нахождении координот точки на окружности?

Реши эти пять примеров (или разберись хорошо в решении) и ты научишься их находить!

 

1. Окружность единичная с центром в точке  , значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:

 

Можно заметить, что  . А мы ведь знаем, что   соответствует полному обороту начальной точки. Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на  . Зная это, найдём искомые координаты точки:

 

Синус   и косинус   - это табличные значения. Вспоминаем их значения и получаем:

 

Таким образом, искомая точка имеет координаты  .

 

2. Окружность единичная с центром в точке  , значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:

 

Можно заметить, что  . Мы знаем, что   соответствует двум полным оборотам начальной точки. Таким образом, искомая точка будет находиться в том же положении, что и при повороте на  . Зная это, найдём искомые координаты точки:

 .

Синус   и косинус   - это табличные значения. Вспоминаем их значения и получаем:

 

Таким образом, искомая точка имеет координаты  .

 

3. Окружность единичная с центром в точке  , значит, мы можем воспользоваться упрощёнными формулами:

 .

Можно заметить, что  . Изобразим рассматриваемый пример на рисунке:

16

Радиус   образует с осью   углы, равные   и  . Зная, что табличные значения косинуса и синуса   равны  , и определив, что косинус здесь принимает отрицательное значение, а синус положительное, имеем:

 

Подробней подобные примеры разбираются при изучении формул приведения тригонометрических функций в теме "Формулы тригонометрии".

Таким образом, искомая точка имеет координаты  .

 

4. Для решения данной задачи воспользуемся формулами в общем виде  , где

  - координаты центра окружности (в нашем примере,   

  - радиус окружности (по условию,  )

  - угол поворота радиуса вектора (по условию,  )

Подставим все значения в формулу и получим:

 .

Для определения соответствующих знаков синуса и косинуса построим единичную окружность и угол:

17

Как можно заметить, значение  , то есть   положительно, а значение  , то есть   - отрицательно. Зная табличные значения соответствующих тригонометрических функций, получаем, что:

 

Подставим полученные значения в нашу формулу и найдём координаты:

 

Таким образом, искомая точка имеет координаты  .

 

5. Для решения данной задачи воспользуемся формулами в общем виде  , где

  - координаты центра окружности (в нашем примере,   

  - радиус окружности (по условию,  )

  - угол поворота радиуса вектора (по условию,  ).

 

Подставим все значения в формулу и получим:

 

  и   - табличные значения. Вспоминаем и подставляем их в формулу:

 

Таким образом, искомая точка имеет координаты  .

 

Комментарии

Катерина
18 декабря 2017

Какой координате соответствует sinα \sin \alpha sinα? Ну, конечно, координате x xx! А какой координате соответствует sinα \sin \alpha sinα? вот здесь опечатка, вместо синуса и косинуса два раза - синус

ответить

Алексей Шевчук
18 декабря 2017

Катерина, спасибо, опечатка исправлена.

ответить

Павел
21 февраля 2018

Я что-то не пойму. Как мы из 6π + π / 3 получаем 2π + π / 3 ?

ответить

Павел
22 февраля 2018

Читал статью 3 дня подряд по два часа в день и наконец-то разобрался. И ещё, где в 5-ой задаче, в условии написано, что угол равен 60 градусов? Сообразил как решать, только тогда, когда подсмотрел в ответ

ответить

Александр (админ)
22 февраля 2018

Павел, это очень полезный навык - разобраться самому. Неважно, что посмотрел в ответ. Если понял как решать, следующие задачи будешь решать не глядя в ответ. А если решишь много задач (или несколько более сложных), сможешь решать такие задачи очень быстро. Но, если честно, дело не в задачах. Самое главное то, ЧТО ТЫ СМОГ САМ РАЗОБРАТЬСЯ. Это очень ценится.

ответить

Павел
22 февраля 2018

Ещё нашёл косяк в 5-ой задаче, вы почему-то скопировали решение из 4-ой, это очень меня запутало, исправьте пожалуйста

ответить

Алекссандр (админ)
22 февраля 2018

Павел, спасибо за замечания. Алексей Шевчук их прокомментирует.

ответить

Иван
07 июня 2018

Непонятно объясняете

ответить

Александр (админ)
07 июня 2018

Что конкретно не понятно, Иван?

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги сделать так, чтобы его не закрыли... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника.

Всего 199 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть