Прямоугольный треугольник. Полный иллюстрированный гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ.

 

Прямоугольный треугольник рис. 1 Что такое прямоугольный треугольник? Посмотри на картинку. Название говорит само за себя.
Прямоугольный треугольник – такой треугольник, один из углов которого – прямой (то есть равен  ).

В задачах прямой угол вовсе не обязательно – левый нижний, так что тебе нужно научиться узнавать прямоугольный треугольник и в таком виде,

Прямоугольный треугольник рис. 2

и в таком,

Прямоугольный треугольник рис. 3

и в таком
Прямоугольный треугольник рис. 4
Что же хорошего есть в прямоугольном треугольнике? Ну..., во-первых, есть специальные красивые названия для его сторон.

Стороны, между которыми прямой угол, называются катеты, а третья сторона (самая длинная) называется гипотенуза. Внимание на рисунок!

Стороны, между которыми прямой угол, называются катеты, а третья сторона (самая длинная) называется гипотенуза

Запомни и не путай: катетов – два, а гипотенуза – всего одна (единственная, неповторимая и самая длинная)!

Ну вот, названия обсудили, теперь самое важное: Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора.

Эта теорема – ключик к решению многих задачек с участием прямоугольного треугольника. Её доказал Пифагор в совершенно незапамятные времена, и с тех пор она принесла много пользы знающим её. А самое хорошее в ней то, что она – простая.

Итак, Теорема Пифагора:

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Прямоугольный треугольник рис. 5 В буквах это так:   или так:  

Помнишь шутку: «Пифагоровы штаны на все стороны равны!»?

Давай нарисуем эти самые пифагоровы штаны и посмотрим на них.
Пифагоровы штаны на все стороны равны!
Правда, похоже на какие – то шорты? Ну и на какие стороны и где она равны? Почему и откуда возникла шутка? А шутка эта связана как раз с теоремой Пифагора, точнее с тем, как сам Пифагор формулировал свою теорему. А формулировал он её так:

«Сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе».

Правда, немножко по-другому звучит? И вот, когда Пифагор нарисовал утверждение своей теоремы, как раз и получилась такая картинка.

Пифагоровы штаны на все стороны равны!
На этой картинке сумма площадей маленьких квадратов равна площади большого квадрата. А чтобы дети лучше запоминали, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, кто-то остроумный и выдумал эту шутку про Пифагоровы штаны.

Почему же мы сейчас формулируем теорему Пифагора

Прямоугольный треугольник рис. 6   

А Пифагор мучился и рассуждал про площади?

Понимаешь, в древние времена не было… алгебры! Не было никаких обозначений   и так далее. Не было надписей  . Представляешь, как бедным древним ученикам было ужасно запоминать всё словами??! А мы можем радоваться, что у нас есть простая формулировка теоремы Пифагора. Давай её ещё раз повторим, чтобы лучше запомнить:

Прямоугольный треугольник рис. 7  
или
 

Теперь уже должно быть легко:

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Ну вот, самую главную теорему о прямоугольном треугольнике обсудили. Если тебе интересно, как она доказывается, читай следующие уровни теории, а сейчас пойдём дальше… в тёмный лес… тригонометрии! К ужасным словам синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике.

На самом деле все совсем не так страшно. Конечно, «настоящее» определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса нужно смотреть в статье «Синус, косинус...». Но очень не хочется, правда? Можем обрадовать: для решения задач про прямоугольный треугольник можно просто заполнить следующие простые вещи:

Прямоугольный треугольник рис. 8
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

А почему же всё только про угол  ? Где же угол  ? Для того, чтобы в этом разобраться, нужно знать, как утверждения 1 - 4 записываются словами. Смотри, понимай и запоминай!

1.  
Вообще-то звучит это так:

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе рис. 1 Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе.

А что же угол  ? Есть ли катет, который находится напротив угла  , то есть противолежащий (для угла  ) катет? Конечно, есть! Это катет  !

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе рис. 2 Значит,  

2.  

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе рис. 1 Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

А как же угол  ? Посмотри внимательно. Какой катет прилегает к углу  ? Конечно же, катет  . Значит, для угла   катет   – прилежащий, и

 .

А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось:

 

Видишь, как здорово:

  и  

Это очень удобно – если тебе дан в задаче синус одного угла прямоугольного треугольника, то ты знаешь и косинус другого! Итак, запомни очень твёрдо:

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого и наоборот.

Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу.

3.  

Как это теперь записать словами? Катет   каким является по отношению к углу  ? Противолежащим, конечно – он «лежит» напротив угла  . А катет  ? Прилегает к углу  . Значит, что у нас получилось?

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

4.  

Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами?

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему.

Вспомним теперь про угол  . Что будет для него? Правильно:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему   

И теперь снова углы   и   совершили обмен:

 

В прямоугольном треугольнике тангенс одного острого угла равен котангенсу другого.

Резюме

Давай вкратце запишем всё, что мы узнали.

Теорема Пифагора:  
   
   
   
   

 

Запомни эту табличку как таблицу умножения – и ты сможешь решить много задач про прямоугольный треугольник.

Во всяком случае, все задачи первой части ЕГЭ, в которых участвует прямоугольный треугольник, тебе точно будут «по зубам»!

Если тебе нужно научиться решать более сложные задачи, сдать ЕГЭ на отлично и поступить на бюджет в топовый ВУЗ...

...иди на следующий уровень!  

 

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ.

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов – прямой, то есть равен  .

Главная теорема о прямоугольном треугольнике – теорема Пифагора.

Теорема Пифагора

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Высота в прямоугольном треугольнике рис. 1 В буквах это будет так:   или так:  

Кстати, хорошо ли ты помнишь, что такое катеты и гипотенуза? Если не очень, то смотри на рисунок – освежай знания

Высота в прямоугольном треугольнике рис. 2

Вполне возможно, что ты уже много раз использовал теорему Пифагора, а вот задумывался ли ты, почему же верна такая теорема. Как бы её доказать? А давай поступим, как древние греки. Нарисуем квадрат со стороной  .

Высота в прямоугольном треугольнике рис. 3

Видишь, как хитро мы поделили его стороны на отрезки длин   и  !

А теперь соединим отмеченные точки

Высота в прямоугольном треугольнике рис. 4

Тут мы, правда ещё кое что отметили, но ты сам посмотри на рисунок и подумай, почему так.

Чему же равна площадь большего квадрата?

Правильно,  .

А площадь меньшего?

Конечно,  .

Осталась суммарная площадь четырех уголков. Представь, что мы взяли их по два и прислонили друг к другу гипотенузами.

Что получилось? Два прямоугольника. Значит, площадь «обрезков» равна  .

Давай теперь соберем всё вместе.

 

Преобразуем:  

то есть  

Вот и побывали мы Пифагором – доказали его теорему древним способом.

Прямоугольный треугольник и тригонометрия

 

Признаки равенства прямоугольных треугольников

I. По двум катетам

 

Прямоугольные треугольники равны, если два катета одного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника.

 

II. По катету и гипотенузе

 

III. По гипотенузе и острому углу

 

IV. По катету и острому углу

 

Ты заметил, чем отличаются признаки равенства прямоугольных треугольников от обычных признаков равенства треугольников?

Загляни в тему «Треугольник» и обрати внимание на то, что для равенства «рядовых» треугольников нужно равенство трех их элементов: две стороны и угол между ними, два угла и сторона между ними или три стороны.

А вот для равенства прямоугольных треугольников достаточно всего двух соответственных элементов. Здорово, правда?

Примерно такая же ситуация и с признаками подобия прямоугольных треугольников.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

I. По острому углу

 

II. По двум катетам

 

III. По катету и гипотенузе

 

Медиана в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы

Почему это так?

Рассмотрим вместо прямоугольного треугольника целый прямоугольник.

Что видим? Треугольник   – половина прямоугольника.

Проведём диагональ   и рассмотрим точку   - точку пересечения диагоналей. Что известно про диагонали прямоугольника?

  • Точкой пересечения диагонали делятся пополам
  • Диагонали равны

И что из этого следует?

  •  
  •    

Вот и получилось, что

  1.   – медиана:
  2.  

Запомни этот факт! Очень помогает!

А что ещё более удивительно, так это то, что верно и обратное утверждение.

 

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Кроме того, каждый из этих треугольников подобен исходному. Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Кроме того, каждый из этих треугольников подобен исходному.

Вот давай мы начнём с этого «кроме того...».

Посмотрим на   и  .

Высота в прямоугольном треугольнике  У них общий  , и они оба – прямоугольные. Значит (вспоминаем только что прочитанные признаки подобия прямоугольных треугольников) – они подобны!

Еще раз:

Высота в прямоугольном треугольнике рис.1  

Но у подобных треугольников все углы равны!

Высота в прямоугольном треугольнике рис.2   (Посмотри на рисунок)

То же самое можно сказать и про   и  

Высота в прямоугольном треугольнике рис.3  

А теперь нарисуем это вместе:

Высота в прямоугольном треугольнике рис.4 Что видим?
У   и   одинаковые острые углы! 

Какую же пользу можно извлечь из этого «тройственного» подобия.

Ну, например – две формулы для высоты прямоугольного треугольника.

Высота в прямоугольном треугольнике рис.5 Чтобы писать меньше букв, обозначим:  ;  ;  ;   (посмотри на рисунке). Применяем подобие: .

Запишем отношения соответствующих сторон:

Первая формула высоты в прямоугольном треугольнике

Для нахождения высоты решаем пропорцию и получаем первую формулу "Высота в прямоугольном треугольнике":

Ну вот, теперь, применяя и комбинируя эти знания с другими, ты решишь любую задачу с прямоугольным треугольником!

 

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Прямоугольный треугольник - треугольник, у которого один из углов – прямой =  .

  •   - катеты
  •   - гипотенуза
  • В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов.

Теорема Пифагора: 

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:  .

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  • по двум катетам:  
  • по катету и гипотенузе:   или  
  • по катету и прилежащему острому углу:     или    
  • по катету и противолежащему острому углу:     или    
  • по гипотенузе и остром углу:     или    .

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

  • одному острому углу:   или  
  • из пропорциональности двух катетов:  
  • из пропорциональности катета и гипотенузы:   или  .

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике

  • Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:  
  • Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:  
  • Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:  
  • Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему:  .
Высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Каждый из этих треугольников подобен исходному:  

Высота прямоугольного треугольника:   или  .

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:  .

  • Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы (точка О).
  • Радиус описанной окружности:  .
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности:
 

Площадь прямоугольного треугольника:

  • через катеты:  
  • через катет и острый угол:  .

 

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

Надежда
12 февраля 2019

Отлично изложено, спасибо!

ответить

Александр (админ)
12 февраля 2019

Спасибо и вам, Надежда!

ответить

Инна
07 марта 2019

Отличное объяснение и отличные советы в конце статьи! Спасибо!

ответить

Александр (админ)
07 марта 2019

Привет, Инна! За спасибо за советы - отдельное спасибо!

ответить

Евгений
11 марта 2019

Очень хороший сайт. Рекомендую

ответить

Александр (админ)
11 марта 2019

Спасибо, Евгений!

ответить

Нина
14 марта 2019

Спасибо всем за такой увлекательный материал

ответить

Александр (админ)
14 марта 2019

Нина, приятно слышать! Удачи.

ответить

алекс
21 августа 2019

отличный контент

ответить

Александр (админ)
21 августа 2019

Спасибо, Алекс! Очень приятно!

ответить

Вова
18 сентября 2019

ХD для студента вроде меня очень полезная информация, когда мне рассказывали это в школе, я ничего не понял, но теперь мне всё более менее понятно, я даже на лету стал схватывать всё что читал дальше, Удачи !

ответить

Александр (админ)
18 сентября 2019

Отлично, Вова! Так держать! Удачи на экзаменах!

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Добрый день!

Закрытые части учебника - только для учеников YouClever.

Оставьте Email и я расскажу вам как им стать и пришлю в качестве бесплатного бонуса доступ к разделу учебника «Базовые темы» (стоимость раздела - 497 руб).

Значимость этого раздела для ЕГЭ - 14 из 100! Он состоит из 15 тем:

  1. НОК и НОД, признаки делимости и методы группировки;
  2. Степень и ее свойства;
  3. 7 волшебных формул сокращенного умножения;
  4. 5 способов разложения многочлена на множители;
  5. Дроби. Рациональные числа. Операции с дробями;
  6. Все о десятичных дробях;
  7. Задачи на проценты. Как найти процент от числа;
  8. Преобразование выражений. Подробная теория;
  9. Сравнение чисел;
  10. Квадратный корень;
  11. Корень и его свойства. Подробная теория с примерами;
  12. Свойства логарифмов и примеры их решений;
  13. Замена переменных;
  14. Модуль числа;
  15. ОДЗ - область допустимых значений.

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть